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最近の数コンの問題

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思ったよりも反響が大きく(当社比),最近のものを急いで編集しました!
回答を募集してます!
第1回~
問題編
回答編

第107回

任意の正の整数nに対して,不等式
x<n+x3<x+1
を満たす正の整数xが唯一存在することを示して,xnの式で表せ.
ただし,この時小数部分の切り捨て記号[]を用いてもよい.

コメント簡単回です.答えから逆算しましょう.

第108回

1本の線分を,有限個の部分で折り曲げることにより作られる閉曲線を,ジグザグ閉曲線と呼び,さらにジグザグ閉曲線が自分自身で交点を持つときをS型,持たないときをN型と呼ぶ.
あるジグザグ閉曲線をZ0とし,ジグザグ閉曲線の系列Z0,Z1,Z2,を以下のように作る.
Zk(k=0,1,2)に対し,Zkを作る各線分の中点を順に線分で結び,つなげたものをZk+1とする.
この時,kが偶数でZkS型,kが奇数でZkN型となるようなものは存在するだろうか.
結論を述べて,それを証明せよ.

コメント

第109回

平面上にある互いに平行でない3つのベクトルa,b,ca+b+c=0を満たすとする.
|p|=1である任意のベクトルpに対し,
C(p)=cyc(pa)(pb)|a|2|b|2とするとC(p)は一定値をとる.
C(p)の幾何学的な意味を考えよ.

コメントこれはわかりやすいですね.

第110回

a1=1,a2=2
an=(10n16)an1(9n27)an2n1
で定められる数列anの各項は整数になる.
この数列の組み合わせ論的な意味を考えよ.

コメント
組合わせの対応付けが苦手なせいで,手が付けられませんorz.

第111回

次の性質を満たす数列{an}(n=1,2,3)の一つを適当な漸化式,および2個以下の特定の項を定めることにより定義せよ.

nが奇数であることと,an0(modn)

コメント数学的な背景がわかる方はDM下さると嬉しいです

第112回

正の整数nに対して,f(n)=2nCn+2(n1)3Cn13とする.
ただし,kが整数でない時は,2kCk=0とする.
ここで,f(n)0(modn+2)が成り立たないnの存在を考えることにより,任意のnに対し,f(n)0(modn+2)が常に成り立つようにf(n)を改良せよ.
注:改良の形は任意であるが,原型に準ずるもの(二項係数で構成するようもの)が望ましい.

コメント回答作成中

第113回

ある正の整数a,bに対して,
abxya2xb2y=0
が成り立つような正の整数の組(x,y)を全て求めよ.

コメント二次形式と関係がありそうな見た目をしていますね.
回答作成中

第114回

次の仮定を満たす正の整数tを求めよ.

数列{an}(n=1,2,3,)を,a1,a2,a3を適当な正の整数,かつ
an+3=tan+1an+21an+1an+2anan+1an+2
と定めると,{an}の任意の項が整数となる.

コメント一つ構成するのは簡単ですから答えはすぐに求まります.
しかし,そのようなtを全て求めることは出来るのでしょうか?

第115回

コメント問題文が長すぎるので待っててください

第116回

コメント上に同じく

ここは仮置き場です.
将来的には問題編として一つに纏めます.

投稿日:2024425
更新日:2024529
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wwwww
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