Rogers多項式のAskey-Wilson多項式による表示
$x:=\cos\theta$とする. Rogers多項式はGegenbauer多項式の$q$類似であり, 以下のように定義される.
\begin{align}
C_n(x;a|q)&:=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}\\
&=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}e^{in\theta}\Q21{a,q^{-n}}{q^{1-n}/a}{\frac{e^{-2i\theta}q}{a}}
\end{align}
以下の表示が知られている.
\begin{align} C_n(x;a|q)=\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}a^{-n/2}\Q43{q^{-n},a^2q^n,\sqrt a e^{i\theta},\sqrt a e^{-i\theta}}{a\sqrt q,-a,-a\sqrt q}q \end{align}
Gasper-Rahmanの二次変換公式
\begin{align}
&\Q21{a^2,b^2}{a^2q^2/b^2}{q^2;\frac{x^2q^2}{b^4}}\\
&=\frac{(aq/b^2,x^2q/b^2;q)_{\infty}}{(ax^2q/b^2,a^2q/b^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2x^2q/b^2,a^2x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}{(x^2q/b^2,x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{ax^2/b^2,q\sqrt{ax^2/b^2},-q\sqrt{ax^2/b^2},a,x,-x,x\sqrt q/b,-x\sqrt q/b}{\sqrt{ax^2/b^2},-\sqrt{ax^2/b^2},x^2q/b^2,axq/b^2,-axq/b^2,ax\sqrt q/b,-ax\sqrt q/b}{\frac{aq}b}
\end{align}
において, $a\mapsto q^{-n}$とすると,
\begin{align}
&\Q21{q^{-2n},b^2}{q^{2-2n}/b^2}{q^2;\frac{x^2q^2}{b^4}}\\
&=\frac{(q^{1-n}/b^2,x^2q/b^2;q)_{\infty}}{(x^2q^{1-n}/b^2,q^{1-2n}/b^2;q)_{\infty}}\frac{(x^2q^{1-2n}/b^2,x^2q^{2-2n}/b^4;q^2)_{\infty}}{(x^2q/b^2,x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{x^2q^{-n}/b^2,q\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},-q\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},q^{-n},x,-x,x\sqrt q/b,-x\sqrt q/b}{\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},-\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},x^2q/b^2,xq^{1-n}/b^2,-xq^{1-n}/b^2,xq^{\frac 12-n}/b,-xq^{\frac 12-n}\sqrt q/b}{\frac{q^{1-n}}b}
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
&\frac{(q^{1-n}/b^2,x^2q/b^2;q)_{\infty}}{(x^2q^{1-n}/b^2,q^{1-2n}/b^2;q)_{\infty}}\frac{(x^2q^{1-2n}/b^2,x^2q^{2-2n}/b^4;q^2)_{\infty}}{(x^2q/b^2,x^2q^2/b^4;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(q^{1-n}/b^2;q)_n(x^2q^{1-2n}/b^2,x^2q^{2-2n}/b^4;q^2)_{n}}{(x^2q^{1-n}/b^2;q)_n(q^{1-2n}/b^2;q)_{2n}}\\
&=\frac{(q^{1-n}/b^2;q)_n(x^2q^{1-2n}/b^2,x^2q^{2-2n}/b^4;q^2)_{n}}{(x^2q^{1-n}/b^2;q)_n(q^{1-2n}/b^2;q)_{2n}}\\
&=\frac{(b^2;q)_n(b^2q/x^2,b^4/x^2;q^2)_n}{(b^2/x^2;q)_n(b^2;q)_{2n}}\left(\frac xb\right)^{2n}
\end{align}
である. また,
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
より
\begin{align}
&\Q87{x^2q^{-n}/b^2,q\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},-q\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},q^{-n},x,-x,x\sqrt q/b,-x\sqrt q/b}{\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},-\sqrt{x^2q^{-n}/b^2},x^2q/b^2,xq^{1-n}/b^2,-xq^{1-n}/b^2,xq^{\frac 12-n}/b,-xq^{\frac 12-n}/b}{\frac{q^{1-n}}b}\\
&=\frac{(x^2q^{1-n}/b^2,-q^{1-n}/b^2;q)_n}{(xq^{1-n}/b^2,-xq^{1-n}/b^2;q)_n}\Q43{x,-x,-q^{-n},q^{-n}}{xq^{\frac 12-n}/b,-xq^{\frac 12-n}/b,-b^2}q\\
