テータ関数のいくつかの関係式

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はじめに

　この記事では後の記事に向けてテータ関数まわりの公式をいくつか紹介していきます。
　テータ関数の記事や保型形式の記事の内容を前提に話を進めるので、そちらを先に目を通しておくとよいと思います。

テータ関数の三重積

　 $q = e^{π i τ}, z = e^{2 π i v}$ に対して
$\begin{array}{rcl} θ_{1} (v, τ) & = & q^{\frac{1}{4}} \frac{z^{\frac{1}{2}} - z^{- \frac{1}{2}}}{i} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{2} (v, τ) & = & q^{\frac{1}{4}} (z^{\frac{1}{2}} + z^{- \frac{1}{2}}) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n} z) (1 + q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{3} (v, τ) & = & \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1} z) (1 + q^{2 n - 1} z^{- 1}) \\ θ_{4} (v, τ) & = & \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n - 1} z) (1 - q^{2 n - 1} z^{- 1}) \end{array}$
が成り立つ。

　ヤコビの三重積(一応楕円関数論の記事のおまけとして示しています)
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n^{2}} z^{n} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1} z) (1 + q^{2 n - 1} z^{- 1})$
に注意すると
$\begin{array}{rcl} θ_{1} (v, τ) & = & \frac{1}{i} \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} q^{(n + \frac{1}{2})^{2}} z^{n + \frac{1}{2}} = \frac{q^{\frac{1}{4}} z^{\frac{1}{2}}}{i} \sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n^{2}} (- q z)^{n} \\ = & \frac{q^{\frac{1}{4}} z^{\frac{1}{2}}}{i} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n - 2} z^{- 1}) \\ = & \frac{q^{\frac{1}{4}} z^{\frac{1}{2}}}{i} (1 - z^{- 1}) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n} z^{- 1}) \\ = & q^{\frac{1}{4}} \frac{z^{\frac{1}{2}} - z^{- \frac{1}{2}}}{i} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n} z) (1 - q^{2 n} z^{- 1}) \end{array}$
を得る。同様に
$\begin{array}{rcl} θ_{2} (v, τ) & = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{(n + \frac{1}{2})^{2}} z^{n + \frac{1}{2}} \\ = & q^{\frac{1}{4}} z^{\frac{1}{2}} (1 + z^{- 1}) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n} z) (1 + q^{2 n} z^{- 1}) \\ = & q^{\frac{1}{4}} (z^{\frac{1}{2}} + z^{- \frac{1}{2}}) \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n} z) (1 + q^{2 n} z^{- 1}) \\ θ_{3} (v, τ) & = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n^{2}} z^{n} \\ = & \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1} z) (1 + q^{2 n - 1} z^{- 1}) \\ θ_{4} (v, τ) & = & \sum_{n = - \infty}^{\infty} (- 1)^{n} q^{n^{2}} z^{n} \\ = & \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n - 1} z) (1 - q^{2 n - 1} z^{- 1}) \end{array}$
を得る。

　 $v = 0$ のとき $z = 1$ であることに注意すると以下の系を得る。

$\begin{array}{rcl} θ_{2} (τ) & = & 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n})^{2} \\ θ_{3} (τ) & = & \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 + q^{2 n - 1})^{2} \\ θ_{4} (τ) & = & \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n - 1})^{2} \end{array}$
および
$λ (τ) = \frac{θ_{2} (τ)^{4}}{θ_{3} (τ)^{4}} = 16 q \prod_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1 + q^{2 n}}{1 + q^{2 n - 1}})}^{8}$
が成り立つ。

Weberのモジュラー関数

　 $q = e^{π i τ}$ に対して
$\begin{array}{rcl} f (τ) & = & q^{- \frac{1}{24}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + q^{2 n - 1}) \\ f_{1} (τ) & = & q^{- \frac{1}{24}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n - 1}) \\ f_{2} (τ) & = & \sqrt{2} q^{\frac{1}{12}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + q^{2 n}) \end{array}$
と定められる関数をWeberのモジュラー関数という。

　Weberのモジュラー関数はデデキントのイータ関数
$η (τ) = q^{\frac{1}{12}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n})$
を用いて以下のように表せます。

$f (τ) = e^{- \frac{π i}{24}} \frac{η (\frac{τ + 1}{2})}{η (τ)}, f_{1} (τ) = \frac{η (\frac{τ}{2})}{η (τ)}, f_{2} (τ) = \sqrt{2} \frac{η (2 τ)}{η (τ)}$
が成り立つ。

　 $f, f_{1}, f_{2}$ の定義より
$\begin{array}{rcl} f (τ) & = & q^{\frac{1}{24} - \frac{1}{12}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - (- q)^{n}}{1 - q^{2 n}} \\ f_{1} (τ) & = & q^{\frac{1}{24} - \frac{1}{12}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - q^{n}}{1 - q^{2 n}} \\ f_{2} (τ) & = & \sqrt{2} q^{\frac{1}{6} - \frac{1}{12}} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1 - q^{4 n}}{1 - q^{2 n}} \end{array}$
と変形できることからわかる。

　また $η, f, f_{1}, f_{2}$ はテータ関数を用いると以下のようにも表せます。

$\begin{array}{rcl} η (τ)^{3} & = & \frac{1}{2} θ_{2} (τ) θ_{3} (τ) θ_{4} (τ) \\ f (τ)^{6} & = & \frac{2 θ_{3} (τ)^{2}}{θ_{2} (τ) θ_{4} (τ)} \\ f_{1} (τ)^{6} & = & \frac{2 θ_{4} (τ)^{2}}{θ_{2} (τ) θ_{3} (τ)} \\ f_{2} (τ)^{6} & = & \frac{2 θ_{2} (τ)^{2}}{θ_{3} (τ) θ_{4} (τ)} \end{array}$
が成り立つ。

