距離空間4 長さ空間の例
さて,本題に戻りましょう.距離があるときに道のりの長さを考えたいのでした.そこで,距離が定義されているときに長さ構造を構成する方法を考えましょう. 前回 は長さ構造から距離空間を構成しましたが,逆に距離空間から自然に長さ構造を得る方法として,次の構成があります.
$(X,d)$を距離空間,$\gamma:[a,b]\to X$を道とする.$[a,b]$の分割$Y=\{y_0,y_1,\dots,y_N\}$,$a=y_0\leq y_1\leq y_2\leq \dots \leq y_N=b$を考える.
$\displaystyle\sum_{i=1}^N d(\gamma(y_{i-1}),\gamma(y_i))$のすべての分割$Y$に渡る上限を$\gamma$の長さといい$L_d(\gamma)$で表す.長さが有限である曲線を有限長という.
$\displaystyle\max_i \{|y_i-y_{i+1}|\}\to 0$のとき$\sum(Y)\to L_d(\gamma)$であることがリーマン積分のときと同様に示されます.また,ユークリッド空間に対しては通常の曲線の長さと一致します.この曲線の長さを長さ関数として長さ構造が定ります.
すべての道を認容的道とし,長さを$L_d$とする長さ構造を,距離$d$から誘導された長さ構造という.
距離$d$が明らかなときは省略することがあります.それでは実際に長さ構造となることや他の性質を見ていきましょう.
距離$d$から誘導された長さ構造$L=L_d$に対し次が成り立つ.
(1)(一般化三角不等式)
$L(\gamma)\geq d(\gamma(a),\gamma(b))$.
(2)(加法性)
$a< c< b$のとき
$L(\gamma)=L(\gamma,a,c)+L(\gamma,c,b)$,特に$L(\gamma,a,c)$は$c$の非減少関数.
(3)(連続依存性)
$\gamma$が有限長なら関数$L(\gamma|_{[c,d]})=L(\gamma,c,d)$は$c,d$に関して連続.
(4)(下半連続性)
道$\gamma_i$,$\gamma:[a,b]\to X$が任意の$t\in[a,b]$に対して$\gamma_i(t)\to \gamma(t)$を満たすとき
$\liminf L(\gamma_i)\geq L(\gamma)$.
- 任意の分割$Y$に対し$\sum(Y)\geq d(\gamma(a),\gamma(b))$だから$d(\gamma(a),\gamma(b))$は下界であり,$\inf$の最小性から成り立つ.
- リーマン積分の区間の分割のときと同様.
- $a< d\leq b$とし,任意に$\epsilon>0$をとる.分割$Y$であって,$L(\gamma)-\sum(Y)<\epsilon$となるものを考える.$y_{j-1}< d\leq y_j$としてよい.このとき単調性から$L(\gamma,y_{j-1},d)-d(\gamma(y_{j-1}),\gamma(d))<\epsilon$が成り立つ.よって$y_j< t< d$に対し$L(\gamma,t,d)\leq L(\gamma,y_{i-1},d)<\epsilon+d(\gamma(y_j),\gamma(d))$.必要なら分割を細かくして$d(\gamma(y_j),\gamma(d))<\epsilon$としてよい.よって連続である.$c$についても加法性からわかる.
- 道$\gamma_j$が道$\gamma$に各点収束するとし,任意に$\epsilon>0$をとる.分割$Y$を$L(\gamma)-\sum(Y)<\epsilon$を満たすようにとる.この$Y$に対し$\gamma_j$に対する和$\sum_j(Y)$を考える.$j$を任意の$y_j\in Y$に対して$d(\gamma_j(y_i),\gamma(y_j))<\epsilon$を満たすように大きくとる.このとき
$L(\gamma)\leq \sum(Y)+\epsilon\leq \sum_j(Y) +\epsilon+(N+1)\epsilon$.よって成立.$\Box$
ここで$L$が連続になるとは限らないことに注意しましょう.それは次の図のような状況を考えればわかります.
では具体的な距離空間からこの方法で構成した長さ空間をみてみましょう.
単位円に$\mathbb{R}^2$のユークリッド距離を制限したものから誘導される内在的距離は角度による距離である.
$\mathbb{R}^2$に$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+\sqrt{|y_1-y_2|}$で距離を定める.この距離から誘導される内在的距離を考えた$\mathbb{R}^2$は位相的に$\mathbb{R}$の$|\mathbb{R}|$個の直和に等しい.
距離は平行移動と$-1$倍で不変なので$(x_1,y_1)=(0,0)$,$y_2>0$として示す.$n\in\mathbb{N}$とする.分割$Y=\{z_0,\dots,z_N\}$を十分細かくとって$|\gamma(z_j)-\gamma(z_{j+1})|<\frac{1}{n}$が任意の$j$に対して成り立つようにすることができる.一般に実数$a,b$で$|a-b|\leq\frac{1}{n}$を満たすものに対し$\sqrt{n}|a-b|\leq\sqrt{|a-b|}$が成り立つので
$\displaystyle\sum_j \sqrt{|\gamma(z_j)-\gamma(z_{j+1})|}\geq \sum_j \sqrt{n}|\gamma(z_j)-\gamma(z_{j+1})|\geq \sqrt{n}|y_2|$.よって
$d= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
|x_2|\ (y_2=0) \\
\infty\ \ \ \ (y_2\neq0)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $であり示された.$\Box$
これらの距離は長さ構造から得られた距離ということになり,それは内在的な距離といわれるのでした.
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