&=\frac{(b^2/x^2,-b^2;q)_n}{(b^2/x,-b^2/x;q)_n}\Q43{x,-x,-q^{-n},q^{-n}}{xq^{\frac 12-n}/b,-xq^{\frac 12-n}/b,-b^2}q
\end{align}
また,
Searsの変換公式
より
\begin{align}
&\Q43{x,-x,-q^{-n},q^{-n}}{xq^{\frac 12-n}/b,-xq^{\frac 12-n}/b,-b^2}q\\
&=\frac{(q^{\frac 12-n}/b,-q^{\frac 12-n}/b;q)_n}{(xq^{\frac 12-n}/b,-xq^{\frac 12-n}/b;q)_n}x^n\Q43{x,b^2/x,b^2q^n,q^{-n}}{-b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q}q\\
&=\frac{(b^2q;q^2)_n}{(b^2q/x^2;q^2)_n}x^{-n}\Q43{x,b^2/x,b^2q^n,q^{-n}}{-b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q}q
\end{align}
ここで, さらに
Singhの二次変換公式
より,
\begin{align}
\Q43{x,b^2/x,b^2q^n,q^{-n}}{-b^2,b\sqrt q,-b\sqrt q}q&=\Q43{x,b^2/x,b^4q^{2n},q^{-2n}}{b^2q,-b^2,-b^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
を得る. よって, これらを合わせると
\begin{align}
&\Q21{q^{-2n},b^2}{q^{2-2n}/b^2}{q^2;\frac{x^2q^2}{b^4}}\\
&=\frac{(b^2;q)_n(b^2q/x^2,b^4/x^2;q^2)_n}{(b^2/x^2;q)_n(b^2;q)_{2n}}\left(\frac xb\right)^{2n}\frac{(b^2/x^2,-b^2;q)_n}{(b^2/x,-b^2/x;q)_n}\frac{(b^2q;q^2)_n}{(b^2q/x^2;q^2)_n}x^{-n}\Q43{x,b^2/x,b^4q^{2n},q^{-2n}}{b^2q,-b^2,-b^2q}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(b^4;q^2)_n}{(b^2;q^2)_{n}}\left(\frac{x}{b^2}\right)^n\Q43{x,b^2/x,b^4q^{2n},q^{-2n}}{b^2q,-b^2,-b^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Q21{q^{-2n},b^2}{q^{2-2n}/b^2}{q^2;\frac{x^2q^2}{b^4}}&=\frac{(b^4;q^2)_n}{(b^2;q^2)_{n}}\left(\frac{x}{b^2}\right)^n\Q43{x,b^2/x,b^4q^{2n},q^{-2n}}{b^2q,-b^2,-b^2q}{q^2;q^2}
\end{align}
を得る. これは$q^2\mapsto q, b^2\mapsto a,x\mapsto \sqrt ae^{-i\theta}$とすると,
\begin{align}
\Q21{q^{-n},a}{q^{1-n}/a}{\frac{e^{-2i\theta}q}{a}}&=\frac{(a^2;q)_n}{(a;q)_{n}}a^{-\frac n2}e^{-in\theta}\Q43{\sqrt ae^{i\theta},\sqrt ae^{-i\theta},a^2q^{n},q^{-n}}{aq^{\frac 12},-a,-aq^{\frac 12}}{q}
\end{align}
よって, これを
\begin{align}
C_n(x;a|q)&:=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}\\
&=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}e^{in\theta}\Q21{a,q^{-n}}{q^{1-n}/a}{\frac{e^{-2i\theta}q}{a}}
\end{align}
に代入して示すべき等式が得られる.
Askey-Wilson多項式との関係
Askey-Wilson多項式は
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
と定義される. 定理1の右辺は
\begin{align}
&\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}a^{-n/2}\Q43{q^{-n},a^2q^n,\sqrt a e^{i\theta},\sqrt a e^{-i\theta}}{a\sqrt q,-a,-a\sqrt q}q\\
&=\frac{(a^2;q)_n}{(q,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q;q)_n}a^{-n/2}(a\sqrt q,-a,-a\sqrt q;q)_n\Q43{q^{-n},aq^n,\sqrt a e^{i\theta},\sqrt a e^{-i\theta}}{a\sqrt q,-a,-a\sqrt q}q\\
&=\frac{(a^2;q)_n}{(q,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q;q)_n}p_n(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt {aq}|q)\\
&=\frac{(a^2;q)_n}{(q,-a;q)_n(a^2q;q^2)_n}p_n(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt {aq}|q)
\end{align}
と書き換えられる.
\begin{align} C_n(x;a|q)=\frac{(a^2;q)_n}{(q,-a;q)_n(a^2q;q^2)_n}p_n(x;\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt {aq}|q) \end{align}
