文献あり

MIT Integration Beeを解く【MIT Integration Bee Qualifying-2020】

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

1.本ページでやること

今回はMIT Integration Bee 2020予選問題の解答と解説をしてみる。使用した関数、テクニックは以下でまとめた。 https://mathlog.info/articles/CMsARUspoc4FiCRFTArY

2.MIT Integration Beeについて

MIT Integration Beeとは、マサチューセッツ工科大学（MIT）で毎年1月に開催される、学生向けの積分計算コンテストのこと。
問題は、Qualifying(予選)、Regular Season(第二予選)、Quarterfinal(準々決勝)、Semifinal(準決勝)、Final(決勝)からなる。
もちろん難易度は決勝に行くにつれて難しくなる。

3.評価

筆者は問題を次のように評価した。(異論は認める)
★☆☆☆☆：数学Ⅱの知識が必要
★★☆☆☆：数学Ⅲの知識が必要
★★★☆☆：数学Ⅲを少し超える知識が必要
★★★★☆：大学での学習内容や鋭い推察が必要
★★★★★：変態的な発想やナーマギリ女神からの天啓が必要
※数学Ⅲを少し超える知識とは次のものを指すこととする。

逆三角関数 ($\arcsin{x} \,, \arccos{x} \,, \arctan{x}$など)
双曲線関数 ($\sinh{x} \,, \cosh{x} \,, \tanh{x}$など)
逆双曲線関数 ($\mathrm{arsinh}{x} \,, \mathrm{arcosh}{x} \,, \mathrm{artanh}{x}$など)

4.問題

問題や解答の表記について

・積分定数は$C$とする
・対数関数に関して、真数の符号を考えずに表記する
　例）$\log{|x^2-1|} \to \log{(x^2-1)}$
・逆三角関数は「$arc$」、逆双曲線関数は「$ar$」を先頭につけることで表すものとする
　例1）$\sin{x}$の逆関数 $\to$ $\arcsin{x}$
　例2）$\cosh{x}$の逆関数 $\to$ $\mathrm{arcosh}{x}$

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{\log{2x}}{x\log{x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{\log{2} + \log{x} }{x\log{x}} ~dx \\ &=\int \frac{\log{2}}{x\log{x}} ~dx + \int \frac{1}{x} ~dx \\ &= \log{2} \cdot \log{(\log{x})} + \log{x} +C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x+1} ~dx$

解答・解説

【ポイント】分母分子に$e^{-x}$を掛ける
\begin{align} I &=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} ~dx \\ &=\left[ -\log{(1+e^{-x})} \right]_{0}^{\infty} \quad \rm{【微分形接触】} \\ &=\log{2} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{e}^{e^e} \frac{\log{x}\cdot \log{(\log{x})}}{x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】置換積分
$t=\log{x}$と置くと　$\displaystyle dt = \frac{1}{x} ~dx$
$x:e \to e^e \quad y:1 \to e$
\begin{align} I &=\int_{1}^{e} t\log{t} ~dt \\ &=\left[ \frac{1}{2}t^2\log{t} \right]_1^e - \frac{1}{2}\int t ~dt \\ &=\frac{e^2}{2} - \left[ \frac{1}{4}t^2 \right]_1^e \\ &=\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \\ &=\frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{1} \log{\left( \frac{1+x}{1-x} \right)} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int_{0}^{1} \log{(1+x)} - \log{(1-x)} ~dx \\ &=\left[ (1+x)\log{(1+x)} +(1-x)\log{(1-x)} \right]_0^1 \\ &=(2\log{2} + 0 ) - ( 0 + 0 ) \\ &=2\log{2} \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{1}{x^2+(x-1)^2} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{1}{2x^2-2x+1} ~dx \\ &=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}} ~dx \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\arctan{(2x-1)} + C \\ &= \arctan{(2x-1)} + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdots}}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】丸々置いてしまう
$\displaystyle y=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x \cdots}}}$と置くと　$y = \sqrt{xy}$
$y^2 = xy \quad y = x$
\begin{align} I &=\int x ~dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \sin^4{x}\cos^4{x}(\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x}) ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{\sin^4{2x}}{16} \cdot (\cos^2{x} - \sin^2{x}) ~dx \\ &=\frac{1}{16}\int \sin^4{2x}\cos{2x} ~dx \\ &=-\frac{1}{5 \cdot 32}\sin^5{2x} + C \quad \rm{【微分形接触】} \\ &=-\frac{1}{5}\sin^5{x}\cos^5{x} + C \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int \log{(x^2+1)} ~dx$

