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楕円積分の特殊値を求める(その2)

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はじめに

　この記事では前回の記事に引き続き楕円積分の特殊値 $K (k_{n})$ を求めていきます。
　前回までの記事では
$\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + N n^{2})^{s}}$
という級数を考えることでラマヌジャンの不変量や楕円積分の特殊値を求めてきましたが、今回は
$\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}}$
という級数を考えていきます。

二平方和定理のとある一般化(その2)

　前の記事では「指標と表現可能性」の項から判別式が $D \equiv 0 (\mod 4)$ の場合に限って二次形式の代数を展開していましたが、 $D \equiv 1 (\mod 4)$ の場合でも全く同じ論理が展開できます。ちなみに $D \equiv 0$ のときはかなり場合分けが必要であったのに対し、 $D \equiv 1$ のときは場合分けが生じず、かなり議論が簡単になります。

　判別式 $D \equiv 1 (\mod 4)$ の二次形式 $f = [a, b, c]$ に対し $D$ の素因数 $p$ に対し $n = f (x, y)$ が $D$ と互いに素ならば $(n | p)$ は $n$ に依らず同じ値を取る。

　二次形式の記事の定理4より $n = f (x, y), m = f (z, w)$ に対してある $X, Y$ が存在して
$n m = X^{2} + X Y + \frac{1 - D}{4} Y^{2}$
が成り立つ。このとき $D$ の素因数 $p$ に対し
$n m \equiv X^{2} + X Y + \frac{1}{4} Y^{2} = {(X + \frac{1}{2} Y)}^{2} (\mod p)$
が成り立つので
$(\frac{n m}{p}) = 1$
つまり
$(\frac{n}{p}) = (\frac{m}{p})$
を得る。

　 $r$ を $D$ の素因数の個数とすると判別式 $D$ の二次形式が定める指標の個数は $μ = r$ となります。

　 $H$ を $I = x^{2} + x y + \frac{1 - D}{4} y^{2}$ が定める $(Z / D Z)^{\times}$ の像とし
$G = {n \in (Z / D Z)^{\times} ∣ (D | n) = 1}$
とおく。このとき $n \in (Z / D Z)^{\times}$ に対しその指標の値を返す準同型
$ψ : (Z / D Z)^{\times} \to {\pm 1}^{μ}$
を考えると $ψ$ は同型
$(Z / D Z)^{\times} / H ≃ {\pm 1}^{μ}$
を誘導する。特に $| G / H | = 2^{μ - 1}$ が成り立つ。

　 $I (1, 0) = 1$ より $H \subset Ker ψ$ がわかる。
　また $n \in Ker ψ$ について、 $D$ の素因数分解における $p$ の指数を $e$ とおくと $(n | p) = 1$ よりある整数 $x_{p}$ が存在して
$I (x_{p}, 0) = x_{p}^{2} \equiv n (\mod p^{e})$
が成り立つ。よって中国剰余定理よりある $x, y$ が存在して
$I (x, y) \equiv n (\mod D)$
が成り立つ、つまり $Ker ψ \subset H$ が成り立つので $ψ$ の全射性と合わせて主張を得る。

　以上より前の記事と同様にして
$C (D) / C (D)^{2} ≃ G / H ≃ (Z / 2 Z)^{μ - 1}$
がわかります。そしてこのことから次の命題が得られます。

　 $h (- N) = 2^{r - 1}$ を満たすような $N \equiv 3 (\mod 4)$ を第二種便利数(仮)と呼ぶことにする。
　そのような $D = - N$ に対して指標の値、あるいは $(Z / D Z)^{\times}$ における値によって二次形式は完全に区別できる。

　これの最たる例は $N$ が素数のときであり、そのような第二種便利数は $N = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163$ の $7$ 個に限ります(これらの数はヘーグナー数とも呼ばれます)。第二種便利数(仮)に決まった名称がついているのかはよく知りません( OEIS でも特に決まった呼ばれ方をしている様子はない)。
　(追記)第二種便利数は現在
$\begin{aligned} N = & 3, 7, 11, 15, 19, 27, 35, 43, 51, 67, 75, 91, 99, 115, 123, \\ 147, 163, 187, 195, 235, 267, 315, 403, 427, 435, 483, \\ 555, 595, 627, 715, 795, 1155, 1435, 1995, 3003, 3315 \end{aligned}$
の $36$ 個が知られており、またこれ以上は存在しないと予想されているようです。

　第二種便利数 $N$ が平方因子を持たないとき、
$n = x^{2} + x y + \frac{N + 1}{4} y^{2}$
となるような整数 $(x, y)$ の個数は
$\frac{w_{D}}{2^{r}} \sum_{d^{'} | N} \sum_{d | n} (\frac{\pm d^{'}}{n / d}) (\frac{\mp N / d^{'}}{d})$
となる。ただし符号は $\pm d^{'} \equiv 1 (\mod 4)$ となるように取るものとした。

