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代数的構造の初歩：マグマから群へ

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集合と二項演算の組に閉性・結合性・単位元・逆元といった公理を段階的に付加して得られるマグマから群までの代数的構造を、具体的な数体系を通して整理します。

概要

数学や物理学の各分野において「群」は対称性や変換を記述する基本的言語として頻繁に登場します。しかし、群の公理（閉性・結合性・単位元・逆元）を抽象的な定義として一度に提示されると、それぞれの要請がどのような意味を持ち、どの条件が欠けるとどのような代数的構造になるのかという階層関係が見えにくくなります。

本記事では、1つの二項演算を持つ代数的構造の最も基本的な枠組みから出発し、公理を1つずつ積み上げながらマグマ、半群、モノイド、群へと至る系列を整理します。抽象的な記号操作に終始せず、自然数・整数・実数の四則演算という具体的な数体系を例に挙げて、各条件が成り立つ場合と成り立たない場合を対比します。また、結合性の代わりに可除性を要請する準群やループを経由する系列についても触れ、群へ至る異なる道筋を確認します。群の定義には含まれない可換性についても、結合性との違いを補足します。

自然数、整数、実数の四則演算に関する基本的な性質を前提とします。本記事では1つの二項演算を持つ初等的な代数的構造の分類に集中し、環や体のような2つの演算を持つ体系、準同型定理、群の表現論などは扱いません。

閉性とマグマ

閉性

ある集合について、その元に対する二項演算を考える。直観的には、演算結果が集合の外にはみ出さず、その集合に属していることを、演算が集合の中に閉じていると表現する。また、この性質を閉性と呼ぶ。

自然数の足し算

2つの自然数の足し算を考える。対象となるのは自然数全体の集合で、これを$\mathbb{N}$と表記する。二項演算は$+$である。

自然数と自然数を足せば自然数となるため、演算は閉じている。

自然数の引き算

自然数$a$と自然数$b$の引き算$a-b$を考える。集合は$\mathbb{N}$で、二項演算は$-$である。

$a< b$のとき$a-b$はマイナスとなるが、負の数は自然数から外れるため、演算は閉じていない。

整数の引き算

整数と整数の引き算を考える。対象となるのは整数全体の集合で、これを$\mathbb{Z}$と表記する。二項演算は$-$である。

整数は負の数を含むため、演算は閉じている。

マグマ

集合と、その中に閉じている演算の組をマグマと呼ぶ。

$$ (\text{集合},\text{演算}) \xrightarrow{\text{閉性}} \text{マグマ} $$

結合性と半群

結合性

演算を並べて$ab$と書くとき、任意の元$a,b,c$について$(ab)c=a(bc)$が成り立つことを結合的であると表現する。元の並びを変えずに、どちらの演算を先に行っても結果が変わらないという意味である。また、この性質を結合性と呼ぶ。

実数の足し算

3つの実数$a,b,c$を足す演算を考える。対象となるのは実数全体の集合で、これを$\mathbb{R}$と表記する。二項演算は$+$である。

$(a+b)+c=a+(b+c)$より、演算は結合的である。

実数の引き算

3つの実数$a,b,c$を引く演算を考える。集合は$\mathbb{R}$で、二項演算は$-$である。

例えば、$(3-2)-1=0$であるが、$3-(2-1)=2$である。このように括弧の位置によって結果が変わる場合があるため、演算は結合的ではない。

実数の掛け算

3つの実数$a,b,c$を掛ける演算を考える。集合は$\mathbb{R}$で、二項演算は$\times$である。

$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$より、演算は結合的である。

結合性の直観的イメージ

どのように演算が結合していても結果が変化しない、というイメージで捉えておけば良いでしょう。

演算子を省略して$(ab)c=a(bc)$と表記すれば、結合のイメージが湧きやすいかもしれません。括弧は演算を行う順序を表すだけで、元の並びは変わりません。並びを入れ替える条件（可換性）とは別の性質です。

