Cayley-Orrの定理
Clausenの公式の一般化として, 以下のような定理が知られている.
\begin{align*} \F21{a,b}{c+\frac 12}{x}\F21{c-a,c-b}{c+\frac 12}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{(c)_n}{\left(c+\frac 12\right)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(2a,2b)_k}{k!(2c)_k}\frac{(c-a-b)_{n-k}}{(n-k)!} \end{align*}
係数を考えると, これは
\begin{align}
\F32{2a,2b,-n}{2c,1-n+a+b-c}{1}&=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\F43{a,b,\frac12-c-n,-n}{c+\frac 12,1-n+a-c,1-n+b-c}{1}
\end{align}
と同値であること分かる.
$c=a+b$とするとClausenの公式を得る.
\begin{align} \F21{2a,2b}{a+b+\frac 12}{x}^2&=\F32{2a,2b,a+b}{2a+2b,a+b+\frac 12}{x} \end{align}
次に, 定理1の類似として以下の2つの式が知られている.
\begin{align} \F21{a,b}{c}{x}\F21{c-a+\frac 12,c-b+\frac 12}{c+1}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(c+\frac 12\right)_n}{(c+1)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(2a,2b)_k}{k!(2c)_k}\frac{\left(c+\frac 12-a-b\right)_{n-k}}{(n-k)!}\\ \F21{a,b}{c}{x}\F21{c-a+\frac 12,c-b-\frac 12}{c}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{\left(c-\frac 12\right)_n}{(c)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(2a-1,2b)_k}{k!(2c-1)_k}\frac{\left(c+\frac 12-a-b\right)_{n-k}}{(n-k)!} \end{align}
証明の前に補題を示しておく.
\begin{align} \F32{a,b,-n}{e,f}1&=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F32{1+a+b-e-f-n,a,-n}{1-n+a-e,1-n+a-f}1 \end{align}
Whippleの${}_4F_3$変換公式
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{d,e,f}1&=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F43{a,d-b,d-c,-n}{d,1-n+a-e,1-n+a-f}1\qquad(1+a+b+c=d+e+f+n)
\end{align}
において, $c,d$以外を固定して$c\to\infty$とすると,
\begin{align}
\F32{a,b,-n}{e,f}1&=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F43{a,1+a+b-e-f-n,-n}{1-n+a-e,1-n+a-f}1
\end{align}
となって示される.
\begin{align} \F32{a,b,-n}{1+a-b,w}1&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\F43{\frac{1+a}2-b,1+a-w,\frac a2,-n}{1+a-b,\frac{1-n+a-w}2,\frac{2-n+a-w}2}1 \end{align}
Whippleによる
Nearly-poised${}_4F_3$の変換公式
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{1+a-b,1+a-c,w}1&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\F54{1+a-b-c,1+a-w,\frac a2,\frac{a+1}2,-n}{1+a-b,1+a-c,\frac{1-n+a-w}2,\frac{2-n+a-w}2}1
\end{align}
において, $c=\frac{a+1}2$とすればよい.
