基本的な実数の濃度に関する命題

写像$A\rightarrow 2^A$を次の様に定める
$$\begin{eqnarray} f:A&\longrightarrow&2^A\\ x&\longmapsto&\lbrace x\rbrace\\ \end{eqnarray}$$
これは、明らかに単射である
よって、$\left|A\right|\le\left|2^A\right|$が成り立つ。
ここで、全単射$A\rightarrow 2^A$が存在しない事を言えば良い。
ここで、全単射$f:A\rightarrow 2^A$が存在すると仮定。ここで、次の集合$B$を考える。
$$ B:=\lbrace x\in A\vert x\notin f(x)\rbrace $$
定義から、明らかに$B\subset A$であるので、$B\in 2^A$が成り立つ。
ここで、$f$は全単射なので、ある$A$の元$x$が存在して、$f(x)=B$となる。
ここで、$x\in B$の時、$B$の定義から、$x\notin f(x)$となり、これは矛盾。
また、$x\notin B$の時、Bの定義から、$x\in B$となり、これも矛盾。
よって、$f$で$B$に行く様な$A$の元は存在しない。これは、$f$の全射性に矛盾。
以上より、全単射$A\rightarrow 2^A$は存在しない。
よって結論を得る

全単射な写像$\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}\rightarrow 2^{\mathbb{N}}$を次の様に定める
$$\begin{eqnarray} F:\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}&\longrightarrow&2^{\mathbb{N}}\\ f&\longmapsto&f^{-1}(\lbrace1\rbrace)\\ \end{eqnarray} $$
実際、$f_1,f_2\in\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}$を任意に取る、$f_1,f_2$の定義から明らかに$$f_1\neq f_2\Leftrightarrow f_1^{-1}(\lbrace1\rbrace)\neq f_2^{-1}(\lbrace1\rbrace)$$
が成り立つ。よってこの写像は単射である。
次に、全射性について、
$B\in2^{\mathbb{N}}$を任意に取る。すると、写像$f:\mathbb{N}\rightarrow\lbrace0,1\rbrace$を次の様に定めると、$F(f)=B$となる。
$$\begin{eqnarray} f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 1\quad (x\in B) \\ 0\quad (x\notin B) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
よって、この写像は全射でもある。
以上より結論を得る。

$x\in[0,1)$を次の様に2進で無限小数展開する。
$$ x=0.x_1x_2x_3... $$
この時$1.000...=0.1111...$の様に表示が異なる実数が存在するが、この時は左辺の様に0が無限に続く方を選択する。
ここで、写像$f:[0,1)\rightarrow\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}$を次の様に定める
$$\begin{eqnarray} f(x)&:=&g_x\\ g_x(n)&:=&\left\{ \begin{array}{} 1\quad \left(x_n=1\right)\\ 0\quad \left(x_n=0\right) \end{array} \right.\\ \end{eqnarray} $$
すると、$f$は明らかに単射となる。
次に、別の写像$h:(1,2)\rightarrow\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}$を定める。
その為に、まず$y\in(1,2)$2進で無限小数展開する。この時、先程と同様に$1.1111...=2.0000...$の様に別の表示が存在するが、今回は右辺の様に$1.1111...$と1が無限に続く方を選択する。この時、
$$ y=1.y_1y_2y_3y_4... $$
と展開する。この時、hを
$$\begin{eqnarray} h(y)&:=&b_y\\ b_y(n)&:=&\left\{ \begin{array}{} 1\quad\left(y_n=1\right)\\ 0\quad\left(y_n=0\right) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
と定めると、明らかにhは単射となる。
次に、$p:\lbrace1\rbrace\rightarrow\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}$を次の様に定める。
$$\begin{eqnarray} p(1)&=&N\\ N(n)&=&1 \end{eqnarray} $$
これは明らかに単射である
ここで、$(1,2)$において、その元の内、$111...$の様に$1$が無限に並ぶ様に($000...$の様に$0$が無限に並ばない)二進で展開した時に、小数部分が途中から$111...$の様に$1$が無限に並ぶ元を集めた集合を$S$とする。
ここで写像$F:[0,1]\cup S\rightarrow\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}$を次の様に定める。
$$\begin{eqnarray} F(x)=\left\{ \begin{array}{} f(x)&\quad&(0\le x\lt1)\\ p(x)&\quad&(x=1)\\ h(x)&\quad&(x\in S) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
すると、$F$は全単射である。
全射である事はこれまでの議論から明らかなので、単射性について考えよう。
$S$の$h$による像と$[1,0)$の$f$による像は交わらない。
なぜなら$S$は、小数部分が二進で展開した時に途中で$0$か$1$かが無限に続く小数だからである。
$S$の元を$-1$ずらすと、$[0,1)$の元になる訳だが、それの$f$による像とSの元のhによる像は明らかに異なる。
よって単射である。
以上より$F$は全単射である。
よって、$\left|[0,1]\cup S\right|=\left|\lbrace0,1\rbrace^{\mathbb{N}}\right|$を得る。
ここで、$(0,1)\subset[0,1]\cup S\subset(-1,2)$
であるから、明らかに$\left|(0,1)\right|\le\left|[0,1]\cup S\right|\le\left|(-1,2)\right|$である。
ここで、全単射$r:(0,1)\rightarrow(-1,2)$を次の様に定める。
$$ r(x):=3x-1 $$
これは、明らかに全単射である。
よって$\left|(0,1)\right|=\left|(-1,2)\right|$を得る。
よって、先程の結果と合わせてベルンシュタインの定理を用いると、
$$ \left|(0,1)\right|=\left|[0,1]\cup S\right| $$
を得る。
以上より、濃度の推移性から結論を得る。

全単射$f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$を次の様に構成すれば良い。
$$ f(x)=\ln\left(\frac{1-x}{x}\right) $$
全射性は、$f$が$(0,1)$で連続かつ、
$$\begin{eqnarray} \lim_{x\to+0}\ln\left(\frac{1-x}{x}\right)=+\infty\\ \lim_{x\to1-0}\ln\left(\frac{1-x}{x}\right)=-\infty \end{eqnarray} $$
が成り立つ事に注意すれば明らかだろう。
次に、単射性について、$x_1,x_2\in(0,1)$を任意に取る。$f(x_1)=f(x_2)$なら、
$$\begin{eqnarray} &&\ln\left(\frac{1-x_1}{x_1}\right)=\ln\left(\frac{1-x_2}{x_2}\right)\\ &\Longrightarrow&\frac{1-x_1}{x_1}=\frac{1-x_2}{x_2}\\ &\Longrightarrow&(1-x_1)x_2=(1-x_2)x_1\\ &\Longrightarrow&x_1=x_2 \end{eqnarray} $$
を得る。
以上より、$f$は全単射なので結論を得る。