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大学数学基礎解説
文献あり

p進体の構成

代数学,p進数,整数論
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$$\newcommand{Ab}[0]{\operatorname{Ab}} \newcommand{alg}[0]{{\rm{alg}}} \newcommand{all}[0]{\forall} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{br}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{c}[0]{\colon} \newcommand{calF}[0]{\mathcal{F}} \newcommand{cd}[0]{\cdots} \newcommand{dps}[0]{\displaystyle} \newcommand{ex}[0]{\exists} \newcommand{fr}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{io}[0]{\iota} \newcommand{lam}[0]{\lambda} \newcommand{Lam}[0]{\Lambda} \newcommand{lra}[0]{\Leftrightarrow} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{oot}[0]{\Lightarrow} \newcommand{Orb}[0]{\operatorname{Orb}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Set}[0]{\mathbf{Set}} \newcommand{sig}[0]{\sigma} \newcommand{Stab}[0]{\operatorname{Stab}} \newcommand{too}[0]{\Rightarrow} \newcommand{vphi}[0]{\varphi} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

Review

前回の記事 では，orderを用いて$\Q$上に$p$進付値を定義し，これが非Archimedes付値であることから誘導される非Archimedes距離を$p$進距離として定義しました．しかし$\Q$はこの距離による位相で完備ではありませんでした．そこで今回は$\Q$を拡大した完備な位相体である$p$進体を定義します．

位相体

位相群

位相構造を持つ群$G$が位相群であるとは，
(1) $G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy$は連続
(2) $G\to G,\ x\mapsto x^{-1}$は連続
を充たすことをいう．

$G\times G$には直積位相を考える．

$n$次実正方行列全体$M_n(\R)$には全単射
\begin{align} \Phi\colon & M_n(\R)\to\R^{n^2},\\ &\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} \mapsto (a_{11},\dots,a_{1n},\dots,a_{n1},\dots,a_{nn}) \end{align}
により$\R^{n^2}$から位相が誘導される．一般線型群
\begin{align} GL_n(\R)&=\{A\in M_n(\R)|\det{A}\ne 0\}\\ &=\det^{-1}(\R\setminus\{0\}) \end{align}
には$M_n$の相対位相が入り，位相群になる．

位相環

位相構造を持つ環$A$が位相環であるとは，
(1) 加法に関して位相群
(2) $A\times A\to A,\ (x,y)\mapsto xy$は連続
を充たすことをいう．

$A$が位相環であっても，$A^\times\to A^\times,\;x\mapsto x^{-1}$が連続になるとは限らない．特に$A^\times$が位相群になるとは限らない．

  1. $\Z$は$\R$の相対位相（離散位相）により位相環になる．
  2. $n$次実正方行列環$M_n(\R)$は例1の位相により位相環になる．
位相体

位相構造を持つ体$K$が位相体であるとは，
(1) 環構造に関して位相環
(2) $K^{\times}\to K^{\times},\ x\mapsto x^{-1}$は連続
を充たすことをいう．

通常の距離が誘導する位相により$\Q$は位相体になる．

$p$進距離が誘導する位相により$\Q$は位相体になる．

$\varepsilon>0$を任意に取る．

  1. (和の連続性)
    $x_1,x_2,y_1,y_2\in\Q,\ |x_1-x_2|_p,|y_1-y_2|_p<\varepsilon$とする．
    \begin{align} |(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|_p &=|(x_1-x_2)+(y_1-y_2)|_p\\ &\le\max\{|x_1-x_2|_p,|y_1-y_2|_p\} \\&<\varepsilon \end{align}
    よって和は連続．

  2. (積の連続性)
    $x_1,x_2,y_1,y_2\in\Q,\ |x_1-x_2|_p,|y_1-y_2|_p<\varepsilon$とすると，
    $$ |x_1|_p \le \max\{|x_1 - x_2|_p, |x_2|_p\} < \max\{\varepsilon, |x_2|_p\} $$
    から，この範囲で$|x_1|_p,|x_2|_p$は有界と考えてよい．
    $|y_i|_p$も同様にして，
    $$\ex C>0,\all i,j=1,2,\ |x_i|_p,|y_j|_p< C$$
    よって，
    \begin{align} |x_1y_1-x_2y_2|_p &=|x_1(y_1-y_2)+(x_1-x_2)y_2|_p\\ &\le\max\{|x_1|_p|y_1-y_2|_p,|x_1-x_2|_p|y_2|_p\}\\ &<\varepsilon\max\{|x_1|_p,|y_2|_p\}<\varepsilon C \end{align}
    よって積は連続．

