Hadjicostasの公式

　変数変換$t\mapsto (n+a)t$によって
$$\G(s)=(n+a)^s\int^\infty_0t^{s-1}e^{-(n+a)t}dt$$
が成り立つので、この両辺に$1/(n+a)^s$を掛けて足し合わせることで
$$\G(s)\z(s,a) =\int^\infty_0t^{s-1}\l(\sum^\infty_{n=0}e^{-(n+a)t}\r)dt =\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-e^{-t}}e^{-at}dt$$
を得る。

　$x$について$xy\mapsto x$と変数変換することで
\begin{align} \int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xy}x^ay^bdxdy &=\int^1_0\int^y_0\frac{(-\log x)^{s-1}}{1-x}x^ay^{b-a-1}dxdy\\ &=\int^1_0\frac{(-\log x)^{s-1}}{1-x}x^a\l(\int^1_xy^{b-a-1}dy\r)dx\\ &=\int^1_0\frac{(-\log x)^{s-1}}{1-x}x^a\frac{1-x^{b-a}}{b-a}dx\\ &=\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-e^{-t}}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}e^{-t}dt \end{align}
が成り立ち、これは(メリン変換などの)一般論から$\Re(s)>0$において収束し正則関数を定める。
　また補題1よりこれは$\Re(s)>1$において
$$-\G(s)\frac{\z(s,a+1)-\z(s,b+1)}{a-b}$$
に一致するので$\Re(s)>0$においてもこれに等しいことがわかる。

　この左辺は定理2と同様にして
$$\int^1_0\int^1_0\frac{1-x}{1-xy}(xy)^{a-1}(-\log xy)^{s-2}dxdy =\int^\infty_0\l(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\r)t^{s-1}e^{-at}dt$$
と変形でき、これは$\Re(s)>0$において正則関数を定めることがわかる。
　またこれは$\Re(s)>1$において
$$\G(s)\l(\z(s,a)-\frac{a^{-(s-1)}}{s-1}\r)$$
に一致していたことから主張を得る。

$$\lim_{s\to1}\frac{1-a^{-(s-1)}}{s-1}=\log a$$
に注意すると
$$\lim_{s\to1}\l(\z(s,a)-\frac1{s-1}\r)=-\psi(a)$$
が成り立つことを示せばよい。
　これは
\begin{align} \lim_{s\to1}\l(\z(s,a)-\frac1{s-1}\r) &=\lim_{s\to1^+}\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{(n+a)^s}-\int^{n+2}_{n+1}\frac{dx}{x^s}\r)\\ &=\phantom{\lim_{s\to1^+}}\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{n+a}-\int^{n+2}_{n+1}\frac{dx}x\r)\\ &=\lim_{N\to\infty}\l(\sum^{N-1}_{n=0}\frac1{n+a}-\log(N+1)\r)\\ &=-\psi(a) \end{align}
とわかる。

　$\psi(1)=-\g$からわかる。

　(i)は有名な収束判定法(ダランベールやコーシーなど)からわかる。
　(ii)は$z^n$の部分和は
$$\l|\sum^N_{n=0}z^n\r|=\l|\frac{1-z^{N+1}}{1-z}\r|\leq\frac{1+|z|^{N+1}}{|1-z|}\leq\frac2{|1-z|}$$
と$N$について有界なのでDirichlet級数の 収束軸の公式 などからわかる。
　(iii)は$\Re(s)>1$において
$$\l|\sum^\infty_{n=0}\frac1{(n+a)^s}\r|<\frac1{a^{\Re(s)}}+\int^\infty_0\frac{dx}{(x+a)^{\Re(s)}}=\frac1{a^{\Re(s)}}\frac{\Re(s)}{1-\Re(s)}$$
と評価できることからわかる。

　補題1と同様にして
$$\G(s)\Phi(z,s,a) =\int^\infty_0t^{s-1}\l(\sum^\infty_{n=0}z^ne^{-(n+a)t}\r)dt =\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-ze^{-t}}e^{-at}dt$$
とわかる。

　定理2と同様にしてわかる。

　Dirichletのイータ関数
$$\eta(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}=\Phi(-1,s,1)$$
について
$$\eta(1)=\log 2,\quad\eta'(0)=\frac12\log\frac\pi2$$
が成り立つこと、および
$$\Phi(z,s,2)=\frac1z\l(\Phi(z,s,1)-1\r)$$
に注意すると
\begin{align} \int^1_0\int^1_0\frac1{(1+xy)(-\log xy)}dxdy&=\G(1)\Phi(-1,1,1)=\log2\\ \int^1_0\int^1_0\frac x{(1+xy)(-\log xy)}dxdy &=\frac\partial{\partial s}(\Phi(-1,s,1)-\Phi(-1,s,2))\Bigg|_{s=0}\\ &=2\Phi_s(-1,0,1)=\log\frac\pi2 \end{align}
を得る。