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テータ関数のいくつかの関係式

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{f}[0]{\mathfrak{f}} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{T}[0]{\Theta} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では後の記事に向けてテータ関数まわりの公式をいくつか紹介していきます。
  テータ関数の記事 保型形式の記事 の内容を前提に話を進めるので、そちらを先に目を通しておくとよいと思います。

テータ関数の三重積

 $q=e^{\pi i\tau},\;z=e^{2\pi iv}$に対して
\begin{eqnarray} \t_1(v,\tau)&=&q^{\frac14}\frac{z^{\frac12}-z^{-\frac12}}i\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n}z)(1-q^{2n}z^{-1}) \\\t_2(v,\tau)&=&q^{\frac14}(z^{\frac12}+z^{-\frac12})\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n}z)(1+q^{2n}z^{-1}) \\\t_3(v,\tau)&=&\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1}) \\\t_4(v,\tau)&=&\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1}z)(1-q^{2n-1}z^{-1}) \end{eqnarray}
が成り立つ。

 ヤコビの三重積(一応 楕円関数論の記事 のおまけとして示しています)
$$\sum^\infty_{n=-\infty}q^{n^2}z^n=\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})$$
に注意すると
\begin{eqnarray} \t_1(v,\tau)&=&\frac1i\sum^\infty_{n=-\infty}(-1)^nq^{(n+\frac12)^2}z^{n+\frac12} =\frac{q^{\frac14}z^{\frac12}}i\sum^\infty_{n=-\infty}q^{n^2}(-qz)^n \\&=&\frac{q^{\frac14}z^{\frac12}}i\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n}z)(1-q^{2n-2}z^{-1}) \\&=&\frac{q^{\frac14}z^{\frac12}}i(1-z^{-1})\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n}z)(1-q^{2n}z^{-1}) \\&=&q^{\frac14}\frac{z^{\frac12}-z^{-\frac12}}i\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n}z)(1-q^{2n}z^{-1}) \end{eqnarray}
を得る。同様に
\begin{eqnarray} \t_2(v,\tau)&=&\sum^\infty_{n=-\infty}q^{(n+\frac12)^2}z^{n+\frac12} \\&=&q^{\frac14}z^{\frac12}(1+z^{-1})\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n}z)(1+q^{2n}z^{-1}) \\&=&q^{\frac14}(z^{\frac12}+z^{-\frac12})\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n}z)(1+q^{2n}z^{-1}) \\\t_3(v,\tau)&=&\sum^\infty_{n=-\infty}q^{n^2}z^n \\&=&\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1}) \\\t_4(v,\tau)&=&\sum^\infty_{n=-\infty}(-1)^nq^{n^2}z^n \\&=&\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1}z)(1-q^{2n-1}z^{-1}) \end{eqnarray}
を得る。

 $v=0$のとき$z=1$であることに注意すると以下の系を得る。

\begin{eqnarray} \t_2(\tau)&=&2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n})^2 \\\t_3(\tau)&=&\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1+q^{2n-1})^2 \\\t_4(\tau)&=&\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n-1})^2 \end{eqnarray}
および
$$\la(\tau)=\frac{\t_2(\tau)^4}{\t_3(\tau)^4} =16q\prod^\infty_{n=1}\l(\frac{1+q^{2n}}{1+q^{2n-1}}\r)^8$$
が成り立つ。

Weberのモジュラー関数

Weberのモジュラー関数

 $q=e^{\pi i\tau}$に対して
\begin{eqnarray} \f(\tau)&=&q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{n=1}(1+q^{2n-1}) \\\f_1(\tau)&=&q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n-1}) \\\f_2(\tau)&=&\sqrt 2q^{\frac1{12}}\prod^\infty_{n=1}(1+q^{2n}) \end{eqnarray}
と定められる関数をWeberのモジュラー関数という。

 Weberのモジュラー関数はデデキントのイータ関数
$$\eta(\tau)=q^{\frac1{12}}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})$$
を用いて以下のように表せます。

$$\f(\tau)=e^{-\frac{\pi i}{24}}\frac{\eta(\frac{\tau+1}2)}{\eta(\tau)},\quad \f_1(\tau)=\frac{\eta(\frac\tau2)}{\eta(\tau)},\quad \f_2(\tau)=\sqrt2\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}$$
が成り立つ。

 $\f,\f_1,\f_2$の定義より
\begin{eqnarray} \f(\tau)&=&q^{\frac1{24}-\frac1{12}}\prod^\infty_{n=1}\frac{1-(-q)^n}{1-q^{2n}} \\\f_1(\tau)&=&q^{\frac1{24}-\frac1{12}}\prod^\infty_{n=1}\frac{1-q^n}{1-q^{2n}} \\\f_2(\tau)&=&\sqrt2q^{\frac16-\frac1{12}}\prod^\infty_{n=1}\frac{1-q^{4n}}{1-q^{2n}} \end{eqnarray}
と変形できることからわかる。

 また$\eta,\f,\f_1,\f_2$はテータ関数を用いると以下のようにも表せます。

\begin{eqnarray} \eta(\tau)^3&=&\frac12\t_2(\tau)\t_3(\tau)\t_4(\tau) \\\f(\tau)^6&=&\frac{2\t_3(\tau)^2}{\t_2(\tau)\t_4(\tau)} \\\f_1(\tau)^6&=&\frac{2\t_4(\tau)^2}{\t_2(\tau)\t_3(\tau)} \\\f_2(\tau)^6&=&\frac{2\t_2(\tau)^2}{\t_3(\tau)\t_4(\tau)} \end{eqnarray}
が成り立つ。

