直積集合 ①

Def.

Prop & Proof

単集合の定義より
$$ \{x\}=\{z\in X\mid z=x\} $$
である。したがって、
$$ x\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ x\in\{z\in X\mid z=x\} $$
が成り立つ。ここで、内包表記の定義より
$$ x\in\{z\in X\mid z=x\}\ \Leftrightarrow\ x\in X\land x=x $$
である。ここで、仮定より
$$ x\in X $$
が成り立ち、また等号の反射律より
$$ x=x $$
が成り立つ。ゆえに
$$ x\in X\land x=x $$
である。したがって
$$ x\in\{z\in X\mid z=x\} $$
が成り立つので、再び
$$ \{x\}=\{z\in X\mid z=x\} $$
より
$$ x\in\{x\} $$
を得る。
$$ \Box$$

任意の対象 $y$ をとる。単集合 $\{x\}$ の定義より$$y\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ y \in \{z\in X\mid z=x\}\ \Leftrightarrow\ y\in X\land y=x$$が成り立つ。
$ $

1. まず、$y\in\{x\}$ と仮定する。すると上の同値より
   $$ y\in X\land y=x $$
   である。したがって、特に $y=x$ が成り立つ。
   $ $
2. 逆に、$y=x$ と仮定する。もともと $x\in X$ であるから、$y=x$ と $x\in X$ より、
   等号の置換によって $y\in X$ を得る。よって
   $$ y\in X\land y=x $$
   が成り立つ。再び単集合の定義より
   $$ y\in\{x\} $$
   を得る。
   $ $

-以上より、任意の対象 $y$ について
$$ y\in\{x\}\ \Leftrightarrow\ y=x $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ \{x_1\}=\{x_2\} $$
   と仮定する。単集合の性質より
   $$ x_1\in\{x_1\} $$
   が成り立つ(上で示した)。
   ここで、$\{x_1\}=\{x_2\}$ であるから、等号の性質より
   $$ x_1\in\{x_2\} $$
   が成り立つ。
   再び単集合の性質より、任意の対象 $z$ について
   $$ z\in\{x_2\}\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
   が成り立つ(冒頭で示した)。
   したがって、この全称命題において $z$ に $x_1$ を代入すると
   $$ x_1\in\{x_2\}\ \Leftrightarrow\ x_1=x_2 $$
   を得る(全称除去)。
   すでに $x_1\in\{x_2\}$ が成り立っているから
   $$ x_1=x_2 $$
   が従う。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ x_1=x_2 $$
   と仮定する。
   $\{x_1\}=\{x_2\}$ を示すために、(集合の外延性により) 任意の対象 $z$ について
   $$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x_2\} $$
   を示す。
   任意の対象 $z$ をとる。単集合の性質より
   $$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z=x_1 $$
   かつ
   $$ z\in\{x_2\}\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
   が成り立つ(冒頭で示した)。
   ここで、仮定 $x_1=x_2$ から
   $$ z=x_1\ \Rightarrow\ z=x_2 $$
   および
   $$ z=x_2\ \Rightarrow\ z=x_1 $$
   が成り立つので
   $$ z=x_1\ \Leftrightarrow\ z=x_2 $$
   を得る。
   したがって
   $$ z\in\{x_1\}\ \Leftrightarrow\ z\in\{x_2\} $$
   が成り立つ。
   $z$ は任意であったから、集合の外延性より
   $$ \{x_1\}=\{x_2\} $$
   が従う。
   $ $

-以上より
$$ \{x_1\}=\{x_2\}\ \Leftrightarrow\ x_1=x_2 $$
が成り立つ。
$$ \Box$$