代数的構造の初歩：マグマから群へ

2つの自然数の足し算を考えます。対象となるのは自然数全体の集合で、これを$\mathbb{N}$と表記します。二項演算は$+$です。

自然数と自然数を足せば自然数となるため、演算は閉じています。

自然数$a$と自然数$b$の引き算$a-b$を考えます。集合は$\mathbb{N}$で、二項演算は$-$です。

$a< b$のとき$a-b$はマイナスとなりますが、負の数は自然数から外れるため、演算は閉じていません。（自然数からはみ出す）

整数と整数の引き算を考えます。対象となるのは整数全体の集合で、これを$\mathbb{Z}$と表記します。二項演算は$-$です。

整数は負の数を含むため、演算は閉じています。

3つの実数$a,b,c$を足す演算を考えます。対象となるのは実数全体の集合で、これを$\mathbb{R}$と表記します。二項演算は$+$です。

$(a+b)+c=a+(b+c)$より、演算は結合的です。

3つの実数$a,b,c$を引く演算を考えます。集合は$\mathbb{R}$で、二項演算は$-$です。

$(a-b)-c \ne a-(b-c)$より、演算は結合的ではありません。

3つの実数$a,b,c$を掛ける演算を考えます。集合は$\mathbb{R}$で、二項演算は$\times$です。

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$より、演算は結合的です。

$0$はどの実数に足しても値を変化させません。つまり、任意の実数$a$に対して以下の関係が成り立ちます。

$$ a+0=0+a=a $$

つまり実数の足し算において、単位元は$0$です。

$1$はどの実数に掛けても値を変化させません。つまり、任意の実数$a$に対して以下の関係が成り立ちます。

$$ a \times 1 = 1 \times a = a $$

つまり実数の掛け算において、単位元は$1$です。

自然数が$1$から始まると定義した場合、足し算の単位元$0$は自然数に含まれません。つまり、自然数は足し算に関して半群であって、モノイドではありません。

ただし、自然数が$0$から始まると定義すれば、足し算に関してモノイドとなります。

ある実数$a$に対して、$-a$を足すと$0$が得られます。つまり、以下の関係が成り立ちます。

$$ a + (-a) = (-a) + a = 0 $$

実数の足し算において、$a$の逆元が$-a$で、$-a$の逆元が$a$です。つまり$-1$を掛けることで逆元を得ることができます。単位元$0$の逆元は$0$自身です。

ある$0$でない実数$a$に対して、$1/a$を掛けると$1$が得られます。つまり、以下の関係が成り立ちます。

$$ a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1 $$

実数の掛け算において、$a$の逆元が$1/a$で、$1/a$の逆元が$a$です。つまり、逆数が逆元となります。単位元$1$の逆元は$1$自身です。なお、$0$には逆数が存在しないことから、逆元も存在しません。

$0$には逆元が存在しません。実数全体の集合$\mathbb{R}$は$0$を含むため、掛け算に関して群ではありません。

実数全体から$0$を除いた集合$\mathbb{R} \setminus \{0\}$（$\mathbb{R}^\times$とも表記）は、すべての元が掛け算に関して逆元を持つため、群になります。