  3. (逆元を取る操作の連続性)
    $x\in\Q^{\times},y\in\Q,\ |x-y|_p<\varepsilon$とする．
    $$|x|_p\le|y|_p+|x-y|_p<|y|_p+\varepsilon$$
    $$\therefore |y|_p>|x|_p-\varepsilon$$
    であるから，充分小さい$\varepsilon$を取れば，$y\ne 0$で，$\dps |y|_p>\fr{1}{2}|x|_p$とできる．
    $$\abs{\fr{1}{x}-\fr{1}{y}}_p=\abs{\fr{y-x}{xy}}_p=\fr{|y-x|_p}{|xy|_p}<\fr{2\varepsilon}{|x|_p^2}$$
    よって逆元を取る操作$x\mapsto x^{-1}$は連続．

$p$進体

$p$進数

$\Q$の$p$進距離による完備化を$(\Q_p,\widehat{d}_p)$と表し，$\Q_p$の元を$p$進数という．

以降$\Q\subset \Q_p$と考える．

$p$進付値

$p$進付値

$|\cdot|_p:\Q_p\to\R_{\ge0}$を$|x|_p=\widehat{d}_p(x,0)$で定義し，これも$p$進付値という．

これは明らかに$\Q$における$p$進付値の拡張になっているので，同じ記号$|\cdot|_p$を用いる．

  1. $p$進付値$|\cdot|_p$の値域は完備化によって不変である．つまり，
    $$\left\{|x|_p\mid x\in\Q_p\right\}=\Gamma_p\cup\{0\},\ \Gamma_p:=\{p^n\mid n\in\Z\}$$

  2. $\{x_n\}\subset\Q_p,x_n\to x\in\Q_p$とする．$|x|_p\ne 0$であれば，
    $$N\in\N,\all n\ge N,|x_n|_p=|x|_p$$
    つまり充分大きい$n$に対して，$|x_n|_p$は定数．

  1. $x\in\Q_p$とすると$x_n\to x$なる$\{x_n\}\subset\Q$が取れる．
    $\varepsilon>0$を任意に取るとき，
    $$\ex N\in\N,\all n\ge N,\abs{|x_n|_p-|x|_p}=\abs{\widehat{d}_p(x_n,0)-\widehat{d}_p(x,0)}\le \widehat{d}_p(x_n,x)<\varepsilon$$
    $n\ge N$のとき，$|x_n|_p\in B(|x|_p,\varepsilon)$．
    $\varepsilon>0$を充分小さく取れば，この範囲に存在する$\Gamma_p\cup\{0\}$の元は唯一になる．よって充分大きい$n$に対して，
    $$|x_n|_p=|x|_p\in\Gamma_p\cup\{0\}$$
    であり，$|x|_p\in\Gamma_p\cup\{0\}$

  2. (1)で$\{x_n\}\subset\Q$の場合は示した．
    $p$進付値の値域は完備化によって不変なので，$\{x_n\}\subset\Q_p$の場合も同様の議論によって示される．

但し，$B(x,\varepsilon)\subset\R$は$x$の$\varepsilon$近傍とした．

$|\cdot|_p:\Q_p\to\R_{\ge0}$は$\Q_p$上の非Archimedes付値である．

  1. $|0|_p=0$は成立する．$|x|_p=0$とすると，$\widehat{d}_p(x,0)=0$で$x=0$を得る．
  2. $x,y\in\Q_p$とすると，$x_n\to x,y_n\to y$なる$\{x_n\},\{y_n\}\subset\Q$が取れる．
    $n$が充分大きいとき，
    $$|xy|_p=|x_n y_n|_p=|x_n|_p|y_n|_p=|x|_p|y|_p$$
  3. (2)と同じ文字を使う．$n$が充分大きいとき，
    \begin{equation} |x+y|_p=|x_n+y_n|_p\le\max\{|x_n|_p,|y_n|_p\}\le\max\{|x|_p,|y|_p\} \tag{$*$} \end{equation}

前回の記事の注意と同様に
$$|x|_p\ne|y|_p\ \too\ |x+y|_p=\max\{|x|_p,|y|_p\}$$
も成り立つ．

$(\because)$ 前回の記事の命題2(2)に注意すると，
\begin{equation} |y|_p=|(x+y)-x|_p\le\max\{|x+y|_p,|-x|_p\}\le\max\{|x+y|_p,|x|_p\} \tag{$**$} \end{equation}
$|y|_p>|x|_p$としても一般性を失わない．このとき，
$(*)$より$|x+y|_p\le|y|_p$，$(**)$より$|y|_p\le|x+y|_p$.
よって，$|x+y|_p=|y|_p$．

位相体になること

$\Q_p$には$\Q$から連続な演算が誘導され，位相体となる．

この定理をいくつかのSTEPSに分けて証明しよう．

距離空間$(X,d)$上のCauchy列全体を$\mathcal{C}(X,d)$と表す．

$$\{x_n\},\{y_n\}\in\mathcal{C}(\Q,d_p)\ \too\ \{x_n+y_n\},\{x_ny_n\}\in\mathcal{C}(\Q,d_p)$$

