文献あり

Blecksmith-Brillhart-Gerstの恒等式

$[a; q]_{\infty} = (a, q / a; q)_{\infty}, [a_{1}, \dots, a_{r}; q]_{\infty} := [a_{1}; q]_{\infty} \dots [a_{r}; q]_{\infty}$ とする. 無限積の三項関係式は以下のように表される.

$A^{2} = b c d e$ のとき,
$\begin{aligned} [A / b, A / c, A / d, A / e; q]_{\infty} - [b, c, d, e; q]_{\infty} & = b [A, A / b c, A / b d, A / b e; q]_{\infty} \end{aligned}$
が成り立つ.

今回は以下のような等式をいくつか示す.

Blecksmith-Brillhart-Gerst(1987)

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{2 n^{2}} + \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2}} & = \frac{2 (q; q)_{\infty}}{(q^{4}, q^{6}, q^{8}, q^{10}, q^{22}, q^{24}, q^{26}, q^{28}; q^{32})_{\infty}} \\ \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{2 n^{2}} - \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2}} & = \frac{2 q (q; q)_{\infty}}{(q^{2}, q^{8}, q^{12}, q^{14}, q^{18}, q^{20}, q^{24}, q^{30}; q^{32})_{\infty}} \end{aligned}$

2つの等式を, 和と差を考えて,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{2 n^{2}} & = \frac{(q; q)_{\infty}}{(q^{4}, q^{6}, q^{8}, q^{10}, q^{22}, q^{24}, q^{26}, q^{28}; q^{32})_{\infty}} + \frac{q (q; q)_{\infty}}{(q^{2}, q^{8}, q^{12}, q^{14}, q^{18}, q^{20}, q^{24}, q^{30}; q^{32})_{\infty}} \\ = (q; q^{2})_{\infty} ((q^{2}, q^{12}, q^{14}, q^{16}, q^{18}, q^{20}, q^{30}, q^{32}; q^{32})_{\infty} + q (q^{4}, q^{6}, q^{10}, q^{16}, q^{22}, q^{26}, q^{28}, q^{32}; q^{32})_{\infty}) \\ = (q; q^{2})_{\infty} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ((q^{2}, q^{14}; q^{16})_{\infty} (q^{12}, q^{20}; q^{32})_{\infty} + q (q^{6}, q^{10}; q^{16})_{\infty} (q^{4}, q^{28}; q^{32})_{\infty}) \\ = (q; q^{2})_{\infty} (q^{16}; q^{16}) [q^{2}, q^{6}; q^{16}]_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} + q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \\ = (q; q^{2})_{\infty} (q^{2}; q^{4})_{\infty} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} + q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \\ \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2}} & = (q; q^{2})_{\infty} (q^{2}; q^{4})_{\infty} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} - q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \end{aligned}$
を示せば良い. Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} + q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \\ = \sum_{n \in Z} q^{8 n^{2} + 2 n} + \sum_{n \in Z} q^{8 n^{2} - 6 n + 1} \\ = \sum_{n \in Z} q^{2 (2 n)^{2} + 2 n} + \sum_{n \in Z} q^{2 (2 n - 1)^{2} + 2 n - 1} \\ = \sum_{n \in Z} q^{2 n^{2} + n} \\ = (- q, - q^{3}, q^{4}; q^{4})_{\infty} \end{aligned}$
である. よって,
$\begin{aligned} (q; q^{2})_{\infty} (q^{2}; q^{4})_{\infty} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} + q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \\ = (q; q^{2})_{\infty} (q^{2}; q^{4})_{\infty} (- q, - q^{3}, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = (q^{2}, q^{2}, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{2 n^{2}} \end{aligned}$
となって1つ目の等式が従う. 同様に, 2つ目の等式も
$\begin{aligned} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} - q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{2 n^{2} + n} \\ = (q, q^{3}, q^{4}; q^{4})_{\infty} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} (q; q^{2})_{\infty} (q^{2}; q^{4})_{\infty} (q^{16}; q^{16})_{\infty} ([- q^{6}; q^{16}]_{\infty} - q [- q^{2}; q^{16}]_{\infty}) \\ = (q; q^{2})_{\infty} (q^{2}; q^{4})_{\infty} (q, q^{3}, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = (q, q, q^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2}} \end{aligned}$
と示される.

