3
大学数学基礎解説
文献あり

Hadjicostasの公式

191
0
$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\cdot} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{FF}[6]{{}_3F_2\left(\begin{matrix}#1,#2,#3\\#4,#5\end{matrix};#6\right)} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では
$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-2}}{1-xy}dxdy =\G(s)\z(s)$$
をはじめとしたBeukers型の積分公式について簡単にまとめていきます。

Hadjicostasの公式

 Hurwitzのゼータ関数
$$\z(s,a)=\sum^\infty_{n=0}\frac1{(n+a)^s}$$
について、$\Re(s)>1,\ a>0$において
$$\G(s)\z(s,a)=\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-e^{-t}}e^{-at}dt$$
が成り立つ。

 変数変換$t\mapsto (n+a)t$によって
$$\G(s)=(n+a)^s\int^\infty_0t^{s-1}e^{-(n+a)t}dt$$
が成り立つので、この両辺に$1/(n+a)^s$を掛けて足し合わせることで
$$\G(s)\z(s,a) =\int^\infty_0t^{s-1}\l(\sum^\infty_{n=0}e^{-(n+a)t}\r)dt =\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-e^{-t}}e^{-at}dt$$
を得る。

 $\Re(s)>0,\ a, b>-1$において
$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xy}x^ay^bdxdy =-\G(s)\frac{\z(s,a+1)-\z(s,b+1)}{a-b}$$
が成り立つ。特に$a=b$のときは
$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xy}x^ay^adxdy =\G(s+1)\z(s+1,a+1)$$
が成り立つ。

 $x$について$xy\mapsto x$と変数変換することで
\begin{align} \int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xy}x^ay^bdxdy &=\int^1_0\int^y_0\frac{(-\log x)^{s-1}}{1-x}x^ay^{b-a-1}dxdy\\ &=\int^1_0\frac{(-\log x)^{s-1}}{1-x}x^a\l(\int^1_xy^{b-a-1}dy\r)dx\\ &=\int^1_0\frac{(-\log x)^{s-1}}{1-x}x^a\frac{1-x^{b-a}}{b-a}dx\\ &=\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-e^{-t}}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}e^{-t}dt \end{align}
が成り立ち、これは(メリン変換などの)一般論から$\Re(s)>0$において収束し正則関数を定める。
 また補題1よりこれは$\Re(s)>1$において
$$-\G(s)\frac{\z(s,a+1)-\z(s,b+1)}{a-b}$$
に一致するので$\Re(s)>0$においてもこれに等しいことがわかる。

Beukers-Hadjicostasの公式

 非負整数$a,b$に対し
$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xy}x^ay^bdxdy =\l\{\begin{array}{ll} \dis\frac{\G(s)}{a-b}\sum^a_{k=b+1}\frac1{k^s}&(a>b)\\ \dis\G(s+1)\sum^\infty_{k=a+1}\frac1{k^{s+1}}&(a=b)\\ \end{array}\r.$$
が成り立つ。

$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-2}}{1-xy}dxdy =\G(s)\z(s)$$
が成り立つ。

Sondowの公式

 $\Re(s),a>0$において
$$\int^1_0\int^1_0\frac{1-x}{1-xy}(xy)^{a-1}(-\log xy)^{s-2}dxdy =\G(s)\l(\z(s,a)-\frac{a^{-(s-1)}}{s-1}\r)$$
が成り立つ。

 この左辺は定理2と同様にして
$$\int^1_0\int^1_0\frac{1-x}{1-xy}(xy)^{a-1}(-\log xy)^{s-2}dxdy =\int^\infty_0\l(\frac1{1-e^{-t}}-\frac1t\r)t^{s-1}e^{-at}dt$$
と変形でき、これは$\Re(s)>0$において正則関数を定めることがわかる。
 またこれは$\Re(s)>1$において
$$\G(s)\l(\z(s,a)-\frac{a^{-(s-1)}}{s-1}\r)$$
に一致していたことから主張を得る。

 $a>0$において
$$\int^1_0\int^1_0\frac{1-x}{(1-xy)(-\log xy)}(xy)^{a-1}dxdy =\log a-\psi(a)$$
が成り立つ(ただし$\psi(s)$はディガンマ関数とした)。

$$\lim_{s\to1}\frac{1-a^{-(s-1)}}{s-1}=\log a$$
に注意すると
$$\lim_{s\to1}\l(\z(s,a)-\frac1{s-1}\r)=-\psi(a)$$
が成り立つことを示せばよい。
 これは
\begin{align} \lim_{s\to1}\l(\z(s,a)-\frac1{s-1}\r) &=\lim_{s\to1^+}\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{(n+a)^s}-\int^{n+2}_{n+1}\frac{dx}{x^s}\r)\\ &=\phantom{\lim_{s\to1^+}}\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{n+a}-\int^{n+2}_{n+1}\frac{dx}x\r)\\ &=\lim_{N\to\infty}\l(\sum^{N-1}_{n=0}\frac1{n+a}-\log(N+1)\r)\\ &=-\psi(a) \end{align}
とわかる。