 第一式は
\begin{eqnarray} \t_2(\tau)\t_3(\tau)\t_4(\tau) &=&2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})^3(1+q^{2n})^2(1+q^{2n-1})^2(1-q^{2n-1})^2 \\&=&2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{4n})^2(1-q^{4n-2})^2 \\&=&2q^{\frac14}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})(1-q^{2n})^2 \\&=&2\eta(\tau)^3 \end{eqnarray}
とわかる。あとは
\begin{eqnarray} \f(\tau)&=&\sqrt{\frac{\t_3(\tau)}{\eta(\tau)}} \\\f_1(\tau)&=&\sqrt{\frac{\t_4(\tau)}{\eta(\tau)}} \\\f_2(\tau)&=&\sqrt{\frac{\t_2(\tau)}{\eta(\tau)}} \end{eqnarray}
からわかる。

テータ関数とアイゼンシュタイン級数

\begin{eqnarray} E_2(\tau)&=&\frac{12}{\pi i}\frac d{d\tau}\log\eta(\tau) \\E_4(\tau)&=&\frac{\t_2(\tau)^8+\t_3(\tau)^8+\t_4(\tau)^8}2 \\E_4(\tau)^3-E_6(\tau)^2&=&\frac{27}4(\t_2(\tau)\t_3(\tau)\t_4(\tau))^8 \end{eqnarray}
が成り立つ。

  保型形式の記事 の定理5の証明において
$$E_2(\tau)=\frac{12}{\pi i}\frac d{d\tau}\log\eta(\tau)$$
を、また同じ記事の定理9として
$$E_4(\tau)^3-E_6(\tau)^2=12^3\Delta(\tau)=12^3\eta(\tau)^{24}=\frac{27}4(\t_2(\tau)\t_3(\tau)\t_4(\tau))^8$$
を示していたのであとは2番目の公式を示せばよい。

$$\T(\tau)=\frac{\t_2(\tau)^8+\t_3(\tau)^8+\t_4(\tau)^8}2$$
とおいたとき
\begin{eqnarray} \T(\tau+1)&=&\frac{(e^{\frac{\pi i}4}\t_2(\tau))^8+\t_4(\tau)^8+\t_3(\tau)^8}2=\T(\tau) \\\T\l(-\frac1\tau\r)&=&(\sqrt{-i\tau})^8\frac{\t_4(\tau)^8+\t_3(\tau)^8+\t_2(\tau)^8}2=\tau^4\T(\tau) \end{eqnarray}
が成り立ち、また三重積からわかるように$\t_j$$\tau\in\mathbb{H}\cup\{i\infty\}$において正則なので$\T(\tau)$は重さ$4$のモジュラー形式となる。
 よって 保型形式の記事 の補題13よりある複素数$C$があって
$$\T(\tau)=CE_4(\tau)$$
が成り立つが、それぞれの$q$-展開($q=e^{\pi i\tau}$)
$$\T(\tau)=\frac{(O(q^{\frac12}))^8+(1+O(q))^8+(1+O(q))^8}2=1+O(q)$$
$$E_4(\tau)=1-24\sum^\infty_{n=1}\s_3(n)q^{2n}$$
に注意すると$C=1$を得る。

$j$-不変量とモジュラー関数

 以上よりKleinの$j$-不変量を
$$J(\tau)=\frac{E_4^3}{E_4^3-E_6^2}$$
とし、Ramanujanの不変量を
$$G(\tau)=2^{-\frac14}\f(\tau),\;g(\tau)=2^{-\frac14}\f_1(\tau)$$
とすると以下の関係式が成り立ちます。

$$J(\tau) =\frac4{27}\frac{(1-\la+\la^2)^3}{(\la(1-\la))^2} =\frac{(4G^{24}-1)^3}{27G^{24}} =\frac{(4g^{24}+1)^3}{27g^{24}}$$
が成り立つ。

 一つ目の等号については定理4より
\begin{eqnarray} J(\tau)&=&\frac1{58}\frac{(\t_2^8+\t_3^8+\t_4^8)^3}{(\t_2\t_3\t_4)^8} \\&=&\frac1{58}\frac{(\la^2+1+(1-\la)^2)}{(\la(1-\la))^2} \\&=&\frac4{27}\frac{(1-\la+\la^2)^3}{(\la(1-\la))^2} \end{eqnarray}
とわかる。
 二つ目の等号については定理3より
$$G^{24}=\frac14\frac{\t_3^4}{\t_2^4\t_3^4}=\frac1{4\la(1-\la)}$$
が成り立つので
\begin{eqnarray} J(\tau)&=&\frac4{27}\frac{(1+\la(1-\la))^3}{(\la(1-\la))^2} \\&=&\frac4{27}\frac{(1+(4G^{24})^{-1})^3}{(4G^{24})^{-2}} \\&=&\frac{(4G^{24}-1)^3}{27G^{24}} \end{eqnarray}
とわかる。
 三つ目の等号については
$$J(\tau+1)=J(\tau),\;G(\tau+1)^{24}=(e^{-\frac{\pi i}{24}}g(\tau))^{24}=-g^{24}$$
からわかる。

投稿日:20221117
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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