Blecksmith-Brillhart-Gerst(1987)

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} + \sum_{n \in Z} q^{3 n^{2}} & = 2 \frac{(q^{2}, q^{6}, q^{10}, q^{12}; q^{12})_{\infty}}{(q, q^{3}, q^{9}, q^{11}; q^{12})_{\infty}} \\ \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} - \sum_{n \in Z} q^{3 n^{2}} & = 2 q \frac{(q^{2}, q^{6}, q^{10}, q^{12}; q^{12})_{\infty}}{(q^{3}, q^{5}, q^{7}, q^{9}; q^{12})_{\infty}} \end{aligned}$

定理1と同様に,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} & = \frac{(q^{2}, q^{6}, q^{10}, q^{12}; q^{12})_{\infty}}{(q, q^{3}, q^{9}, q^{11}; q^{12})_{\infty}} + q \frac{(q^{2}, q^{6}, q^{10}, q^{12}; q^{12})_{\infty}}{(q^{3}, q^{5}, q^{7}, q^{9}; q^{12})_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}, q^{6}, q^{10}, q^{12}; q^{12})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}} ((q^{5}, q^{7}; q^{12})_{\infty} + q (q, q^{11}; q^{12})_{\infty}) \\ = (- q; q^{2})_{\infty} (q^{12}; q^{12})_{\infty} ([q^{5}; q^{12}]_{\infty} + q [q; q^{12}]_{\infty}) \\ \sum_{n \in Z} q^{3 n^{2}} & = (- q; q^{2})_{\infty} (q^{12}; q^{12})_{\infty} ([q^{5}; q^{12}]_{\infty} - q [q; q^{12}]_{\infty}) \end{aligned}$
を示せば良い. 1つ目の等式は
$\begin{aligned} (q^{12}; q^{12})_{\infty} ([q^{5}; q^{12}]_{\infty} + q [q; q^{12}]_{\infty}) \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{6 n^{2} + n} + \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{6 n^{2} - 5 n + 1} \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} (- q)^{\frac{3}{2} n^{2} + \frac{n}{2}} \\ = (- q, q^{2}, - q^{3}; - q^{3})_{\infty} \\ = (- q; - q)_{\infty} \\ = (- q, q^{2}; q^{2})_{\infty} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} (- q; q^{2})_{\infty} (q^{12}; q^{12})_{\infty} ([q^{5}; q^{12}]_{\infty} + q [q; q^{12}]_{\infty}) \\ = (- q, - q, q^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} \end{aligned}$
である. また, 2つ目の等式は
$\begin{aligned} (q^{12}; q^{12})_{\infty} ([q^{5}; q^{12}]_{\infty} - q [q; q^{12}]_{\infty}) \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{6 n^{2} + n} + \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{6 n^{2} - 5 n + 1} \\ = \sum_{n \in Z} (- q)^{\frac{3}{2} n^{2} + \frac{n}{2}} \\ = (q, - q^{2}, - q^{3}; - q^{3})_{\infty} \\ = (q, - q^{2}, - q^{3}, - q^{4}, q^{5}, q^{6}; q^{6})_{\infty} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} (- q; q^{2})_{\infty} (q^{12}; q^{12})_{\infty} ([q^{5}; q^{12}]_{\infty} - q [q; q^{12}]_{\infty}) \\ = (- q; q^{2})_{\infty} (q, - q^{2}, - q^{3}, - q^{4}, q^{5}, q^{6}; q^{6})_{\infty} \\ = \frac{(- q; q^{2})_{\infty} (q, - q^{2}, - q^{4}, q^{5}; q^{6})_{\infty}}{(- q^{3}; q^{6})_{\infty}} (- q^{3}, - q^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} \\ = \frac{(- q; q^{2})_{\infty} (q; q^{2})_{\infty} (- q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(- q^{3}; q^{6})_{\infty} (q^{3}; q^{6})_{\infty} (- q^{6}; q^{6})_{\infty}} (- q^{3}, - q^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} \\ = (- q^{3}, - q^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} \\ = \sum_{n \in Z} q^{3 n^{2}} \end{aligned}$
となって示される.

Blecksmith-Brillhart-Gerst(1988)