Sondowの公式

 オイラー定数$\g$について
$$\g=\int^1_0\int^1_0\frac{1-x}{(1-xy)(-\log xy)}dxdy$$
が成り立つ。

 $\psi(1)=-\g$からわかる。

一般化Hadjicostasの公式

 Lerchの超越関数(Lerch transcendent)
$$\Phi(z,s,a)=\sum^\infty_{n=0}\frac{z^n}{(n+a)^s}\quad(a>0)$$

  1. $|z|<1$ならば任意の$s$において収束する。
  2. $|z|=1$かつ$z\neq1$ならば$\Re(s)>0$において収束する。
  3. $z=1$ならば$\Re(s)>1$において収束する。

 (i)は有名な収束判定法(ダランベールやコーシーなど)からわかる。
 (ii)は$z^n$の部分和は
$$\l|\sum^N_{n=0}z^n\r|=\l|\frac{1-z^{N+1}}{1-z}\r|\leq\frac{1+|z|^{N+1}}{|1-z|}\leq\frac2{|1-z|}$$
$N$について有界なのでDirichlet級数の 収束軸の公式 などからわかる。
 (iii)は$\Re(s)>1$において
$$\l|\sum^\infty_{n=0}\frac1{(n+a)^s}\r|<\frac1{a^{\Re(s)}}+\int^\infty_0\frac{dx}{(x+a)^{\Re(s)}}=\frac1{a^{\Re(s)}}\frac{\Re(s)}{1-\Re(s)}$$
と評価できることからわかる。

 $z=1$の場合については上で扱った通りなので、以下$z\neq1$の場合としてよい。

 $s,a>0$に対し
$$\G(s)\Phi(z,s,a)=\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-ze^{-t}}e^{-at}dt$$
が成り立つ。

 補題1と同様にして
$$\G(s)\Phi(z,s,a) =\int^\infty_0t^{s-1}\l(\sum^\infty_{n=0}z^ne^{-(n+a)t}\r)dt =\int^\infty_0\frac{t^{s-1}}{1-ze^{-t}}e^{-at}dt$$
とわかる。

 $s,a,b>-1$に対し
$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xyz}x^ay^bdxdy =-\G(s)\frac{\Phi(z,s,a+1)-\Phi(z,s,b+1)}{a-b}$$
が成り立つ。特に$a=b$のときは
$$\int^1_0\int^1_0\frac{(-\log xy)^{s-1}}{1-xyz}x^ay^adxdy =\G(s+1)\Phi(z,s+1,a+1)$$
が成り立つ。

 定理2と同様にしてわかる。

\begin{align} \int^1_0\int^1_0\frac1{(1+xy)(-\log xy)}dxdy&=\log2\\ \int^1_0\int^1_0\frac x{(1+xy)(-\log xy)}dxdy&=\log\frac\pi2 \end{align}
が成り立つ。

 Dirichletのイータ関数
$$\eta(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}=\Phi(-1,s,1)$$
について
$$\eta(1)=\log 2,\quad\eta'(0)=\frac12\log\frac\pi2$$
が成り立つこと、および
$$\Phi(z,s,2)=\frac1z\l(\Phi(z,s,1)-1\r)$$
に注意すると
\begin{align} \int^1_0\int^1_0\frac1{(1+xy)(-\log xy)}dxdy&=\G(1)\Phi(-1,1,1)=\log2\\ \int^1_0\int^1_0\frac x{(1+xy)(-\log xy)}dxdy &=\frac\partial{\partial s}(\Phi(-1,s,1)-\Phi(-1,s,2))\Bigg|_{s=0}\\ &=2\Phi_s(-1,0,1)=\log\frac\pi2 \end{align}
を得る。

参考文献

[1]
P. Hadjicostas, Some Generalizations of Beukers’ Integrals, Kyungpook Mathematical Journal, 2002, pp. 399-416
[2]
R. Chapman, A proof of Hadjicostas's conjecture, arXiv, 2004
[3]
J. Guillera, J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent, The Ramanujan Journal, 2008, pp. 247-270
投稿日:727
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

子葉
子葉
985
226088
主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中