　 $N \equiv - 1 (\mod 4)$ より
$\begin{array}{rcl} {x^{2} + x y + \frac{N + 1}{4} y^{2} = n} & \leftrightarrow & {X^{2} + N Y^{2} = 4 n} \\ (x, y) & \to & (2 x + y, y) \\ (\frac{X - Y}{2}, Y) & \leftarrow & (X, Y) \end{array}$
という一対一対応があることに注意すると前の記事の定理11と同様にして、 $N$ のどの素因数 $p$ に対しても $n$ が $p^{2}$ で割り切れないとき、 $g = gcd (n, N), n^{'} = n / g, h = N / g$ とおくと
$\begin{array}{rcl} r (n) & = & \frac{w_{D}}{2^{r}} \prod_{p | h} (1 + (\frac{g}{p})) \prod_{p | g} (1 + (\frac{h}{p})) \sum_{d | n^{'}} (\frac{- N}{d}) \\ = & \frac{w_{D}}{2^{r}} \sum_{d^{'} | N} \sum_{d | n^{'}} (\frac{g}{a^{'}}) (\frac{h}{a}) (\frac{n^{'}}{d^{'}}) (\frac{- N}{d}) (a = gcd (g, d^{'}), a^{'} = d^{'} / a) \\ = & \frac{w_{D}}{2^{r}} \sum_{d^{'} | N} \sum_{d | n} (\frac{\pm d^{'}}{n / d}) (\frac{\mp N / d^{'}}{d}) \end{array}$
を得る。

　ちなみに上で挙げた第二種便利数のうち平方因子を持つものは $N = 27, 75, 99, 315$ の $4$ つだけとなります。実際そのことはこちらの記事にまとめた素因数分解によって確かめられます。

イータ関数の特殊値

　上での議論より冒頭で挙げた級数は次のように分解できます。

　定理4の条件下で
$\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} = \frac{w_{D}}{2^{r}} \sum_{d | N} L_{\pm d} L_{\mp N / d}$
が成り立つ。ただし
$L_{d} (s) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{d}{n}) \frac{1}{n^{s}}$
とした。

　また上の分解は $d \mapsto N / d$ における対称性を持つので
$\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} = \frac{w_{D}}{2^{r - 1}} \sum_{\begin{matrix} d | N \\ d < \sqrt{N} \end{matrix}} L_{\pm d} L_{\mp N / d}$
と簡約化することができます。
　特に $N = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (r = 1)$ のときは
$\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} = w_{D} ζ (s) L_{- N} (s)$
が成り立ちます。
　いま前回の記事での議論より
$\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} = \underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{| m τ + n |^{s}} (τ = \frac{1 + \sqrt{- N}}{2})$
と表せるのでクロネッカーの極限公式を考えることにより以下の公式が得られます。

$lim_{s \to 1} (\frac{\sqrt{N}}{2 π} \underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{1}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} - \frac{1}{s - 1}) = 2 (γ - \frac{1}{2} \log N - \log | η (τ_{N}) |^{2}) (τ_{N} = \frac{1 + \sqrt{- N}}{2})$

　クロネッカーの極限公式より
$\begin{array}{rcl} lim_{s \to 1} (\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{(\sqrt{N} / 2)^{s}}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} - \frac{π}{s - 1}) \\ = & lim_{s \to 1} (\underset{m, n}{\sum^{'}} \frac{\sqrt{N} / 2}{(m^{2} + m n + \frac{N + 1}{4} n^{2})^{s}} - \frac{π}{s - 1}) + π \log \frac{\sqrt{N}}{2} \\ = & 2 π (γ - \log 2 - \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{N}}{2} - \log | η (τ_{N}) |^{2}) \end{array}$
とわかる。

　そして類数公式より
$L_{- N} (1) = \frac{2 π}{\sqrt{N}} \frac{2^{r - 1}}{w_{D}}$
特に
$\begin{array}{rcl} lim_{s \to 1} (\frac{\sqrt{N} w_{D}}{2^{r} π} ζ (s) L_{- N} (s) - \frac{1}{s - 1}) & = & γ + \frac{L_{- N}^{'} (1)}{L_{- N} (1)} \\ = & 2 γ + \log 2 π - \frac{w_{D}}{2^{r}} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{- N}{n}) \log Γ (\frac{n}{N}) \end{array}$
が成り立つので次のように $| η (τ_{N}) |$ が計算できます。

　定理4の条件下で
$\log | η (τ_{N}) |^{2} = \frac{w_{D}}{2^{r + 1}} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{- N}{n}) \log Γ (\frac{n}{N}) - \frac{w_{D} \sqrt{N}}{2^{r + 1} π} \sum_{\begin{matrix} d | N \\ 1 < d < \sqrt{N} \end{matrix}} L_{\pm d} (1) L_{\mp N / d} (1) - \frac{1}{2} \log 2 π N$
が成り立つ。

