連続q-Hermite多項式の直交性
$x:=\cos\theta$とする. 連続$q$-Hermite多項式は
\begin{align}
H_n(x|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(q;q)_n}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される. その一般化であるRogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義され, $H_n(x|q)=(q;q)_nC_n(x;0|q)$の関係がある.
前の記事
で, Rogers多項式の直交性
\begin{align}
\int_0^{\pi}C_n(x;a|q)C_m(x;a|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(a;q)_{\infty}^2}{(q,a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n(1-aq^n)}
\end{align}
を示した. ここで$a=0$とすると以下を得る.
$x=\cos\theta$とする.
\begin{align}
\int_0^{\pi}H_n(x|q)H_m(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
今回はこの直交性により直接的な証明を与えたいと思う.
まず,
\begin{align}
|(e^{2i\theta};q)_{\infty}|^2&=(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}\\
&=\sum_{0\leq a,b}\frac{(-1)^aq^{\binom a2}}{(q;q)_a}\frac{(-1)^bq^{\binom b2}}{(q;q)_b}e^{2i(a-b)\theta}
\end{align}
であるから, $k$を整数として,
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta\\
&=\sum_{0\leq a,b}\frac{(-1)^aq^{\binom a2}}{(q;q)_a}\frac{(-1)^bq^{\binom b2}}{(q;q)_b}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(2a-2b+k)\theta}\,d\theta
\end{align}
$k$が奇数のとき, これは$0 $であり, $k$が偶数のとき, $k=2j$として
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}e^{2ij\theta}\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta\\
&=(-1)^j2\pi\sum_{0\leq a}\frac{q^{\binom a2}}{(q;q)_a}\frac{q^{\binom{a+j}2}}{(q;q)_{a+j}}\\
&=\frac{(-1)^j2\pi q^{\binom j2}}{(q;q)_j}\sum_{0\leq a}\frac{q^{a^2-a}}{(q,q^{j+1};q)_a}q^{aj}(q^{a+j}+(1-q^{a+j}))\\
&=\frac{(-1)^j2\pi q^{\binom j2}}{(q;q)_j}\left(q^j\Q01{-}{q^{j+1}}{q^{j+1}}+(1-q^j)\Q01{-}{q^j}{q^j}\right)\\
&=\frac{(-1)^j2\pi q^{\binom j2}}{(q;q)_j}\left(\frac{q^j}{(q^{j+1};q)_{\infty}}+\frac{1-q^j}{(q^j;q)_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(-1)^j2\pi q^{\binom j2}(1+q^j)}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. ここで,
Heineの和公式
の系
\begin{align}
\Q01{-}{c}{c}&=\frac 1{(c;q)_{\infty}}
\end{align}
を用いた. つまり,
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{2\pi}{(q;q)_{\infty}}(-1)^jq^{\binom j2}(1+q^j) &k=2j\\
0&k:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
となる. よって, $n,k$の偶奇が異なるとき,
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=0
\end{align}
であり, 偶奇が等しいとき, $n=k+2j$として, $q$二項定理より$0< j< n$のとき,
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta\\
&=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{a=0}^{n}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_a(q;q)_{n-a}}e^{i(2k+2j-2a)\theta}\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta\\
&=\frac{2\pi}{(q;q)_{\infty}}\sum_{a=0}^{n}\frac{(q;q)_n}{(q;q)_a(q;q)_{n-a}}(-1)^{j+k-a}q^{\binom{j+k-a}2}(1+q^{j+k-a})\\
&=\frac{2\pi}{(q;q)_{\infty}}(-1)^{j+k}q^{\binom{j+k}2}\sum_{a=0}^{n}\frac{(q^{-n};q)_a}{(q;q)_a}q^{a(n+1-j-k)}(1+q^{j+k-a})\\
&=\frac{2\pi}{(q;q)_{\infty}}(-1)^{j+k}q^{\binom{j+k}2}\left(\sum_{a=0}^{n}\frac{(q^{-n};q)_a}{(q;q)_a}q^{a(j+1)}+q^{j+k}\sum_{a=0}^{n}\frac{(q^{-n};q)_a}{(q;q)_a}q^{aj}\right)\\
&=\frac{2\pi}{(q;q)_{\infty}}(-1)^{j+k}q^{\binom{j+k}2}\left(\frac{(q^{j+1-n};q)_{\infty}}{(q^{j+1};q)_{\infty}}+q^{j+k}\frac{(q^{j-n};q)_{\infty}}{(q^{j};q)_{\infty}}\right)\\
&=0
\end{align}
となる. $j=n$の場合$k=-n$で,
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}e^{-in\theta}H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=\frac{2\pi(q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. 複素共役を考えると
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}e^{in\theta}H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=\frac{2\pi(q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
も分かる. よって, $m< n$のとき
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}H_m(x|q)H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=0
\end{align}
であり,
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}H_n(x|q)H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=
\int_{-\pi}^{\pi}(e^{in\theta}+e^{-in\theta})\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta\\
&=\frac{4\pi(q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}H_n(x|q)H_n(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=\frac{2\pi(q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
となるから, これらを合わせて,
\begin{align}
\int_0^{\pi}H_n(x|q)H_m(x|q)\left|(e^{2i\theta};q)_{\infty}\right|^2\,d\theta&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(q;q)_n}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る.
より一般に, 同様の方針によるRogers多項式の直交性の証明がGasper-Rahmanの本に載っている.
