Poisson 和公式の有限打ち切り版
はじめに
以前、
ポワソン和公式(Poisson summation formula)について | Mathlog
にて紹介した、Poisson 和公式の有限打ち切り版について、さらに一般化した結果が得られたため紹介する。
主結果
までの内容については、上記記事を再編したものになるため、必要に応じて飛ばしても問題ない。
準備
函数 $e$ を、$e(s)=\exp(2\pi is)$ とする。
$L^2$ 函数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ の Fourier 変換 (Fourier transform) $\hat{f}$ とは、以下で与えられる函数である。
$$
\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e(-x\xi)dx,\quad \xi\in\mathbb{R}
$$
函数 $f$ が Schwartz 函数 (Schwartz function) であるとは、$C^\infty$ 級であって任意の自然数 $a, b$ に対して、正定数 $C_{a,b}>0$ が存在して $\sup\{|x^af^{(b)}(x)|\colon x\in\mathbb{R}\}\leq C_{a,b}$ を満たすときいう。
Schwartz 函数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ に対して、次が成り立つ。
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(m)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
$$
本題
$T>0$ とする。区間 $[-T,T]$ 上可積分函数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ に対して、$f$ の切断 Fourier $\mathcal{F}_T(f)$ を、
$$
\mathcal{F}_T(f)(\xi) := \int_{-T}^{T}f(x)e(-x\xi)dx,\quad \xi\in\mathbb{R}
$$
として定義する。
$r\in\mathbb{N}$, $N\in\mathbb{Z}$, $\delta>0$ とする。以下の条件を満たす函数 $W=W_{N,\delta}$ を窓函数 (window function) と呼ぶ。
(1) $T=N+\delta$ として、$\operatorname{supp}W\subseteq[-T,T]$.
(2) $W\equiv 1$ on $[-N,N]$.
(3) $W$ は $C^r$ 級.
(4) $0\leq k\leq r$ なる $k$ に対して正定数 $C_k$ が存在し、$\\|W^{(k)}\\|_\infty\leq C_k\delta^{-k}$.
$M,N\in\mathbb{N}$, $\delta>0$, $T=N+\delta$, $r$ を 2 以上の整数とする。$f$ を $[-T,T]$ 上の $C^r$ 級函数とし、$W=W_{N,\delta}$ を窓函数として、$\\|W-1\\|_\infty\leq 1$ を満たすとする。このとき、$I=\{x\in\mathbb{R}\colon N<|x|\leq T\}$ とおくと、
$$
\sum_{|n|\leq N}f(n)=\sum_{|m|\leq M}\mathcal{F}_T(f)(m)+E_{M,N,\delta}(f,W)+R_{M,N,\delta}(f,W)
$$
が成り立ち、各誤差項は以下のように評価できる。
- $E_{M,N,\delta}(f,W)$ について: 任意の $1\leq p\leq\infty$ に対して、
$$ E_{M,N,\delta}(f,W)\ll_p\\|f\\|_{L^{p}(I)} \begin{cases} (\delta M)^{1/p}, & p<\infty\\\\ \ln{M}, & p=\infty \end{cases} $$ - $R_{M,N,\delta}(f,W)$ について: 任意の $1\leq q\leq\infty$ に対して、
$$ R_{M,N,\delta}(f,W)\ll_{r,q}M^{-(r-1)}\left(\\|f^{(r)}\\|_{L^1([-T,T])}+\sum_{j=0}^{r-1}\delta^{1-1/q-(r-j)}\\|f^{(j)}\\|_{L^q(I)}\right) $$
証明
まず補題を一つ用意する。
$g\in C^r_c(\mathbb{R})$（コンパクト台を持つ $C^r$ 函数、$r\geq 2$）ならば、
$$
\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\hat{g}(m)
$$
が成り立ち、右辺は絶対収束する。
proof.
