写像 ①

すなわち、$f$ が $A$ から $B$ への写像であるとは、
$$ f:A\to B \quad \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \quad \forall a\in A\ \exists! b\in B\ ((a,b)\in R) $$
が成り立つことをいう。

$A,B$ を集合とし、$R\subset A\times B$ とする。
また、
$$ f=(A,B,R) $$
を $A$ から $B$ への対応とする。
$f$ が $A$ から $B$ への写像であることは、次の $2$ 条件が成り立つことと同値である。

1. 任意の $a\in A$ に対して、ある $b\in B$ が存在して、
   $$ (a,b)\in R $$
   が成り立つ。
2. 任意の $a\in A$ と任意の $b_1,b_2\in B$ に対して、
   $$ \bigl((a,b_1)\in R\land(a,b_2)\in R\bigr) \Longrightarrow b_1=b_2 $$
   が成り立つ。

-$1$ つ目の条件は存在性(※1)を表し、$2$ つ目の条件は一意性(※2)を表す。
存在性と一意性を合わせて、$A$ の各元に対して値がただ $1$ つ定まる。
※1 存在性は、$A$ のすべての元に対して、少なくとも $1$ つの対応先が存在することを意味する。
※2 一意性は、$A$ の各元に対して、対応先が高々 $1$ つであることを意味する。

写像では、始域の各元に対して値が存在し、しかもその値は一意であることが重要である。
したがって、ある $a\in A$ に対して、互いに異なる $b_1,b_2\in B$ が存在し、
$$ (a,b_1)\in R\land(a,b_2)\in R $$
が成り立つならば、$f:A\to B$ はこの定義では写像ではない。
(つまり、$1$ つの入力に複数の出力が対応するものは、この定義では写像ではない。)

写像の定義より、写像 $f$ は
$$ f=(A,B,R) $$
という組である。
したがって、始域 $A$、終域 $B$、関係 $R$ は、いずれも写像を構成するデータの一部である。
特に、同じ対応規則であっても、終域が異なれば、この定義においては異なる写像として扱う。

$f:A\to B$ を写像とし、$a\in A$ とする。
当然であるが、

1. $f$ は写像そのものである。
2. 一方、$f(a)$ は、写像 $f$ に $a$ を入力したときの値であり、終域 $B$ の元である。
   すなわち、
   $$ f(a)\in B $$
   が成り立つ。

-したがって、$f$ と $f(a)$ を混同してはならない。

$A,B$ を集合とし、$R\subset A\times B$ とする。
また、
$$ f=(A,B,R) $$
を $A$ から $B$ への対応とする。
対応としての $a\in A$ における値を
$$ \Gamma_f(a):=\{b\in B\mid (a,b)\in R\} $$
と書く。
$ $
いま、$f$ が $A$ から $B$ への写像であるとする。
このとき、任意の $a\in A$ に対して、ただ $1$ つの $b\in B$ が存在して、
$$ (a,b)\in R $$
が成り立つ(定義より、これは全域的な対応である)。
したがって、対応としての値は
$$ \Gamma_f(a)=\{b\} $$
である。
このとき、単集合の性質( 証明はコチラ )より、任意の対象 $y$ について、
$$ y\in\Gamma_f(a) \Longleftrightarrow y\in\{b\} \Longleftrightarrow y=b $$
が成り立つ。
したがって、$\Gamma_f(a)$ のただ $1$ つの元は $b$ である。
このただ $1$ つの元 $b$ を、写像としての $a$ の像と呼び、通常の写像の記法では
$$ f(a)=b $$
と書く。したがって、
$$ \Gamma_f(a)=\{f(a)\} $$
が成り立つ。
$ $
ただし、これは $\{f(a)\}=f(a)$ を意味するのではない。
$\Gamma_f(a)$ は $B$ の部分集合であり、$f(a)$ は $B$ の元である。

記法
$$ A\ni x\mapsto f(x)\in B $$
は、写像 $f:A\to B$ の対応規則を要素ごとに表す記法として用いられる。
左側の
$$ A\ni x $$
は、入力 $x$ が始域 $A$ の元であることを表す。
右側の
$$ f(x)\in B $$
は、その入力 $x$ に対する値 $f(x)$ が終域 $B$ の元であることを表す。
したがって、この記法は、$A$ の各元 $x$ に対して、$B$ の元 $f(x)$ がただ $1$ つ定まることを表している。

