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コリオリ力をラグランジアンから求めたらちょっと楽(備忘録)

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角速度ωで回転する2次元直交座標におけるコリオリ力を求めたい.
普通にやると二階微分とかでてきてややこしいのでラグランジアンから計算する(ラグランジアンがtに依存する時もオイラーラグランジュ方程式はそのまま使える!).
回転運動が絡むときはR2Cで複素数平面上の運動だと思うとちょっぴり楽になる.

非慣性系での物体の座標をx=x+yiとすると慣性形での座標はx=(x+yi)eiϕとなる. ここでϕは非慣性系の回転運動の寄与; 則ちϕ˙=ωとなる関数.
v=ddtx=(x˙+y˙i+iϕ˙(x+yi))eiϕ=((x˙ωy)+(y˙+ωx)i)eiϕ
だから, ラグランジアンLはポテンシャルをUとして
L=12m((x˙ωy)2+(y˙+ωx)2)U
従ってオイラーラグランジュ方程式はω˙=αとすると(等速円運動する系ならα=0)
{   mω(y˙+ωx)Uxm(x¨ωy˙αy)=0mω(x˙ωy)Uym(y¨+ωx˙+αx)=0
である.
これを整理してF=Uとすると
ma=F+mω2x2mωivmαix
を得る. これが欲しかった式(α=0とするともっとよく見る形になる).
他の問題設定(例えば極座標)でも同じノリでできます. 三次元極座標とかは試してないけどどれぐらい楽になるんだろうか?

投稿日:14
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