係数を考えるとこれらはそれぞれ
\begin{align}
\F32{2a,2b,-n}{2c,\frac 12-n+a+b-c}{1}&=\frac{\left(c+\frac 12-a,c+\frac 12-b\right)_n}{\left(c+\frac 12,c+\frac 12-a-b\right)_n}\F43{a,b,-n-c,-n}{c,\frac 12-n+a-c,\frac 12-n+b-c}1\\
\F32{2a-1,2b,-n}{2c-1,\frac 12-n+a+b-c}{1}&=\frac{\left(c+\frac 12-a,c-\frac 12-b\right)_n}{\left(c-\frac 12,c+\frac 12-a-b\right)_n}\F43{a,b,1-n-c,-n}{c,\frac 12-n+a-c,\frac 32-n+b-c}1
\end{align}
と同値であることが分かる. この2つの関係式は$1+a+b+c=d+e+f+n$の場合の
Whippleの変換公式
\begin{align}
\F43{a,b,c,-n}{d,e,f}1&=\frac{(e-a,f-a)_n}{(e,f)_n}\F43{a,d-b,d-c,-n}{d,1-n+a-e,1-n+a-f}1
\end{align}
の特別な場合として,
\begin{align}
\F43{a,b,-n-c,-n}{c,\frac 12-n+a-c,\frac 12-n+b-c}{1}&=\frac{\left(c+\frac 12,c-b\right)_n}{\left(c,c+\frac 12-b\right)_n}\F43{a+\frac 12,b,\frac 12-n-c,-n}{c+\frac 12,\frac 12-n+a-c,1-n+b-c}{1}
\end{align}
が成り立つことから同値であることが分かる. 次に, 定理2はそれぞれ,
\begin{align}
\F32{2a,2b,-n}{2c-1,1-n+a+b-c}{1}&=\frac{\left(c-a,c-b\right)_n}{\left(c,c-a-b\right)_n}\F43{a,b,\frac 12-n-c,-n}{c-\frac 12,1-n+a-c,1-n+b-c}1\\
\F32{2a+1,2b,-n}{2c,1-n+a+b-c}{1}&=\frac{\left(c-a,c-b\right)_n}{\left(c,c-a-b\right)_n}\F43{a+1,b,1-n-c,-n}{c+\frac 12,1-n+a-c,1-n+b-c}1
\end{align}
と書き直せるので, 1つ目の式を$\frac{2c-1}{2c-2a-1}$倍, 2つ目の式を$\frac{2a}{2a-2c+1}$倍して足し合わせると,
\begin{align}
\frac{(a)_k}{\left(c+\frac 12\right)_k}&=\frac{2c-1}{2c-2a-1}\frac{(a)_k}{\left(c-\frac 12\right)_k}+\frac{2a}{2a-2c+1}\frac{(a+1)_k}{\left(c+\frac 12\right)_k}\\
\frac{(2a)_k}{(2c)_k}&=\frac{2c-1}{2c-2a-1}\frac{(2a)_k}{\left(2c-1\right)_k}+\frac{2a}{2a-2c+1}\frac{(2a+1)_k}{\left(2c\right)_k}
\end{align}
であることから定理1が得られる. よって定理2の1つ目の式を示せば全ての式が示せることが分かった. つまり, 以下を示せば良い.
\begin{align}
\F32{2a,2b,-n}{2c,\frac 12-n+a+b-c}{1}&=\frac{\left(c+\frac 12-a,c+\frac 12-b\right)_n}{\left(c+\frac 12,c+\frac 12-a-b\right)_n}\F43{a,b,-n-c,-n}{c,\frac 12-n+a-c,\frac 12-n+b-c}1
\end{align}
まず, 補題3より,
\begin{align}
\F32{2a,2b,-n}{2c,\frac 12-n+a+b-c}1&=\frac{\left(c+\frac 12+a-b,2c-2a\right)_n}{\left(2c,c+\frac 12-a-b\right)_n}\F32{2a,\frac 12+a+b-c,-n}{\frac 12+a-b+c,1-n+2a-2c}1
\end{align}
が成り立つ. 次に, 補題4より,
\begin{align}
\F32{2a,\frac 12+a+b-c,-n}{\frac 12+a-b+c,1-n+2a-2c}1&=\frac{(2c)_n}{(2c-2a)_n}\F43{a,c-b,2c+n,-n}{c,c+\frac 12,\frac 12+a-b+c}1
\end{align}
が成り立つ. 最後に,
Whippleの変換公式
より,
\begin{align}
\F43{a,c-b,2c+n,-n}{c,c+\frac 12,\frac 12+a-b+c}1&=\frac{\left(c-a+\frac 12,c-b+\frac 12\right)_n}{\left(c+\frac 12+a-b,c+\frac 12\right)_n}\F43{a,b,-c-n,-n}{c,\frac 12-n+a-c,\frac 12-n+b-c}1
\end{align}
であるから, これらを合わせて示すべき等式が得られる.
系として以下のような式が得られる.
\begin{align} \F21{a,b}{a+b-\frac 12}{x}\F21{a,b}{a+b+\frac 12}{x}&=\F32{2a,2b,a+b}{2a+2b-1,a+b+\frac 12}{x}\\ \F21{a,b}{a+b-\frac 12}{x}\F21{a,b-1}{a+b-\frac 12}{x}&=\F32{2a,2b,a+b-1}{2a+2b-2,a+b-\frac 12}{x} \end{align}
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