$A=\mathbb R$、$B=\mathbb R$ とする。
また、
$$ R_f := \{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid y=x^2\} $$
と定める。このとき、
$$ f:=(\mathbb R,\mathbb R,R_f) $$
は $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への対応である。

1. 任意の $x\in\mathbb R$ に対して、
   $$ x^2\in\mathbb R $$
   であり、
   $$ (x,x^2)\in R_f $$
   が成り立つ。
   したがって、存在性が成り立つ。
   $ $
2. 次に、$y_1,y_2\in\mathbb R$ が
   $$ (x,y_1)\in R_f \land (x,y_2)\in R_f $$
   を満たすとする。
   このとき、$R_f$ の定義より、
   $$ y_1=x^2 \land y_2=x^2 $$
   である。
   したがって、
   $$ y_1=y_2 $$
   が成り立つ。
   よって、一意性が成り立つ。
   $ $

-以上より、任意の $x\in\mathbb R$ に対して、ただ $1$ つの $y\in\mathbb R$ が存在して、
$$ (x,y)\in R_f $$
が成り立つ。したがって、$f$ は $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への写像である。
この写像を
$$ f:\mathbb R\to\mathbb R $$
と書く。また、対応規則は
$$ \mathbb R\ni x\mapsto f(x)=x^2\in\mathbb R $$
と表せる。このとき、
$$ f(2)=4 \land f(-2)=4 $$
である。
$ $
したがって、異なる入力 $2$ と $-2$ が同じ値 $4$ に写されている。
しかし、写像であるためには、各入力に対して値がただ $1$ つ定まればよい。
異なる入力が同じ値に写されることは、写像であることに反しない。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
上記の定義より、同値に、
$$ G(f) = \{(a,f(a))\mid a\in A\} $$
と書ける。
また、$a\in A$ に対して $f(a)\in B$ であるから、
$$ (a,f(a))\in A\times B $$
である。したがって、
$$ G(f) = \{(a,f(a))\in A\times B\mid a\in A\} $$
とも書ける。
すなわち、$G(f)$ は、始域の各元 $a\in A$ と、その値 $f(a)\in B$ を順序対にして集めた集合である。

$A,B$ を集合とし、$R\subset A\times B$ とする。
また、
$$ f=(A,B,R) $$
を $A$ から $B$ への写像とする。
このとき、写像の値の定義より、任意の $a\in A$ と任意の $b\in B$ に対して、
$$ (a,b)\in R \Longleftrightarrow b=f(a) $$
が成り立つ。
したがって、
$$ G(f) = \{(a,b)\in A\times B\mid b=f(a)\} = \{(a,b)\in A\times B\mid (a,b)\in R\} = R $$
である。
すなわち、写像を
$$ f=(A,B,R) $$
という組として定義している場合、$R$ は $f$ のグラフそのものである。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
任意の $(a,b)\in G(f)$ をとる。グラフの定義より、
$$ (a,b)\in A\times B $$
である。
したがって、
$$ G(f)\subseteq A\times B $$
が成り立つ。
ゆえに、$G(f)$ は $A$ から $B$ への二項関係である。
この意味で、写像は、そのグラフを通じて、特別な条件を満たす二項関係として理解できる。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
写像 $f$ は、グラフ $G(f)$ を用いて、
$$ (A,B,G(f)) $$
という対応として見ることができる。
この対応において、$a\in A$ における対応としての値は
$$ \{b\in B\mid (a,b)\in G(f)\} $$
である。
一方、グラフの定義より、任意の $b\in B$ に対して、
$$ (a,b)\in G(f) \Longleftrightarrow b=f(a) $$
である。
したがって、
$$ \{b\in B\mid (a,b)\in G(f)\} = \{f(a)\} $$
が成り立つ。
すなわち、写像とは、始域 $A$ の各元に対して、対応としての値が必ず単集合になる全域的な対応である。

$A,B\subseteq\mathbb R$ とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、
$$ A\times B\subseteq\mathbb R^2 $$
である。したがって、
$$ G(f)\subseteq A\times B\subseteq\mathbb R^2 $$
である。
ゆえに、$G(f)$ は座標平面上の点集合として図示できる。
この意味で、高校数学などで見る関数のグラフは、集合としてのグラフ $G(f)$ を座標平面上に図示したものである。
具体的には、
$$ G(f) = \{(x,y)\in A\times B\mid y=f(x)\} $$
であり、この順序対の集合を座標平面上の点として表したものが、いわゆる関数のグラフである。

