Rahmanによる三次の和公式
第一種完全楕円積分は
\begin{align}
K(k):=\frac{\pi}2\sum_{0\leq n}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}k^{2n}
\end{align}
によって与えられる. その特殊値として以下のようなものがある.
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}e^{\frac{\pi in}3}&=\frac{2\sqrt{\pi}}{3^{\frac 34}\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac 56\right)}e^{\frac{\pi i}{12}}
\end{align}
これに関しては,
子葉さんの記事
で解説されているが, 実はこの和公式は
\begin{align}
\F21{a,1-a}{2a}{e^{i\pi/3}}&=\frac{2\pi\Gamma(2a)3^{-3a/2}}{\Gamma(a)\Gamma\left(a+\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}e^{i\pi(1-a)/6}
\end{align}
のようにパラメータがついた一般化が存在する. これはWatsonによって1909年に示されたものである. $a=\frac 12$とすれば先ほどの特殊値を得る.
今回は, この和公式の$q$類似である以下の公式を示す.
$\omega:=e^{2\pi i/3}$とするとき,
\begin{align}
\Q32{a,q/a,a\omega}{a^2,\omega^2q}{a\omega}=\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{(a,a\omega^2;q)_{\infty}(a^3q;q^3)_{\infty}}{(a^2,\omega^2;q)_{\infty}(q;q^3)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
まず, $q$二項定理より,
\begin{align}
\Q32{q/a,\omega q/a,\omega^2 q/a}{\omega q,\omega^2 q}t&=\sum_{0\leq n}\frac{(q^3/a^3;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}t^n\\
&=\frac{(tq^3/a^3;q^3)_{\infty}}{(t;q^3)_{\infty}}
\end{align}
である. ここで, $t=\frac{a^3}q$とすると
\begin{align}
\frac{(q^2;q^3)_{\infty}}{(a^3/q;q^3)_{\infty}}&=\Q32{q/a,\omega q/a,\omega^2 q/a}{\omega q,\omega^2 q}{\frac{a^3}q}
\end{align}
となる. ここで,
$q$-Kummerの変換公式
より,
\begin{align}
\Q32{q/a,\omega q/a,\omega^2 q/a}{\omega q,\omega^2 q}{\frac{a^3}q}&=\frac{(a\omega,a^2;q)_{\infty}}{(\omega q,a^3/q;q)_{\infty}}\Q32{q/a,a,a\omega}{\omega^2 q,a^2}{a\omega}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac{(q^2;q^3)_{\infty}}{(a^3/q;q^3)_{\infty}}&=\frac{(a\omega,a^2;q)_{\infty}}{(\omega q,a^3/q;q)_{\infty}}\Q32{a,q/a,a\omega}{a^2,\omega^2 q}{a\omega}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Q32{a,q/a,a\omega}{a^2,\omega^2 q}{a\omega}&=\frac{(\omega q,a^3/q;q)_{\infty}}{(a\omega,a^2;q)_{\infty}}\frac{(q^2;q^3)_{\infty}}{(a^3/q;q^3)_{\infty}}\\
&=\frac{(q,\omega q,a^3;q)_{\infty}}{(a\omega,a^2;q)_{\infty}}\frac{1}{(a^3q^2,q,q^3;q^3)_{\infty}}\\
&=\frac{(a^3;q)_{\infty}}{(a\omega,a^2,\omega^2q;q)_{\infty}}\frac{1}{(a^3q^2,q;q^3)_{\infty}}\\
&=\frac{(a,a\omega^2;q)_{\infty}(a^3q;q^3)_{\infty}}{(a^2,\omega^2q;q)_{\infty}(q;q^3)_{\infty}}\\
&=\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{(a,a\omega^2;q)_{\infty}(a^3q;q^3)_{\infty}}{(a^2,\omega^2;q)_{\infty}(q;q^3)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
定理1が実際に先ほどの和公式の$q$類似になっていることを見る.
\begin{align}
\Q32{a,q/a,a\omega}{a^2,\omega^2q}{a\omega}=\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{(a,a\omega^2;q)_{\infty}(a^3q;q^3)_{\infty}}{(a^2,\omega^2;q)_{\infty}(q;q^3)_{\infty}}
\end{align}
において, $a\mapsto q^a$として$a\to 1$とすると左辺は
\begin{align}
\frac{(\omega q^a;q)_n}{(\omega^2q;q)_n}(\omega q^a)^n&\to \left(\frac{1-\omega}{1-\omega^2}\omega\right)^n\\
&=e^{\pi in/3}
\end{align}
より
\begin{align}
\F21{a,1-a}{2a}{e^{\pi i/3}}
\end{align}
となる. 一方右辺は二項定理より$q\to 1$において
\begin{align}
\frac{(tq^a;q)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}}=\sum_{0\leq n}\frac{(q^a;q)_n}{(q;q)_n}t^n\to \sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}t^n=(1-t)^{-a}\qquad |t|<1
\end{align}
となることを用いると,
\begin{align}
&\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{(q^a,\omega^2q^a;q)_{\infty}(q^{3a+1};q^3)_{\infty}}{(q^{2a},\omega^2;q)_{\infty}(q;q^3)_{\infty}}\\
&=\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{(q^a,\omega^2q^a,q^{a+\frac 13},\omega q^{a+\frac 13},\omega^2 q^{a+\frac 13};q)_{\infty}}{(q^{2a},\omega^2,q^{\frac 13},\omega q^{\frac 13},\omega^2 q^{\frac 13};q)_{\infty}}\\
&\to\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{\Gamma(2a)\Gamma\left(\frac 13\right)}{\Gamma\left(a+\frac 13\right)\Gamma\left(a+\frac 23\right)}((1-\omega)(1-\omega^2)^2)^{-a}\\
&=\sqrt 3e^{\pi i/6}\frac{\Gamma(2a)\Gamma\left(\frac 13\right)}{\Gamma(a)\Gamma\left(a+\frac 13\right)}(3^{3/2}e^{\pi i/6})^{-a}\\
&=\frac{2\pi\Gamma(2a)3^{-3a/2}}{\Gamma(a)\Gamma\left(a+\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}e^{\pi i(1-a)/6}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\F21{a,1-a}{2a}{e^{\pi i/3}}=\frac{2\pi\Gamma(2a)3^{-3a/2}}{\Gamma(a)\Gamma\left(a+\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)}e^{\pi i(1-a)/6}
\end{align}
