Rogers多項式の直交性
$x:=\cos\theta$とする.
前の記事
でRogers多項式がAskey-Wilson多項式を用いて
\begin{align}
C_n(x;a|q)=\frac{(a^2;q)_n}{(q,-a;q)_n(a^2q;q^2)_n}p_n(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}|q)
\end{align}
と表されることを示した.
Askey-Wilson多項式の直交性
\begin{align}
&\int_0^{\pi}p_n(x;a,b,c,d|q)p_m(x;a,b,c,d|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\
&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(1-abcdq^{n-1})(abcdq^n;q)_{\infty}}{(1-abcdq^{2n-1})(q^{n+1},abq^{n},acq^{n},adq^{n},bcq^{n},bdq^{n},cdq^{n};q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a,b,c,d$をそれぞれ$\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}$とすると
\begin{align}
&\int_0^{\pi}p_n(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}|q)p_m(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\
&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(1-a^2q^{n})(a^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(1-a^2q^{2n})(q^{n+1},-aq^{n},aq^{n+\frac 12},-aq^{n+\frac 12},-aq^{n+\frac 12},aq^{n+\frac 12},-aq^{n+1};q)_{\infty}}\\
&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(a^2;q)_{\infty}}{(1-aq^{n})(q,-a,-a;q)_{\infty}(a^2q;q^2)_{\infty}^2}\frac{(q;q)_n(-a;q)_{n}^2(a^2q;q^2)_{n}^2}{(a^2;q)_{n}}\\
&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(a;q)_{\infty}^2}{(1-aq^{n})(q,a^2;q)_{\infty}}\frac{(q;q)_n(-a;q)_{n}^2(a^2q;q^2)_{n}^2}{(a^2;q)_{n}}
\end{align}
であるから, Rogers多項式に書き換えると以下が得られる.
非負整数$n,m$に対し,
\begin{align}
\int_0^{\pi}C_n(x;a|q)C_m(x;a|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta&=\delta_{n,m}\frac{2\pi(a;q)_{\infty}^2}{(q,a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n(1-aq^{n})}
\end{align}
が成り立つ.
定理1の応用として, 以下の表示を示す.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
C_n(x;a^2|q^2)&=\frac{(a^2;q)_n}{(q^2,a^2q;q^2)_n}p_n(x;a,-a,\sqrt q,-\sqrt q|q)
\end{align}
が成り立つ.
定理1より$C_n(x;a^2|q^2)$の重み関数は
\begin{align}
\left|\frac{(e^{2i\theta};q^2)_{\infty}}{(a^2e^{2i\theta};q^2)_{\infty}}\right|^2&=\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(a^2e^{2i\theta},e^{2i\theta}q;q^2)_{\infty}}\right|^2\\
&=\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},-ae^{i\theta},e^{i\theta}\sqrt q,-e^{i\theta}\sqrt q;q)_{\infty}}\right|^2
\end{align}
である. これは$p_n(x;a,-a,\sqrt q,-\sqrt q|q)$の重み関数と等しい. よって区間と重み関数が等しい直交多項式は定数倍を除いて一意的に定まるので,
\begin{align}
C_n(x;a^2|q^2)&=A_np_n(x;a,-a,\sqrt q,-\sqrt q|q)
\end{align}
となる$x$によらない定数$A_n$がある. ここで, $e^{i\theta}\to a$とすれば,
前の記事
の定理1より
\begin{align}
C_n(x;a^2|q^2)&=\frac{(a^4;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}a^{-n}\Q43{q^{-2n},a^4q^{2n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{a^2q,-a^2,-a^2q}{q^2;q^2}\\
&\to \frac{(a^4;q^2)_n}{(q^2;q^2)}a^{-n}\\
p_n(x;a,-a,\sqrt q,-\sqrt q|q)&=a^{-n}(-a^2,a\sqrt q,-a\sqrt q;q)_n\Q43{q^{-n},a^2q^n,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{-a^2,a\sqrt q,-a\sqrt q}q\\
&\to a^{-n}(-a^2;q)_n(a^2q;q^2)_n
\end{align}
であるから,
\begin{align}
A_n&=\frac{(a^4;q^2)_n}{(q^2;q^2)(-a^2;q)_n(a^2q;q^2)_n}\\
&=\frac{(a^2;q)_n}{(q^2,a^2q;q^2)_n}
\end{align}
となって定理を得る.
定理2は 前の記事 の定理1と Singhの二次変換公式 と Searsの変換公式 を組み合わせて示すこともできるが, 直交性を用いた証明の方が見通しが良いという利点があると思う.