実数全体の集合 $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への対応を考える。
まず、
$$ R_f := \{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid y=x^2\} $$
とし、写像 $f$ を
$$ f := (\mathbb R,\mathbb R,R_f) $$
と定める。
このとき、$f$ は $\mathbb R$ から $\mathbb R$ への写像であり、
$$ f:\mathbb R\to\mathbb R $$
と書ける。
この写像のグラフは、
$$ G(f) = \{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid y=f(x)\} $$
である。
いま、任意の $x\in\mathbb R$ に対して、
$$ f(x)=x^2 $$
である。
したがって、
$$ G(f) = \{(x,y)\in\mathbb R\times\mathbb R\mid y=x^2\} $$
である。
ゆえに、
$$ G(f)=R_f $$
が成り立つ。
また、同値に、
$$ G(f) = \{(x,x^2)\mid x\in\mathbb R\} $$
と書ける。
これは座標平面における放物線
$$ y=x^2 $$
に対応する点全体の集合である。

本ノートでは、写像を始域、終域、グラフを含む対象として扱う。
したがって、写像の相等を考えるときには、各入力に対する値だけでなく、始域と終域も一致している必要がある。
たとえば、同じ規則 $x\mapsto x^2$ によって定まる写像であっても、
$$ f:\mathbb R\to\mathbb R $$
と
$$ g:\mathbb R\to[0,\infty) $$
は、この定義では等しい写像ではない。
実際、任意の $x\in\mathbb R$ に対して、
$$ f(x)=x^2=g(x) $$
が成り立つので、始域上の各点での値は一致している。
しかし、$f$ の終域は $\mathbb R$ であり、$g$ の終域は $[0,\infty)$ であるから、
$$ \mathbb R\ne[0,\infty) $$
である。
したがって、写像を始域、終域、グラフを含む対象として扱う本ノートの立場では、
$$ f\ne g $$
である。
このように、同じ計算規則をもつことと、写像として等しいことは同じではない。
写像として等しいためには、始域、終域、そして各入力に対する値の対応がすべて一致しなければならない。

$A,B,C,D$ を集合とし、$f:A\to B$ と $g:C\to D$ を写像とする。
写像のグラフは、それぞれ
$$ G(f) = \{(a,b)\in A\times B\mid b=f(a)\} $$
$$ G(g) = \{(c,d)\in C\times D\mid d=g(c)\} $$
である。
したがって、
$$ G(f)=G(g) $$
であるとは、$f$ と $g$ がもつ入力と出力の組が、集合として一致することを意味する。

$A,B,C,D$ を集合とし、$f:A\to B$ と $g:C\to D$ を写像とする。
このとき、写像の相等は
$$ f=g \Longleftrightarrow \bigl(A=C\land B=D\land \forall a\in A\ (f(a)=g(a))\bigr) $$
と同値である。
ここで、
$$ \forall a\in A\ (f(a)=g(a)) $$
は、$A=C$ が成り立つため意味をもつ。
すなわち、$A=C$ により、任意の $a\in A$ は $g$ の始域の元でもある。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ と $g:A\to B$ を写像とする。
このとき、$f$ と $g$ はすでに同じ始域と同じ終域をもつ。
したがって、写像の相等は
$$ f=g \Longleftrightarrow \forall a\in A\ (f(a)=g(a)) $$
と同値である。
すなわち、始域と終域がすでに一致している場合には、すべての入力に対して値が一致することを確認すればよい。

写像 $f:A\to B$ において、$A$ は写像 $f$ の始域である。
写像は定義により、任意の $a\in A$ に対してただ $1$ つの値をもつため、写像の場合には始域と定義域は一致する。

一般の対応 $\Gamma=(A,B,R)$ では、ある $a\in A$ に対して対応先が存在しないことがある。
そのため、対応の定義域は
$$ \operatorname{dom}(\Gamma) := \{a\in A\mid \exists b\in B\ ((a,b)\in R)\} $$
で定義され、一般的(全域的でない場合)には
$$ \operatorname{dom}(\Gamma)\ne A $$
となりうる。
一方、写像 $f:A\to B$ では、任意の $a\in A$ に対して $f(a)$ が定義されるため、
$$ \operatorname{dom}(f)=A $$
である(後で改めて示す)。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
値域の定義より、
$$ \operatorname{ran}(f) = \{f(a)\mid a\in A\} $$
である。