コンパクト台より境界項はゼロなので、$r$ 回の部分積分によって $m\neq 0$ に対し
$$ \hat{g}(m)=\frac{1}{(2\pi im)^r}\int_{\mathbb{R}}g^{(r)}(x)e(-mx)dx $$
が成り立つ。よって $|\hat{g}(m)|\leq\frac{\\|g^{(r)}\\|_{L^1}}{(2\pi|m|)^r}$。$r\geq 2$ より $\sum_{m\in\mathbb{Z}}|\hat{g}(m)|<\infty$ であり、右辺は絶対収束する。
等式の証明には周期化を用いる。$F(x):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(x+n)$ は有限和なので $C^r$ 級の周期 1 函数であり、その $m$ 番目の Fourier 係数は
$$ \int_0^1 F(x)e(-mx)dx=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\int_0^1 g(x+n)e(-mx)dx=\int_{-\infty}^\infty g(x)e(-mx)dx=\hat{g}(m) $$
となる。$F$ は $C^r$ 級（$r\geq 2$）なので Fourier 級数は絶対収束して $F$ 自身に一致し、$x=0$ を代入して $\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)=F(0)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\hat{g}(m)$ を得る。
□
次に thm:main を証明する。
proof. thm:main
Step 1: 分解の導出.
$g:=fW$ とおく。$f$ が $[-T,T]$ 上 $C^r$ 級、$W$ が $C^r$ 級かつ $\operatorname{supp}W\subseteq[-T,T]$ なので、$g$ はコンパクト台を持つ $C^r$ 函数である。lem:poisson-cr を $g$ に適用すると $\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\hat{g}(m)$。$W\equiv 1$ on $[-N,N]$ および $\operatorname{supp}(g)\subseteq[-T,T]$ から
$$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)=\sum_{|n|\leq N}f(n)+\sum_{n\in I\cap\mathbb{Z}}f(n)W(n) $$
（$|n|>T$ では $g(n)=0$）なので、
$$ \sum_{|n|\leq N}f(n)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\hat{g}(m)-\sum_{n\in I\cap\mathbb{Z}}f(n)W(n). \tag{$*$} $$
次に $\hat{g}(m)$ と $\mathcal{F}_T(f)(m)$ の関係を求める。$W\equiv 1$ on $[-N,N]$ より
$$ \hat{g}(m)=\int_{-T}^T f(x)W(x)e(-mx)dx=\mathcal{F}_T(f)(m)-\int_I f(x)(1-W(x))e(-mx)dx. $$
右辺の和を $|m|\leq M$ と $|m|>M$ に分けて $(*)$ に代入すると $\sum_{|n|\leq N}f(n)=\sum_{|m|\leq M}\mathcal{F}_T(f)(m)+E_{M,N,\delta}(f,W)+R_{M,N,\delta}(f,W)$ を得る。ここで Dirichlet 核 $D_M(x):=\sum_{|m|\leq M}e(-mx)=\frac{\sin(2M+1)\pi x}{\sin\pi x}$ を用いて
$$ E_{M,N,\delta}(f,W):=-\sum_{n\in I\cap\mathbb{Z}}f(n)W(n)-\int_I f(x)(1-W(x))D_M(x)\,dx, $$
$$ R_{M,N,\delta}(f,W):=\sum_{|m|>M}\hat{g}(m) $$
と定義した。
Step 2: $R$ の評価.
