最近の数コンの問題

任意の正の整数$n$に対して,不等式
$x< n+ \sqrt[3]{x}< x+1 $
を満たす正の整数xが唯一存在することを示して,$x$を$n$の式で表せ.
ただし,この時小数部分の切り捨て記号[]を用いてもよい.

$1$本の線分を,有限個の部分で折り曲げることにより作られる閉曲線を,ジグザグ閉曲線と呼び,さらにジグザグ閉曲線が自分自身で交点を持つときを$S$型,持たないときを$N$型と呼ぶ.
あるジグザグ閉曲線を$Z_0$とし,ジグザグ閉曲線の系列$Z_0,Z_1,Z_2,…$を以下のように作る.
$Z_k(k=0,1,2…)$に対し,$Z_k$を作る各線分の中点を順に線分で結び,つなげたものを$Z_{k+1}$とする.
この時,$k$が偶数で$Z_k$が$S$型,$k$が奇数で$Z_k$が$N$型となるようなものは存在するだろうか.
結論を述べて,それを証明せよ.

平面上にある互いに平行でない$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$を満たすとする.
$ \left| \overrightarrow{p} \right|=1 $である任意のベクトル$\overrightarrow{p}$に対し,
$C(\overrightarrow{p})= \large{\sum_{cyc}} \Huge{\frac{(\overrightarrow{p}・\overrightarrow{a})(\overrightarrow{p}・\overrightarrow{b})}{ \left| \overrightarrow{a} \right|^2 \left| \overrightarrow{b} \right|^2 }}$とすると$C(\overrightarrow{p})$は一定値をとる.
$C(\overrightarrow{p})$の幾何学的な意味を考えよ.

$a_1=1,a_2=2$
$a_n=\Huge{\frac{(10n-16)a_{n-1}-(9n-27)a_{n-2}}{n-1}}$
で定められる数列$a_n$の各項は整数になる.
この数列の組み合わせ論的な意味を考えよ.

次の性質を満たす数列$ \lbrace a_n \rbrace (n=1,2,3…)$の一つを適当な漸化式,および$2$個以下の特定の項を定めることにより定義せよ.

$n$が奇数であることと,$a_n \equiv0 \pmod{n}であることが同値である$

正の整数$n$に対して,$f(n)= _{2n} \mathrm{ C }_n +_{\frac{2(n-1)}{3}} \mathrm{ C }_{\frac{n-1}{3}}$とする.
ただし,$k$が整数でない時は,$_{2k} \mathrm{ C }_k=0$とする.
ここで,$f(n) \equiv 0 \pmod{n+2} $が成り立たない$n$の存在を考えることにより,任意の$n$に対し,$f(n) \equiv 0 \pmod{n+2} $が常に成り立つように$f(n)$を改良せよ.
注:改良の形は任意であるが,原型に準ずるもの(二項係数で構成するようもの)が望ましい.

ある正の整数$a,b$に対して,
$abxy-a^2x-b^2y=0$
が成り立つような正の整数の組$(x,y)$を全て求めよ.

次の仮定を満たす正の整数$t$を求めよ.

数列$\lbrace a_n \rbrace(n=1,2,3,…)$を,$a_1,a_2,a_3$を適当な正の整数,かつ
$a_{n+3}=\Huge{\frac{ta_{n+1}a_{n+2}-1}{a_{n+1}a_{n+2}}}\normalsize-a_n-a_{n+1}-a_{n+2}$
と定めると,$\lbrace a_n \rbrace$の任意の項が整数となる.