半群

集合と、その中に閉じている演算が結合的であるとき、その集合と演算の組を半群と呼ぶ。

結合的なマグマが半群です。

$$ (\text{集合},\text{演算}) \xrightarrow{\text{閉性}} \text{マグマ} \xrightarrow{\text{結合性}} \text{半群} $$

単位元とモノイド

単位元

集合$M$の元$e$が、任意の元$a\in M$に対して$ae=ea=a$を満たすとき、$e$を単位元と呼ぶ。

演算の種類によって単位元は異なります。また、左右の両方で成り立つ必要があります。例えば引き算では、任意の実数$a$に対して$a-0=a$ですが、$0-a=-a$であり、$a\ne0$のとき$a$とは異なります。したがって、$0$は引き算の単位元ではありません。

実数の足し算

$0$はどの実数に足しても値を変化させない。つまり、任意の実数$a$に対して以下の関係が成り立つ。

$$ a+0=0+a=a $$

つまり実数の足し算において、単位元は$0$である。

実数の掛け算

$1$はどの実数に掛けても値を変化させない。つまり、任意の実数$a$に対して以下の関係が成り立つ。

$$ a \times 1 = 1 \times a = a $$

つまり実数の掛け算において、単位元は$1$である。

0と掛け算の単位元

$0$は任意の実数$a$に掛けても$0$となり、$a$の値を変化させるため単位元ではありません。

$$ a \times 0 = 0 \times a = 0 $$

モノイド

集合と、その中に閉じている演算が結合的で、単位元が存在するとき、その集合と演算の組をモノイドと呼ぶ。

単位元を持つ半群がモノイドです。

$$ (\text{集合},\text{演算}) \xrightarrow{\text{閉性}} \text{マグマ} \xrightarrow{\text{結合性}} \text{半群} \xrightarrow{\text{単位元}} \text{モノイド} $$

自然数の足し算

自然数が$1$から始まると定義した場合、足し算の単位元$0$は自然数に含まれない。つまり、自然数は足し算に関して半群であって、モノイドではない。

ただし、自然数が$0$から始まると定義すれば、足し算に関してモノイドとなる。

このように、同じ演算でも、対象とする集合によってモノイドになるかどうかが変わります。

逆元と群

逆元

単位元$e$を持つマグマにおいて、元$a$に対して$ab=ba=e$を満たす元$b$を、$a$の逆元と呼ぶ。

モノイドでは、逆元は存在すれば一意です。

モノイドにおける逆元の一意性

モノイドの元$a$の逆元は、存在すればただ1つである。

$b,c$がともに$a$の逆元であるとする。単位元を$e$とすると、結合性より
$$ b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c $$
である。

演算の種類によって逆元は異なります。

実数の足し算

ある実数$a$に対して、$-a$を足すと$0$が得られる。つまり、以下の関係が成り立つ。

$$ a + (-a) = (-a) + a = 0 $$

実数の足し算において、$a$の逆元が$-a$で、$-a$の逆元が$a$である。つまり$-1$を掛けることで逆元を得ることができる。単位元$0$の逆元は$0$自身である。

実数の掛け算

ある$0$でない実数$a$に対して、$1/a$を掛けると$1$が得られる。つまり、以下の関係が成り立つ。

$$ a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1 $$

実数の掛け算において、$a$の逆元が$1/a$で、$1/a$の逆元が$a$である。つまり、逆数が逆元となる。単位元$1$の逆元は$1$自身である。なお、$0$には逆数が存在しないことから、逆元も存在しない。

自然数ではすべての元が逆元を持つわけではない

$0$を含む自然数の足し算では、$0$以外の元は自然数の中に逆元を持ちません。自然数の掛け算では、$1$以外の元は自然数の中に逆元を持ちません。逆元の候補となる負の数や分数が自然数に含まれないためです。したがって、どちらも群にはなりません。

