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NKSさんの級数について

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事ではNKSさんが予想した等式
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}e^{\frac{\pi in}3} =e^{\frac{\pi i}{12}}\l(\frac{16}{27}\r)^{\frac14}\frac{\sqrt\pi}{\G(\frac23)\G(\frac56)}$$
について簡単に解説していきます。

補題

 以下$K$を楕円積分
$$K(k)=\int^1_0\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}},\quad K'(k):=K(k')=K(\sqrt{1-k^2})$$
とし、$\t_2,\t_3,\t_4$をテータ関数
$$\t_2(\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}q^{\l(n+\frac12\r)^2},\quad \t_3(\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}q^{n^2},\quad \t_4(\tau)=\sum^\infty_{n=-\infty}(-1)^nq^{n^2}$$
とします($q=e^{\pi i\tau}$)。

$$\sum^\infty_{n=0}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}k^{2n}=\frac2\pi K(k)$$

 超幾何関数のオイラー積分表示などからわかる。

$$k=\frac{\t_2(\tau)^2}{\t_3(\tau)^2}$$
とおいたとき
$$K=\frac\pi2\t_3(\tau)^2,\quad k'=k\l(-\frac1\tau\r),\quad\tau=\frac{iK'}{K}$$
が成り立つ。

  この記事 で示した。

 $\tau=\sqrt{-3}$において
$$k=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4=\sin\frac\pi{12},\quad K=\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac73}\pi}$$
が成り立つ。

$$k_3=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$$
については この記事
$$K(k_3)=\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac73}\pi}$$
については この記事 で示した。

$$K(k)=\frac1{1+k}K\l(\frac{2\sqrt k}{1+k}\r),\quad K\l(\frac1k\r)=(1+\tau)kK(k)$$

 前者については 超幾何関数の変換公式 や算術幾何平均の性質
\begin{alignat*}{3} M(1+x,1-x) &=M\l(\frac{(1+x)+(1-x)}2,\sqrt{(1-x)(1+x)}\r)&&=M(1,\sqrt{1-x^2})\\ &=(1+x)M\l(1,\frac{1-x}{1+x}\r)&&=(1+x)M\l(1,\sqrt{1-\frac{4x}{(1+x)^2}}\r) \end{alignat*}
からわかる。
 後者についてはテータ関数の変換公式より
\begin{align*} \t_3\l(\frac\tau{\tau+1}\r)^2 &=-i\l(-1-\frac1\tau\r)\t_3\l(-1-\frac1\tau\r)^2\\ &=i\l(1+\frac1\tau\r)\t_4\l(-\frac1\tau\r)^2\\ &=-i\tau\cdot i\l(1+\frac1\tau\r)\t_2(\tau)^2\\ &=(1+\tau)\frac{\t_2(\tau)^2}{\t_3(\tau)^2}\t_3(\tau)^2 \end{align*}
同様に
$$\t_2\l(\frac\tau{\tau+1}\r)^2=(1+\tau)\t_3(\tau)^2$$
が成り立つことに注意するとわかる。

証明

$$\sum^\infty_{n=0}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}e^{\frac{\pi in}3} =e^{\frac{\pi i}{12}}\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac43}\pi^2}$$

\begin{align*} K(e^{\frac{\pi i}6}) &=\frac1{1+e^{\frac{\pi i}6}}K\l(\frac{2e^{\frac{\pi i}{12}}}{1+e^{\frac{\pi i}6}}\r)\\ &=\frac{e^{-\frac{\pi i}{12}}}{2\cos\frac\pi{12}}K\l(\frac1{\cos\frac\pi{12}}\r)\\ &=\frac{e^{-\frac{\pi i}{12}}}{2}\l(1-\frac1{\sqrt{-3}}\r)K'(k_3) &\bigg(k'&=k\l(-\frac1\tau\r)\bigg)\\ &=e^{-\frac{\pi i}{12}}\frac{\sqrt3+i}2K(k_3)&(K'&=-i\tau K)\\ &=e^{\frac{\pi i}{12}}\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac73}\pi} &\bigg(e^{\frac{\pi i}6}&=\frac{\sqrt3+i}2\bigg) \end{align*}
なので
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}e^{\frac{\pi in}3} =\frac2\pi K(e^{\frac{\pi i}6}) =e^{\frac{\pi i}{12}}\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac43}\pi^2}$$
を得る。

$\G$関数の変形について

倍数公式

$$\prod^{n-1}_{k=0}\G\l(z+\frac kn\r)=\frac{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}{n^{nz-\frac12}}\G(nz)$$

 因数分解公式や フーリエ級数展開 からわかる。

$$\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac43}\pi^2} =\l(\frac{16}{27}\r)^{\frac14}\frac{\sqrt\pi}{\G(\frac23)\G(\frac56)}$$

 倍数公式の$z=1/3,n=2,3$の場合を考えることで
\begin{align*} \G\l(\frac13\r)\G\l(\frac56\r) &=\G\l(\frac13\r)\G\l(\frac13+\frac12\r) =\frac{\sqrt{2\pi}}{2^{\frac23-\frac12}}\G\l(\frac23\r)\\ \G\l(\frac13\r)\G\l(\frac23\r)&=\frac{2\pi}{3^{1-\frac12}} \end{align*}
がわかるので
$$\G\l(\frac13\r)^3\G\l(\frac23\r)\G\l(\frac56\r) =2^{\frac13}\sqrt\pi\l(\frac{2\pi}{\sqrt3}\r)^2$$
つまり
$$\frac{3^{\frac14}\G(\frac13)^3}{2^{\frac43}\pi^2} =\frac2{3^{\frac34}}\frac{\sqrt\pi}{\G(\frac23)\G(\frac56)}$$
を得る。

投稿日:20231127
更新日:20231127

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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