解答・解説

【ポイント】部分積分
\begin{align} I &= x\log{(x^2+1)} - 2\int \frac{x^2}{x^2+1} ~dx \\ &= x\log{(x^2+1)} - 2\int 1-\frac{1}{x^2+1} ~dx \\ &= x\log{(x^2+1)} - 2x + 2\arctan{x} + C \\ \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{2\pi} \cos^{2020}{x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】積分範囲を分割する
\begin{align} I &=\int_{0}^{\pi } \cos^{2020}{x} ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2020}{x} ~dx \\ J &=\int_{\pi}^{2\pi} \cos^{2020}{x} ~dx \end{align}
$t=x-\pi$と置くと　$x=t+\pi \quad dx = dt $
$x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &=\int_{0}^{\pi} \cos^{2020}{(t+\pi)} ~dt \\ &=\int_{0}^{\pi} \cos^{2020}{t} ~dt \\ I &=2\int_{0}^{\pi } \cos^{2020}{x} ~dx \\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^{2020}{x} ~dx + 2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi } \cos^{2020}{x} ~dx \\ K &=2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi } \cos^{2020}{x} ~dx \end{align}
$\displaystyle u=x-\frac{\pi}{2}$と置くと　$\displaystyle x=u+\frac{\pi}{2} \quad dx = du$
$\displaystyle x: \frac{\pi}{2} \to \pi \quad u:0 \to \frac{\pi}{2}$
\begin{align} K &= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^{2020}{\left(u+\frac{\pi}{2} \right)} ~du \\ &= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2020}{u} ~du \end{align}
ここで、ウォリス積分は$\sin{\theta} ~,~ \cos{\theta}$に依らないから
\begin{align} I &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^{2020}{x} ~dx \\ &= 4 \cdot \frac{2019!!}{2020!!} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= 2\pi \cdot \frac{1}{2^{1010}\cdot 1010!} \cdot \frac{2020!}{2^{1010} \cdot 1010!} \\ &= 2^{-2019} \pi \binom{2020}{1010} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{2x+1}{2x^2+2x+1} ~dx$

解答・解説

【ポイント】微分形接触で素早く
\begin{align} I &=\frac{1}{2}\log{(2x^2+2x+1)} +C \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{\arcsin{x}}{x^3} ~dx$

解答・解説

【ポイント】部分積分
\begin{align} I &= \left[ -\frac{\arcsin{x}}{2x^2} \right]_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} + \frac{1}{2}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}} ~dx \\ &= \left( - \frac{\pi}{8} - \left( - \frac{\pi}{8} \right) \right) + \frac{1}{2}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}} ~dx \\ &= \frac{1}{2}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{1}{x^2\sqrt{1-x^2}} ~dx \end{align}
$x=\sin{\theta}$と置くと　$dx = \cos{\theta} ~d\theta$
$\displaystyle x: \frac{1}{\sqrt{2}} \to 1 \quad \theta: \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{2}$
\begin{align} I &= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2{\theta}\cos{\theta}} \cdot \cos{\theta} ~d\theta \\ &=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2{\theta}} ~d\theta \\ &=\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{\tan{\theta}} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} ( 0 - (-1)) \\ &= \frac{1}{2} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x}\cos{(\cos{x})} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\cos{x}\cos{(\cos{x})} ~dx \end{align}
$t = \cos{x}$と置くと　$dt = - \sin{x} ~dx$
$x: 0 \to \frac{\pi}{2} \quad t:1 \to 0$
\begin{align} I &=2\int_{0}^{1} t\cos{t} ~dt \\ &=2 \left[ t\sin{t} \right]_0^1 - 2\int_{0}^{1} \sin{t} ~dt \\ &=2\sin{1} + 2\left[ \cos{t} \right]_0^1 \\ &=2(\sin{1} + \cos{1} - 1) \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{2\pi} \sin{(\sin{x}-x)} ~dx$

解答・解説

【ポイント】積分範囲を分割する
\begin{align} I &=\int_{0}^{\pi} \sin{(\sin{x}-x)} ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \sin{(\sin{x}-x)} ~dx \\ J &=\int_{\pi}^{2\pi} \sin{(\sin{x}-x)} ~dx \end{align}
$t=x-\pi$と置くと　$x=t+\pi \quad dx = dt$
$x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &=\int_{0}^{\pi} \sin{(\sin{(t+\pi)}-(t+\pi))} ~dt \\ &=\int_{0}^{\pi} \sin{(-\sin{t}-t-\pi)} ~dt \\ &=\int_{0}^{\pi} \sin{(-(\sin{t}+t+\pi))} ~dt \\ &=-\int_{0}^{\pi} \sin{((\sin{t}+t)+\pi)} ~dt \\ &=\int_{0}^{\pi} \sin{(\sin{t}+t)} ~dt \\ I &=\int_{0}^{\pi} \sin{(\sin{x}-x)} + \sin{(\sin{x} +x)}~dt \end{align}
ここで、
$\sin{(\sin{x} -x)} = \sin{(\sin{x})}\cos{x} - \cos{(\sin{x})}\sin{x}$
$\sin{(\sin{x} +x)} = \sin{(\sin{x})}\cos{x} + \cos{(\sin{x})}\sin{x}$　　であるから
\begin{align} I &=\int_{0}^{\pi} \sin{(\sin{x})}\cos{x} ~dt \\ &=\left[ -\cos{(\sin{x})} \right]_{0}^{\pi} \quad \rm{【微分形接触】}\\ &=( -1 - (-1)) \\ &= 0 \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{1}{x-1} + \frac{\sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k}{\sum_{k=0}^{2019}x^k} ~dx$

