フィボナッチ数列などの一般リュカ数列の整除性

kについての数学的帰納法で示す。
$$k=1の場合、V_1=P、Q^1＝Qより成り立つ。また$$
$$P{U}_n=U_{n+1}+Q{U}_{n-1}より、$$
$$P{U}_{n+1}-P^2{U}_n+PQ{U}_{n-1}=P\cdot 0=0$$
$$(U_{n+2}+Q{U}_n)-P^2{U}_n+Q(U_n+Q{U}_{n-2})=0$$
$$U_{n+2}-（P^2-2Q)U_n+Q^2{U}_{n-2}=0$$
となり$$V_2=P{V}_1-Q{V}_0=P\cdot P-Q\cdot 2=P^2-2Q$$
よりk=2でも成り立つ。
kがm,m+1の場合も成り立つと仮定すると
$$U_{n+m}-V_m{U}_n+Q^m{U}_{n-m}=0 (1)$$
$$U_{n+m+1}-V_{m+1}{U}_n+Q^{m+1}{U}_{n-m-1}=0 (2)$$
$$が成り立つ。P\cdot (2)-Q(1)を計算すると$$
$$(P{U}_{n+m+1}-Q{U}_{n+m})-(P{V}_{m+1}-Q{V}_m)U_n+Q^{m+1}(P{U}_{n-m-1}-U_{n-m})=0$$
$$U_{n+m+2}-V_{m+2}{U}_n+Q^{m+1}(Q{U}_{n-m-2})=0$$
$$U_{n+m+2}-V_{m+2}{U}_n+Q^{m+2}{U}_{n-m-2}=0$$
となりk=m+2でも成り立つことがわかるため
任意のkで成り立つ。

$$整数k\ge 0についてU_m|U_{mk}を示せばよい。数学的帰納法で示す。$$
$$k=0,1のときについてU_{m\cdot 0}=U_0=0、U_{m\cdot 1}=U_mより成り立つ。$$
$$k=i-1,iで成り立つ、つまりU_m|U_{(i-1)},U_m|U_{mi}が成り立つと仮定する。$$
$$このとき補題より$$
$$U_{mi+m}-V_m{U}_{mi}+Q^m{U}_{mi-m}=0となるので$$
$$U_{m(i+1)}=V_m{U}_{mi}-Q^m{U}_{m(i-1)}$$
$$U_m|U_{m(i-1)},U_m|U_{mi}よりU_m|U_{m(i+1)}がわかり、よって任意のkで成り立つ。$$