　これはクロネッカー記号の相互法則( この記事の定理12)より
$(\frac{- N}{n}) (\frac{n}{N}) = (- 1)^{\frac{- N - 1}{2} \frac{n^{'} - 1}{2}} = 1$
が成り立つことや類数公式から
$M_{D} = {\begin{array}{cl} h_{D} \log ε_{D} & D > 0 \\ 2 h_{D} / w_{D} & D < 0 \end{array}$
とおくことで以下のように書き直せます。

$\log | η (τ_{N}) |^{2} = \frac{w_{D}}{2^{r + 1}} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{n}{N}) \log Γ (\frac{n}{N}) - \frac{w_{D}}{2^{r}} \sum_{\begin{matrix} d | N \\ 1 < d < \sqrt{N} \end{matrix}} M_{\pm d} M_{\mp N / d} - \frac{1}{2} \log 2 π N$

　さらに $N = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (r = 1)$ のときは
$\log | η (τ_{N}) |^{2} = \frac{w_{D}}{4} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{n}{N}) \log Γ (\frac{n}{N}) - \frac{1}{2} \log 2 π N$
となり、またガンマ関数の倍数公式より
$\begin{array}{rcl} 0 & = & \sum_{n = 1}^{N} \log Γ (\frac{n}{N}) + \frac{1}{2} \log N - \frac{N - 1}{2} \log 2 π \\ = & \sum_{n = 1}^{N - 1} \log Γ (\frac{n}{N}) + \frac{1}{2} \log 2 π N - \frac{N}{2} \log 2 π \end{array}$
が成り立つので以下のように整理できます。

　 $N = 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163$ に対して
$\begin{array}{rcl} \log | η (τ_{N}) |^{2} & = & \frac{w_{D}}{2} \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{1 + (n | N)}{2} \log Γ (\frac{n}{N}) - \frac{1}{2} (1 - \frac{w_{D}}{4}) \log 2 π N - \frac{w_{D} N}{8} \log 2 π \\ = & {\begin{array}{cl} 3 \log Γ (\frac{1}{3}) + \frac{1}{4} \log 3 - 2 \log 2 π & N = 3 \\ \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{1 + (n | N)}{2} \log Γ (\frac{n}{N}) - \frac{1}{4} \log N - \frac{N + 1}{4} \log 2 π & N \neq 3 \end{array} \end{array}$

　例えば $N = 3, 7, 11$ の場合を考えると
$\begin{array}{rcl} {| η (\frac{1 + \sqrt{- 3}}{2}) |}^{2} & = & \frac{3^{\frac{1}{4}} Γ (\frac{1}{3})^{3}}{4 π^{2}} \\ {| η (\frac{1 + \sqrt{- 7}}{2}) |}^{2} & = & \frac{Γ (\frac{1}{7}) Γ (\frac{2}{7}) Γ (\frac{4}{7})}{7^{\frac{1}{4}} 4 π^{2}} \\ {| η (\frac{1 + \sqrt{- 13}}{2}) |}^{2} & = & \frac{Γ (\frac{1}{11}) Γ (\frac{3}{11}) Γ (\frac{4}{11}) Γ (\frac{5}{11}) Γ (\frac{9}{11})}{11^{\frac{1}{4}} 8 π^{3}} \end{array}$
と計算できます。

楕円積分の特殊値

　いま楕円積分の特殊値 $K (k_{N})$ は
$K (k_{N}) = \frac{π}{2} η (\sqrt{- N})^{2} f (\sqrt{- N})^{4}$
と表せましたが、さらにこの記事の定理2
$f (τ) = e^{- \frac{π i}{24}} \frac{η (\frac{τ + 1}{2})}{η (τ)}$
を使うと
$\begin{array}{rcl} K (k_{N}) & = & \frac{π}{2} e^{- \frac{π i}{12}} η (τ_{N})^{2} f (\sqrt{- N})^{2} \\ = & \frac{π}{\sqrt{2}} | η (τ_{N}) |^{2} G_{N}^{2} \end{array}$
と楕円積分の特殊値を求めることができます。
　例えば $G_{3} = 2^{\frac{1}{12}}, G_{7} = 2^{\frac{1}{4}}$ を使うと
$\begin{array}{rcl} K (k_{3}) & = & \frac{3^{\frac{1}{4}} Γ (\frac{1}{3})^{3}}{2^{\frac{7}{3}} π} \\ K (k_{7}) & = & \frac{Γ (\frac{1}{7}) Γ (\frac{2}{7}) Γ (\frac{4}{7})}{7^{\frac{1}{4}} 4 π} \end{array}$
と計算できます。痛快。