フィボナッチ数列などの一般リュカ数列の整除性（2）リュカ数の二乗で割り切れるリュカ数

126

前の記事からの続き
前記事ではまず以下を示した。

U_nの項番についての整除性

$自然数 m, n について m | n ならば U_{m} | U_{n}$

k項飛ばしリュカ数列の満たす漸化式

$U_{n + 1} - P U_{n} + Q U_{n - 1} = 0$
を満たす数列U_nについて、この数列をk個毎に取った数列は
$U_{n + k} - V_{k} U_{n} + Q^{k} U_{n - k} = 0$
を満たす。

続いて、定理1からさらに推し進めた次の結果を示す。

リュカ数の二乗で割り切れるリュカ数

$自然数 m, n について、 m (| U_{m} |) | n ならば U_{m}^{2} | U_{n} (| U_{m} | は U_{m} の絶対値を表す)$

こちらも主に補題2を利用していくが、計算に際していくらかのリュカ数間の関係式を用いるため、それらを補題として示す。

U_nとV_nの関係式

$V_{n} = P U_{n} - 2 Q U_{n - 1} (n \geq 1)$

補題

$U_{n}, U_{n - 1} はいずれも同じ漸化式をみたすのでその一次結合である右辺も同じ漸化式を満たす。$
$また左辺の V_{n} も同じ漸化式を満たすので、 n = 1, 2 で両辺が一致することを確認すればよい。$

$P U_{1} - 2 Q U_{0} = P \cdot 1 - 2 Q \cdot 0 = P = V_{1} より n = 1 で成り立つ。$
$P U_{2} - 2 Q U_{1} = P \cdot P - 2 Q \cdot 1 = P^{2} - 2 Q$
$V_{2} = P V_{1} - Q V_{1} = P \cdot P - Q \cdot 2 = P^{2} - 2 Q より n = 2 で成り立つ$
$以上から V_{n} = P U_{n} - 2 Q U_{n - 1} が n \geq 1 で成り立つ$

$U_{m}^{2} - U_{m + 1} U_{m - 1} = Q^{m - 1} (m \geq 1)$

$漸化式 U_{m + 1} - P U_{m} + Q U_{m - 1} = 0 の両辺に U_{m - 1} をかけると$
$U_{m + 1} U_{m - 1} - P U_{m} U_{m - 1} + Q U_{m - 1}^{2} = 0$
$- P U_{m - 1} = - U_{m} + Q U_{m - 2} より$
$U_{m + 1} U_{m - 1} + U_{m} (- U_{m} + Q U_{m - 2}) + Q U_{m - 1}^{2} = 0$
$U_{m + 1} U_{m - 1} - U_{m}^{2} - Q U_{m} U_{m - 2} + Q U_{m - 1}^{2} = 0$
$U_{m}^{2} - U_{m + 1} U_{m - 1} = Q (U_{m}^{2} - U_{m} U_{m - 2})$
$これより U_{m}^{2} - U_{m + 1} U_{m - 1} が公比 Q の等比数列とわかり$
$U_{1}^{2} - U_{2} U_{0} = 1 より U_{m}^{2} - U_{m + 1} U_{m - 1} = Q^{m - 1}$

準備が済んだので本題の証明にはいる。

定理３

$補題 2 から U_{m}^{2} | U_{m (| U_{m} |)} を言えばよい。$
$以下、 k についての数列 U_{m k} について考える。$ $定理 1 よりこの数列の各項は U_{m} の倍数であることが分かっているので$ $あらかじめ U_{m k} の各項を U_{m} で除した数列 U_{k}^{'} を考える。$
$補題 2 から以下の漸化式と初期値で表せる。$
$U_{k + 1}^{'} - V_{m} U_{k}^{'} + Q^{m} U_{k - 1}^{'} = 0 U_{0}^{'} = 0, U_{1}^{'} = 1$
$この数列がいつ U_{m} で割れるかを知りたいので、法 U_{m} での剰余で考える$
$V_{m} と Q^{m} の法 U_{m} での値については補題 4, 5 から$
$V_{m} = P U_{m} - 2 Q U_{m - 1} \equiv - 2 Q U_{m - 1}$
$Q^{m} = Q^{2 + m - 2} = Q^{2} (U_{m - 1}^{2} - U_{m - 2} U_{m}) \equiv Q^{2} U_{m - 1}^{2}$
$よって U_{k + 1}^{'} - V_{m} U_{k}^{'} + Q^{m} U_{k - 1}^{'} = 0 と併せて$
$U_{k + 1}^{'} + 2 Q U_{m - 1} U_{k}^{'} + Q^{2} U_{m - 1}^{2} U_{k - 1}^{'} \equiv 0$
$U_{k + 1}^{'} + Q U_{m - 1} U_{k}^{'} \equiv - Q U_{m - 1} (U_{k}^{'} + Q U_{m - 1} U_{k - 1}^{'}) \equiv (- Q U_{m - 1})^{k} (k \geq 1)$
$より U_{k}^{'} + Q U_{m - 1} U_{k - 1}^{'} \equiv (- Q U_{m - 1})^{k - 1} (k \geq 2)$
$U_{k}^{'} + Q U_{m - 1} U_{k - 1}^{'} \equiv (- Q U_{m - 1})^{k - 1}$
$- Q U_{m - 1} U_{k - 1}^{'} - (Q U_{m - 1})^{2} U_{k - 2}^{'} \equiv (- Q U_{m - 1})^{k - 2} \cdot (- Q U_{m - 1})$
$(- Q U_{m - 1})^{2} U_{k - 2}^{'} - (Q U_{m - 1})^{3} U_{k - 3}^{'} \equiv (- Q U_{m - 1})^{k - 3} \cdot (- Q U_{m - 1})^{2}$
$\dots$
$(- Q U_{m - 1})^{k - 2} U_{2}^{'} - (- Q U_{m - 1})^{k - 1} U_{1}^{'} \equiv (- Q U_{m - 1}) \cdot (- Q U_{m - 1})^{k - 2}$
の辺々をすべて足し上げると
$U_{k}^{'} - (- Q U_{m - 1})^{k - 1} U_{1}^{'} \equiv (k - 1) (- Q U_{m - 1})^{k - 1}$
$U_{k}^{'} \equiv k (- Q U_{m - 1})^{k - 1}$
$これより k = | U_{m} | とすれば$
$U_{| U_{m} |}^{'} \equiv | U_{m} | (- Q U_{m - 1})^{| U_{m} | - 1} \equiv 0$
$U_{m} | U_{| U_{m} |}^{'} はつまり U_{m}^{2} | U_{m (| U_{m} |)} であるので定理 3 が示された。$