最近の数コンの問題

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

思ったよりも反響が大きく(当社比),最近のものを急いで編集しました！
回答を募集してます！
第1回～
問題編
 回答編

第107回

任意の正の整数 $n$ に対して,不等式
$x < n + \sqrt[3]{x} < x + 1$
を満たす正の整数xが唯一存在することを示して, $x$ を $n$ の式で表せ.
ただし,この時小数部分の切り捨て記号[]を用いてもよい.

簡単回です.答えから逆算しましょう.

第108回

$1$ 本の線分を,有限個の部分で折り曲げることにより作られる閉曲線を,ジグザグ閉曲線と呼び,さらにジグザグ閉曲線が自分自身で交点を持つときを $S$ 型,持たないときを $N$ 型と呼ぶ.
あるジグザグ閉曲線を $Z_{0}$ とし,ジグザグ閉曲線の系列 $Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \dots$ を以下のように作る.
$Z_{k} (k = 0, 1, 2 \dots)$ に対し, $Z_{k}$ を作る各線分の中点を順に線分で結び,つなげたものを $Z_{k + 1}$ とする.
この時, $k$ が偶数で $Z_{k}$ が $S$ 型, $k$ が奇数で $Z_{k}$ が $N$ 型となるようなものは存在するだろうか.
結論を述べて,それを証明せよ.

第109回

平面上にある互いに平行でない $3$ つのベクトル $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ が $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ を満たすとする.
$| \vec{p} | = 1$ である任意のベクトル $\vec{p}$ に対し,
$C (\vec{p}) = \sum_{c y c} \frac{(\vec{p} ・ \vec{a}) (\vec{p} ・ \vec{b})}{{| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2}}$ とすると $C (\vec{p})$ は一定値をとる.
$C (\vec{p})$ の幾何学的な意味を考えよ.

これはわかりやすいですね.

第110回

$a_{1} = 1, a_{2} = 2$
$a_{n} = \frac{(10 n - 16) a_{n - 1} - (9 n - 27) a_{n - 2}}{n - 1}$
で定められる数列 $a_{n}$ の各項は整数になる.
この数列の組み合わせ論的な意味を考えよ.

組合わせの対応付けが苦手なせいで,手が付けられませんorz.

第111回

次の性質を満たす数列 ${a_{n}} (n = 1, 2, 3 \dots)$ の一つを適当な漸化式,および $2$ 個以下の特定の項を定めることにより定義せよ.

$n$ が奇数であることと, $a_{n} \equiv 0 (\mod n) であることが同値である$

数学的な背景がわかる方はDM下さると嬉しいです

第112回

正の整数 $n$ に対して, $f (n) =_{2 n} C_{n} +_{\frac{2 (n - 1)}{3}} C_{\frac{n - 1}{3}}$ とする.
ただし, $k$ が整数でない時は, $_{2 k} C_{k} = 0$ とする.
ここで, $f (n) \equiv 0 (\mod n + 2)$ が成り立たない $n$ の存在を考えることにより,任意の $n$ に対し, $f (n) \equiv 0 (\mod n + 2)$ が常に成り立つように $f (n)$ を改良せよ.
注:改良の形は任意であるが,原型に準ずるもの(二項係数で構成するようもの)が望ましい.

回答作成中

第113回

ある正の整数 $a, b$ に対して,
$a b x y - a^{2} x - b^{2} y = 0$
が成り立つような正の整数の組 $(x, y)$ を全て求めよ.

二次形式と関係がありそうな見た目をしていますね.
回答作成中

第114回

次の仮定を満たす正の整数 $t$ を求めよ.

数列 ${a_{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ を, $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を適当な正の整数,かつ
$a_{n + 3} = \frac{t a_{n + 1} a_{n + 2} - 1}{a_{n + 1} a_{n + 2}} - a_{n} - a_{n + 1} - a_{n + 2}$
と定めると, ${a_{n}}$ の任意の項が整数となる.