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} + \sum_{n \in Z} q^{5 n^{2}} & = 2 \frac{(q^{2}, q^{8}, q^{10}, q^{12}, q^{18}, q^{20}; q^{20})_{\infty}}{(q, q^{4}, q^{9}, q^{11}, q^{16}, q^{19}; q^{20})_{\infty}} \\ \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} - \sum_{n \in Z} q^{5 n^{2}} & = 2 q \frac{(q^{4}, q^{6}, q^{10}, q^{14}, q^{16}, q^{20}; q^{20})_{\infty}}{(q^{3}, q^{7}, q^{8}, q^{12}, q^{13}, q^{17}; q^{20})_{\infty}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} & = \frac{(q^{2}, q^{8}, q^{10}, q^{12}, q^{18}, q^{20}; q^{20})_{\infty}}{(q, q^{4}, q^{9}, q^{11}, q^{16}, q^{19}; q^{20})_{\infty}} + q \frac{(q^{4}, q^{6}, q^{10}, q^{14}, q^{16}, q^{20}; q^{20})_{\infty}}{(q^{3}, q^{7}, q^{8}, q^{12}, q^{13}, q^{17}; q^{20})_{\infty}} \\ = (q^{10}; q^{10})_{\infty} (\frac{[q^{2}, q^{8}; q^{20}]_{\infty}}{[q, q^{4}, q^{9}; q^{20}]_{\infty}} + q \frac{[q^{4}, q^{6}; q^{20}]_{\infty}}{[q^{3}, q^{7}, q^{8}; q^{20}]_{\infty}}) \\ = \frac{(q^{10}; q^{10})_{\infty}}{[q, q^{3}, q^{4}, q^{7}, q^{8}, q^{9}; q^{20}]_{\infty}} ([q^{2}, q^{3}, q^{7}, q^{8}, q^{8}; q^{20}]_{\infty} + q [q, q^{4}, q^{4}, q^{6}, q^{9}; q^{20}]_{\infty}) \\ = \frac{(q^{10}; q^{10})_{\infty}}{[q, q^{3}; q^{10}]_{\infty} [q^{4}, q^{8}; q^{20}]_{\infty}} ([q^{2}, q^{3}, q^{4}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} + q [q, q^{2}, - q^{2}, q^{4}; q^{10}]_{\infty}) \\ = \frac{(q^{10}; q^{10})_{\infty}}{[q, q^{3}, - q^{2}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty}} ([q^{3}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} + q [q, - q^{2}; q^{10}]_{\infty}) \\ \sum_{n \in Z} q^{5 n^{2}} & = \frac{(q^{10}; q^{10})_{\infty}}{[q, q^{3}, - q^{2}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty}} ([q^{3}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} - q [q, - q^{2}; q^{10}]_{\infty}) \end{aligned}$
を示せば良い. 1つ目の等式は, Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} \frac{[q, q, q^{3}, - q^{2}, - q^{4}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty}}{(q^{10}; q^{10})_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{n^{2}} \\ = \frac{[q, q, q^{3}, - q^{2}, - q^{4}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty}}{(q^{10}; q^{10})_{\infty}} (- q, - q, q^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = [q, q, q^{3}, - q^{2}, - q^{4}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} [- q, - q, - q^{3}, - q^{3}, - q^{5}, q^{2}, q^{4}; q^{10}]_{\infty} \\ = [- q^{3}, - q^{4}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} [q^{2}, q^{2}, q^{4}, q^{6}, q^{8}; q^{20}]_{\infty} \\ = [- q^{3}, - q^{4}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} [q^{2}; q^{20}]_{\infty} \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(q^{10}; q^{10})_{\infty}} \\ = [q^{2}, - q^{3}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} [q^{2}, q^{8}; q^{20}]_{\infty} \\ = [q^{2}, q^{2}, - q^{3}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} \end{aligned}$
ここで, 定理1において, $q \mapsto q^{10}, A = - q^{6}, b = q, c = q^{3}, d = e = - q^{4}$ より,
$\begin{array}{r} [q^{2}, q^{2}, - q^{3}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} = [q, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} ([q^{3}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} + q [q, - q^{2}; q^{10}]_{\infty}) \end{array}$
であるから1つ目の等式を得る. 次に, 2つ目の等式は, Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} \frac{[q, - q, q^{3}, - q^{2}, q^{4}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty}}{(q^{10}; q^{10})_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{5 n^{2}} \\ = [q, - q, q^{3}, - q^{2}, q^{4}, - q^{4}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} \\ = [q^{3}, - q^{2}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} [q^{2}, q^{8}; q^{20}]_{\infty} \\ = [q^{2}, - q^{2}, q^{3}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} \end{aligned}$
ここで, 定理1において $q \mapsto q^{10}, A = q^{6}, b = - q, c = q^{3}, d = q^{4}, e = - q^{4}$ より,
$\begin{array}{r} [q^{2}, - q^{2}, q^{3}, - q^{5}; q^{10}]_{\infty} = [- q, q^{4}; q^{10}]_{\infty} ([q^{3}, - q^{4}; q^{10}]_{\infty} - q [q, - q^{2}; q^{10}]_{\infty}) \end{array}$
であるから示される.

参考文献

[1]

Shaun Cooper, Michael Hirschhorn, On some infinite product identities, Rocky Mountain J. Math, 2001, 131-139

[2]

Richard Blecksmith, John Brillhart, Irving Gerst, Parity results for certain partition functions and identities similar to theta function identities., Math. Comp., 1987, 29-38

投稿日：17日前

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

Wataru

771

51253

超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

Wataru

Blecksmith-Brillhart-Gerstの恒等式

参考文献