群

集合と、その中に閉じている演算が結合的で、単位元が存在し、すべての元に逆元が存在するとき、その集合と演算の組を群と呼ぶ。

すべての元が逆元を持つモノイドが群です。

$$ (\text{集合},\text{演算}) \xrightarrow{\text{閉性}} \text{マグマ} \xrightarrow{\text{結合性}} \text{半群} \xrightarrow{\text{単位元}} \text{モノイド} \xrightarrow{\text{各元の逆元}} \text{群} $$

逆元についての閉性

演算は集合の元に対して定義されるため、逆元が集合に含まれなければ、逆元との演算を考えることができません。つまり、逆元を求める操作は閉じていることが必要です。

実数の掛け算

$0$には逆元が存在しない。実数全体の集合$\mathbb{R}$は$0$を含むため、掛け算に関して群ではない。

実数全体から$0$を除いた集合$\mathbb{R} \setminus \{0\}$（$\mathbb{R}^\times$とも表記）は、すべての元が掛け算に関して逆元を持つため、群になる。

このように、同じ演算でも、対象とする集合によって群になるかどうかが変わります。

可換性

任意の元$a,b$について$ab=ba$が成り立つとき、演算は可換であるという。演算が可換な群を可換群（アーベル群）と呼ぶ。

可換性と群の定義

可換性は群の定義に含まれません。本記事の例の足し算と掛け算はすべて可換ですが、一般の群は可換とは限りません。なお、引き算は$3-2=1$、$2-3=-1$より可換ではありません。

可除性と準群・ループ

結合性とは別に、群の性質から方程式の可解性を取り出す道筋もあります。

準群

マグマ$M$において、任意の元$a,b\in M$に対して、方程式$ax=b$と$ya=b$がそれぞれ$M$内にただ1つの解を持つとき、$M$を準群と呼ぶ。この左右の一意可解性を、本記事では可除性と呼ぶ。

準群には単位元を仮定しないため、可除性は逆元の存在とは別の条件です。

整数の引き算

演算を$a*b=a-b$と書く。$a*x=b$の解は$x=a-b$、$y*a=b$の解は$y=a+b$とただ1つなので、$(\mathbb Z,-)$は準群である。

一方、$a\ne0$のとき$0-a\ne a$なので両側の単位元はなく、ループではない。また、結合的でないので半群でもない。

ループ

単位元を持つ準群をループと呼ぶ。

整数の足し算

$(\mathbb Z,+)$では、$a+x=b$の解も$y+a=b$の解も、ともに$b-a$とただ1つなので準群である。単位元$0$を持つのでループで、さらに結合的なので群である。

ループと逆元

ループでは$ax=e$の解と$ya=e$の解がそれぞれただ1つ存在しますが、一般には両者が一致するとは限りません。結合性があれば、$y=ye=y(ax)=(ya)x=ex=x$より両者は一致して$a$の逆元となり、すべての元が逆元を持つので群になります。

まとめ

集合と、その中に閉じている演算の組をマグマと呼びます。

マグマが結合的であれば半群、半群が単位元を持てばモノイド、モノイドのすべての元が逆元を持てば群と呼びます。群の演算が可換であれば可換群と呼びますが、可換性は群の定義には含まれません。

結合性を経由する系列

また、これとは異なる順番で代数的構造を拡張したものにも名前が付けられています。

マグマにおいて任意の$a,b$に対して方程式$ax = b$と$ya = b$がそれぞれ一意に解ければ準群、準群が単位元を持てばループ、ループが結合的であれば群と呼びます。この一意可解性を可除性と呼びます。準群には単位元を仮定しないため、可除性は逆元の存在とは別の条件です。

可除性を経由する系列

$$ (\text{集合},\text{演算}) \xrightarrow{\text{閉性}} \text{マグマ} \xrightarrow{\text{可除性}} \text{準群} \xrightarrow{\text{単位元}} \text{ループ} \xrightarrow{\text{結合性}} \text{群} $$

一度にすべての名前を覚えることは難しいかもしれませんが、最も重要な群に焦点を絞ると良いでしょう。