写像 $f:A\to B$ において、$B$ は終域である。
一方、$f$ の値域は、実際に $f$ の値として現れる元全体の集合
$$ \operatorname{ran}(f) = \{b\in B\mid \exists a\in A\ (b=f(a))\} $$
である。定義より、任意の $a\in A$ に対して、
$$ f(a)\in B $$
であるから、
$$ \operatorname{ran}(f)\subseteq B $$
が成り立つ。
$ $
一般には、終域 $B$ のすべての元が $f(a)$ の形で現れるとは限らない。
したがって、一般には
$$ \operatorname{ran}(f)=B $$
とは限らない。

$A=\{1,2,3\}$、$B=\{p,q,r\}$ とする。
写像 $f:A\to B$ を
$$ f(1)=p,\quad f(2)=q,\quad f(3)=q $$
によって定める。
このとき、$f$ の定義域は
$$ \operatorname{dom}(f)=A=\{1,2,3\} $$
である。
一方、$f$ の値として実際に現れる元は $p$ と $q$ だけであるから、$f$ の値域は
$$ \operatorname{ran}(f)=\{p,q\} $$
である。
ここで、$r\in B$ であるが、どの $a\in A$ に対しても
$$ f(a)=r $$
とはならない。
したがって、
$$ \operatorname{ran}(f)=\{p,q\}\subsetneq B=\{p,q,r\} $$
である。
この例は、終域 $B$ と値域 $\operatorname{ran}(f)$ が一般には一致しないことを示している。

同値に、
$$ f(S) = \{b\in B\mid \exists s\in S\ (b=f(s))\} $$
と書ける。

$S\subseteq A$ であるから、任意の $s\in S$ に対して $s\in A$ である。
また、$f:A\to B$ であるから、
$$ f(s)\in B $$
が成り立つ。したがって、
$$ f(S)\subseteq B $$
である。
元の像と部分集合の像を混同してはならない。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、$f$ の像を
$$ \operatorname{Im}(f) := \{b\in B\mid \exists a\in A\ (b=f(a))\} $$
として定義される事がある。これは値域の定義そのものである。
したがって、本稿では
$$ \operatorname{Im}(f) = \operatorname{ran}(f) $$
として扱う。
すなわち、本稿で値域を、写像の値として実際に現れる元全体の集合として定義する場合、写像の像と値域は同じ集合を表す。
そこで、本稿では文脈によって記号を使い分ける事とした(今後見直す可能性はある)。

1. 値域であることが命題の主張や文脈の要となる場合には、
   $$ \operatorname{ran}(f) $$
   を用いる。
   たとえば、終域 $B$ との関係や全射性を述べる場合に、値域という意味を強調する際には $\operatorname{ran}(f)$ を用いる。
   $ $
2. 写像 $f$ の像であることが命題の主張や文脈の要となる場合には、
   $$ \operatorname{Im}(f) $$
   を用いる。
   たとえば、写像の制限や拡張、または部分集合の像との関係を述べる場合には、
   像という意味を強調するために $\operatorname{Im}(f)$ を用いる。

-なお、文献によっては値域という語を終域の意味で用いる場合もある。
繰り返しだが、本ノートでは、値域を写像の値として実際に現れる元全体の集合として用いることを改めて明記しておく。

ゆえに、$f:A\to B$ において、$f$ の定義域は $A$ そのものである。
したがって、写像においては定義域と始域は一致する。

$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、$f$ の像について
$$ \operatorname{Im}(f) = \operatorname{ran}(f) $$
であるから、
$$ \operatorname{Im}(f) = f(A) $$
である(´・ω・`)

$1.$ の方向は、より簡潔に次のようにも書ける。
$ $
任意に $a\in A$ をとる。
写像のグラフの定義より、
$$ (a,f(a))\in G(f) $$
である。$G(f)=G(g)$ より、
$$ (a,f(a))\in G(g) $$
である。
一方、$G(g)$ の定義より、
$$ (a,f(a))\in G(g) \Longleftrightarrow f(a)=g(a) $$
である。
したがって、
$$ f(a)=g(a) $$
である。