$\varepsilon>0$を任意に取る．仮定より，
$$\ex N\in\N,\all m,n\ge N,|x_m-x_n|_p,|y_m-y_n|_p<\fr{\varepsilon}{2}$$
このとき，
$$|(x_m + y_m)-(x_n + y_n)|_p\le|x_m-x_n|_p+|y_m-y_n|_p<\fr{\varepsilon}{2}+\fr{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$
であるから，$\{x_n+y_n\}$もCauchy列である．

また，充分大きい$m,n$に対し，$|x_m|_p,|x_n|_p$は一定である．よって，
$$\ex C>0,\ex N\in\N,\all m,n\ge N,\ |x_m|_p,|x_n|_p< C$$
$m,n\ge N$とすると，
\begin{align} |x_m y_m-x_n y_n|_p&=|x_m(y_m-y_n)+(x_m-x_n)y_n|_p\\ &\le|x_m|_p|y_m-y_n|_p+|x_m-x_n|_p|y_n|_p \\&<2C\varepsilon \end{align}
よって，$\{x_n y_n\}$もCauchy列である．

$\Q_p$における和と積

$x,y\in\Q_p$とすると，$x=[\{x_n\}],y=[\{y_n\}]$なる$\{x_n\},\{y_n\}\in\mathcal{C}(\Q,d_p)$が取れる．このとき，補題5により，
$$x+y:=[\{x_n+y_n\}]=\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)$$
$$xy:=[\{x_n y_n\}]=\lim_{n\to\infty}x_n y_n$$
と定義できる．

定義6はwell-definedである．つまり，$\{x_n\},\{y_n\}$の取り方に依らない．

$$x,y\in\Q_p,\{x_n\},\{x'_n\},\{y_n\},\{y'_n\}\in\mathcal{C}(\Q,d_p)$$
$$[\{x_n\}]=[\{x'_n\}],[\{y_n\}]=[\{y'_n\}]$$
とする．このとき，
$$|(x_n+y_n)-(x'_n+y'_n)|_p\le|x_n-x'_n|_p+|y_n-y'_n|_p\to 0\ (n\to\infty)$$
より，
$$\{x_n+y_n\}\sim\{x'_n+y'_n\}$$

また充分大きい$n$に対し，$|x_n|_p,|x'_n|_p$は一定である．よって，
$$\ex C>0,\ex N\in\N,\all n\ge N,\ |x_n|_p,|x'_n|_p< C$$
$n\ge N$とすると，
\begin{align} |x_n y_n-x'_n y'_n|_p&=|x_n(y_n-y'_n)+(x_n-x'_n)y'_n|_p\\ &\le|x_n|_p|y'_n-y_n|_p+|x_n-x'_n|_p|y'_n|_p\\ &\to 0\ (n\to\infty) \end{align}
より，
$$\{x_ny_n\}\sim\{x'_ny'_n\}$$
$$\lim_{n\to\infty}x_n y_n=\lim_{n\to\infty}x'_n y'_n$$

$\Q_p$は定義6の和と積に関して位相環である．

$\Q$の点列の極限を考えることによって環の公理を充たすことが確認できる．また，命題1(1)(2)と同様の議論により，和と積の連続性がわかる．

$\Q_p$は体であり，逆元を取る操作$\Q_p^{\times}\to\Q_p^{\times},\ x\mapsto x^{-1}$は連続．

$x\ne 0$のとき，$x_n\to x$なるCauthy列$\{x_n\}\subset\Q$が取れる．
$n$が充分大きいとき，$|x_n|_p$は定数$C\ne 0$．
$m,n$が充分大きいとき，

\begin{equation} \abs{\fr{1}{x_m}-\fr{1}{x_n}}_p=\abs{\fr{x_n-x_m}{x_m x_n}}_p=\fr{|x_n-x_m|_p}{C^2} \end{equation}

よって$\{x_n^{-1}\}$はCauchy列であるから，ある$y\in\Q_p$に収束する．ここで$x_n x_n^{-1}=1$なので，積の連続性から$xy=1$．よって$y=x^{-1}$で，$\Q_p$は体．

命題1(3)と同様の議論により逆元を取る操作は連続である．よって$\Q_p$は位相体．

以上で定理4が示された．

終わり

$p$進整数環や逆極限を用いた定義などの話題もありますが，とりあえずここで区切りたいと思います．誤り等があればご教授頂けると助かります．

参考文献

[1]
雪江明彦, 初頭整数論からp進数へ, 日本評論社, 2012
投稿日：3日前
更新日：20時間前
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pomodoro
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基本的に教科書に書いてるような基礎的な内容をまとめたりすることが多いかと思います．誤りがあった場合は教えて頂けると助かります．

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