部分積分より $|\hat{g}(m)|\leq\frac{\\|g^{(r)}\\|_{L^1}}{(2\pi|m|)^r}$。Leibniz 則より $g^{(r)}=\sum_{j=0}^r\binom{r}{j}f^{(j)}W^{(r-j)}$。$k\geq 1$ のとき $W^{(k)}\equiv 0$ on $[-N,N]$（$W\equiv 1$ より）なので $j< r$ の項は $I$ 上のみ寄与する。窓函数の条件 $\\|W^{(k)}\\|_\infty\leq C_k\delta^{-k}$ を用いると
$$ \\|g^{(r)}\\|_{L^1}\leq\\|W\\|_\infty\\|f^{(r)}\\|_{L^1([-T,T])}+\sum_{j=0}^{r-1}\binom{r}{j}\\|W^{(r-j)}\\|_{L^\infty(I)}\\|f^{(j)}\\|_{L^1(I)}\ll_r\\|f^{(r)}\\|_{L^1([-T,T])}+\sum_{j=0}^{r-1}\delta^{-(r-j)}\\|f^{(j)}\\|_{L^1(I)}. $$
Hölder の不等式 $\\|f^{(j)}\\|_{L^1(I)}\leq(2\delta)^{1-1/q}\\|f^{(j)}\\|_{L^q(I)}$ から
$$ \\|g^{(r)}\\|_{L^1}\ll_{r,q}\\|f^{(r)}\\|_{L^1([-T,T])}+\sum_{j=0}^{r-1}\delta^{1-1/q-(r-j)}\\|f^{(j)}\\|_{L^q(I)}. $$
$\sum_{|m|>M}|m|^{-r}\ll_r M^{-(r-1)}$（$r\geq 2$）より
$$ |R_{M,N,\delta}(f,W)|\leq\sum_{|m|>M}\frac{\\|g^{(r)}\\|_{L^1}}{(2\pi|m|)^r}\ll_{r,q}M^{-(r-1)}\!\left(\\|f^{(r)}\\|_{L^1([-T,T])}+\sum_{j=0}^{r-1}\delta^{1-1/q-(r-j)}\\|f^{(j)}\\|_{L^q(I)}\right). $$
Step 3: $E$ の評価.
$N\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{Z}$ なので $e(-mN)=1$ であり、
$$ D_M(N+t)=\sum_{|m|\leq M}e(-m(N+t))=\sum_{|m|\leq M}e(-mt)=D_M(t) $$
が成り立つ（$D_M$ は偶函数なので $D_M(-N-t)=D_M(t)$ も同様）。したがって $\int_I|D_M(x)|^s dx=2\int_0^\delta|D_M(t)|^s dt$（$s\geq 1$）。
$p=\infty$ の場合. $|1-W(x)|\leq\\|W-1\\|_\infty\leq 1$ なので
$$ \left|\int_I f(x)(1-W(x))D_M(x)\,dx\right|\leq\\|f\\|_{L^\infty(I)}\cdot 2\int_0^\delta|D_M(t)|\,dt. $$
$|D_M(t)|\leq\min\!\left(2M+1,\,\frac{1}{2t}\right)$（$0< t\leq\frac{1}{2}$）を用いて積分を分割すると
$$ \int_0^\delta|D_M(t)|\,dt\leq\int_0^{1/M}(2M+1)\,dt+\int_{1/M}^{1/2}\frac{dt}{2t}\ll\ln M. $$
また $\#(I\cap\mathbb{Z})\leq 2(\lfloor\delta\rfloor+1)=O(\delta)$ かつ $W$ は有界なので $\left|\sum_{n\in I\cap\mathbb{Z}}f(n)W(n)\right|\ll\\|f\\|_{L^\infty(I)}\ln M$。よって $E_{M,N,\delta}(f,W)\ll\\|f\\|_{L^\infty(I)}\ln M$。
$1\leq p<\infty$ の場合. $1/p+1/p'=1$ として Hölder の不等式を用いると $\left|\int_I f(x)(1-W(x))D_M(x)\,dx\right|\leq\\|f\\|_{L^p(I)}\\|D_M\\|_{L^{p'}(I)}$。$\\|D_M\\|_{L^{p'}(I)}^{p'}=2\int_0^\delta|D_M(t)|^{p'}dt$ を先の上界で分割すると
$$ 2\int_0^{1/M}(2M+1)^{p'}dt\ll M^{p'-1},\qquad 2\int_{1/M}^\delta\frac{dt}{(2t)^{p'}}\ll\begin{cases}M^{p'-1} & (M\delta\geq 1)\\\\[2pt]\delta^{1-p'} & (M\delta<1)\end{cases} $$
となり、$\\|D_M\\|_{L^{p'}(I)}\ll(\delta M)^{1/p}$ を得る。境界項も Hölder より $\left|\sum_{n\in I\cap\mathbb{Z}}f(n)W(n)\right|\ll\delta^{1-1/p}\\|f\\|_{L^p(I)}\ll(\delta M)^{1/p}\\|f\\|_{L^p(I)}$。以上より $E_{M,N,\delta}(f,W)\ll_p\\|f\\|_{L^p(I)}(\delta M)^{1/p}$。
□
系
$f$ を Schwartz 函数とする。$N,M\to\infty$ のとき（$\delta$ を適切に選びながら）、$E_{M,N,\delta}(f,W)\to 0$、$R_{M,N,\delta}(f,W)\to 0$ であり、古典的な Poisson 和公式（thm:poisson）
$$
\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(m)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
$$
が回復される。
proof.