解答・解説

【ポイント】数列について考察する
\begin{align} \sum_{k=0}^{2019}x^k &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{2019} \\ \frac{d}{dx} \sum_{k=0}^{2019}x^k &= 1+ 2x + 3x^2 + \cdots + 2019x^{2018} \\ &=\sum_{k=0}^{2018} (k+1)x^k \end{align}
したがって、
\begin{align} I &=\log{(x-1)} + \log{\left( \sum_{k=0}^{2019}x^k \right)} +C \quad \rm{【微分形接触】}\\ &=\log{(x^{2020} -1)} + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan^{\sqrt{2020}} + 1} ~dx$

解答・解説

【ポイント】King Property
King Propertyより、$\displaystyle x \mapsto \left( \frac{\pi}{2} + 0 - x \right) = \frac{\pi}{2} - x $
$\displaystyle \tan{\left( \frac{\pi}{2} - x\right)} = \frac{1}{\tan{x}}$であるから、
\begin{align} I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan^{-\sqrt{2020}}{x} + 1} ~dx \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^{\sqrt{2020}}{x}}{1+ \tan^{\sqrt{2020}}{x}} ~dx \\ 2I&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan^{\sqrt{2020}} + 1} ~dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^{\sqrt{2020}}{x}}{1+ \tan^{\sqrt{2020}}{x}} ~dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ~dx \\ &= \frac{\pi}{2} \\ I &= \frac{\pi}{4} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int x(1-x)^{2020} ~dx$

解答・解説

【ポイント】係数をずらす
\begin{align} I &=\int (1-x)^{2020} - (1-x)(1-x)^{2020} ~dx \\ &=\int (1-x)^{2020} - (1-x)^{2021} ~dx \\ &= -\frac{(1-x)^{2021}}{2021} + \frac{(1-x)^{2022}}{2022} + C \\ &= \frac{(1-x)^{2022}}{2022} - \frac{(1-x)^{2021}}{2021} + C \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{\sec^4{x}\tan{x}}{\sec^4{x}+4} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{\tan{x}}{1+ 4\cos^4{x}} ~dx \end{align}
$t=\cos{x}$と置くと　$dt = -\sin{x} ~dx$
\begin{align} I &=-\int \frac{1}{t(1+4t^4)} ~dt \\ &= \int \frac{4t^3}{1+4t^4} - \frac{1}{t} ~dt \\ &= \frac{1}{4}\log{(1+4t^4)} - \log{t} + C \\ &= \frac{1}{4}\log{\left( \frac{1}{t^4} +4 \right)} + C \\ &= \frac{1}{4}\log{\left( \frac{1}{\cos^4{x}} +4 \right)} + C \\ \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int x^{2x}(2\log{x}+2) ~dx$

解答・解説

【ポイント】対数微分の形に気づく
$\displaystyle y = x^{2x}$と置くと $\displaystyle \log{y} = 2x \cdot \log{x} $
$\displaystyle \frac{y'}{y} = 2\log{x} + 2 \quad y' = x^{2x}(2\log{x} + 2)$
したがって
\begin{align} I &=\int \frac{d}{dx} \left(x^{2x} \right) ~dx \\ &= x^{2x} + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} ~dx$

解答・解説

【ポイント】円の面積と捉える($\sin{\theta}$で置換しても良い)
これは$x^2+y^2=1$の円の面積の$\frac{1}{4}$に等しいから、
\begin{align} I &= \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align}

★★★★☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\infty} x^5e^{-x^4} ~dx$

解答・解説

【ポイント】ガンマ関数に書き換える
$t=x^4$と置くと　$\displaystyle dt = 4x^3 ~dx \quad x^2 = t^{\frac{1}{2}}$
$x:0 \to \infty \quad t:0 \to \infty$
\begin{align} I &=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2}}e^{-t} ~dt \\ &=\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty} t^{\frac{3}{2}-1}e^{-t} ~dt \\ &=\frac{1}{4} \Gamma \left( \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{8} \end{align}