$f$ が Schwartz 函数ならば任意の $j,q$ に対して $\\|f^{(j)}\\|_{L^q(I)}\to 0$（$N\to\infty$）、$\\|f\\|_{L^p(I)}\to 0$（$N\to\infty$）。$f$ の Fourier 変換も Schwartz 函数であるから $\sum_{|m|>M}|\hat{f}(m)|\to 0$（$M\to\infty$）。$M=M(N)\to\infty$ を適切に選ぶことで $E,R\to 0$。さらに $\mathcal{F}_T(f)(m)\to\hat{f}(m)$（$T\to\infty$）から $\sum_{|m|\leq M}\mathcal{F}_T(f)(m)\to\sum_{m\in\mathbb{Z}}\hat{f}(m)$、また $\sum_{|n|\leq N}f(n)\to\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)$（$N\to\infty$）。
□
proof.
$f_\theta(x):=f(x)e(x\theta)$ とおく。$|e(x\theta)|=1$ より $f_\theta$ は $f$ と同じ正則性・$L^p$ ノルムを持ち、$\mathcal{F}_T(f_\theta)(m)=\mathcal{F}_T(f)(m-\theta)$ が成り立つ。thm:main を $f_\theta$ に適用すれば、誤差項の評価は $\\|f_\theta^{(j)}\\|_{L^q}$ が $\\|f^{(j)}\\|_{L^q}$ から定数倍の誤差で評価されることから同一オーダーが従う。
□
おわりに
本稿では、窓函数 $W_{N,\delta}$ を導入することで $C^r$ 級函数に対する Poisson 和公式の有限打ち切り版
$$
\sum_{|n|\leq N}f(n)=\sum_{|m|\leq M}\mathcal{F}_T(f)(m)+E_{M,N,\delta}(f,W)+R_{M,N,\delta}(f,W)
$$
を導出し、各誤差項の明示的な上界を与えた。核心となる観察は二点ある。(i) $N\in\mathbb{Z}$ であることから Dirichlet 核が $D_M(N+t)=D_M(t)$ を満たし、$I$ 上の積分を原点近傍の積分に帰着できること。(ii) 窓函数の導関数が $\\|W^{(k)}\\|_\infty\leq C_k\delta^{-k}$ を満たすことで、$g^{(r)}=(fW)^{(r)}$ の $L^1$ ノルムを $\delta$ の負べきを通じて函数の正則性と境界挙動に分離して評価できること。
誤差 $R$ の評価では微分可能次数 $r$ が高いほど収束が速くなるという解析数論の基本原理が表れており、これは指数和の評価（van der Corput 法など）とも深く関わる。今後の方向としては、$\delta M\ll 1$ の領域における $E$ の改良、Sobolev 空間・Besov 空間への一般化、および多変数への拡張などが考えられる。