　第一式は
$\begin{array}{rcl} θ_{2} (τ) θ_{3} (τ) θ_{4} (τ) & = & 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n})^{3} (1 + q^{2 n})^{2} (1 + q^{2 n - 1})^{2} (1 - q^{2 n - 1})^{2} \\ = & 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{4 n})^{2} (1 - q^{4 n - 2})^{2} \\ = & 2 q^{\frac{1}{4}} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - q^{2 n}) (1 - q^{2 n})^{2} \\ = & 2 η (τ)^{3} \end{array}$
とわかる。あとは
$\begin{array}{rcl} f (τ) & = & \sqrt{\frac{θ_{3} (τ)}{η (τ)}} \\ f_{1} (τ) & = & \sqrt{\frac{θ_{4} (τ)}{η (τ)}} \\ f_{2} (τ) & = & \sqrt{\frac{θ_{2} (τ)}{η (τ)}} \end{array}$
からわかる。

テータ関数とアイゼンシュタイン級数

$\begin{array}{rcl} E_{2} (τ) & = & \frac{12}{π i} \frac{d}{d τ} \log η (τ) \\ E_{4} (τ) & = & \frac{θ_{2} (τ)^{8} + θ_{3} (τ)^{8} + θ_{4} (τ)^{8}}{2} \\ E_{4} (τ)^{3} - E_{6} (τ)^{2} & = & \frac{27}{4} (θ_{2} (τ) θ_{3} (τ) θ_{4} (τ))^{8} \end{array}$
が成り立つ。

　保型形式の記事の定理5の証明において
$E_{2} (τ) = \frac{12}{π i} \frac{d}{d τ} \log η (τ)$
を、また同じ記事の定理9として
$E_{4} (τ)^{3} - E_{6} (τ)^{2} = 12^{3} Δ (τ) = 12^{3} η (τ)^{24} = \frac{27}{4} (θ_{2} (τ) θ_{3} (τ) θ_{4} (τ))^{8}$
を示していたのであとは2番目の公式を示せばよい。

$Θ (τ) = \frac{θ_{2} (τ)^{8} + θ_{3} (τ)^{8} + θ_{4} (τ)^{8}}{2}$
とおいたとき
$\begin{array}{rcl} Θ (τ + 1) & = & \frac{(e^{\frac{π i}{4}} θ_{2} (τ))^{8} + θ_{4} (τ)^{8} + θ_{3} (τ)^{8}}{2} = Θ (τ) \\ Θ (- \frac{1}{τ}) & = & (\sqrt{- i τ})^{8} \frac{θ_{4} (τ)^{8} + θ_{3} (τ)^{8} + θ_{2} (τ)^{8}}{2} = τ^{4} Θ (τ) \end{array}$
が成り立ち、また三重積からわかるように $θ_{j}$ は $τ \in H \cup {i \infty}$ において正則なので $Θ (τ)$ は重さ $4$ のモジュラー形式となる。
　よって保型形式の記事の補題13よりある複素数 $C$ があって
$Θ (τ) = C E_{4} (τ)$
が成り立つが、それぞれの $q$ -展開( $q = e^{π i τ}$ )
$Θ (τ) = \frac{(O (q^{\frac{1}{2}}))^{8} + (1 + O (q))^{8} + (1 + O (q))^{8}}{2} = 1 + O (q)$
$E_{4} (τ) = 1 - 24 \sum_{n = 1}^{\infty} σ_{3} (n) q^{2 n}$
に注意すると $C = 1$ を得る。

$j$ -不変量とモジュラー関数

　以上よりKleinの $j$ -不変量を
$J (τ) = \frac{E_{4}^{3}}{E_{4}^{3} - E_{6}^{2}}$
とし、Ramanujanの不変量を
$G (τ) = 2^{- \frac{1}{4}} f (τ), g (τ) = 2^{- \frac{1}{4}} f_{1} (τ)$
とすると以下の関係式が成り立ちます。

$J (τ) = \frac{4}{27} \frac{(1 - λ + λ^{2})^{3}}{(λ (1 - λ))^{2}} = \frac{(4 G^{24} - 1)^{3}}{27 G^{24}} = \frac{(4 g^{24} + 1)^{3}}{27 g^{24}}$
が成り立つ。

　一つ目の等号については定理4より
$\begin{array}{rcl} J (τ) & = & \frac{1}{58} \frac{(θ_{2}^{8} + θ_{3}^{8} + θ_{4}^{8})^{3}}{(θ_{2} θ_{3} θ_{4})^{8}} \\ = & \frac{1}{58} \frac{(λ^{2} + 1 + (1 - λ)^{2})}{(λ (1 - λ))^{2}} \\ = & \frac{4}{27} \frac{(1 - λ + λ^{2})^{3}}{(λ (1 - λ))^{2}} \end{array}$
とわかる。
　二つ目の等号については定理3より
$G^{24} = \frac{1}{4} \frac{θ_{3}^{4}}{θ_{2}^{4} θ_{3}^{4}} = \frac{1}{4 λ (1 - λ)}$
が成り立つので
$\begin{array}{rcl} J (τ) & = & \frac{4}{27} \frac{(1 + λ (1 - λ))^{3}}{(λ (1 - λ))^{2}} \\ = & \frac{4}{27} \frac{(1 + (4 G^{24})^{- 1})^{3}}{(4 G^{24})^{- 2}} \\ = & \frac{(4 G^{24} - 1)^{3}}{27 G^{24}} \end{array}$
とわかる。
　三つ目の等号については
$J (τ + 1) = J (τ), G (τ + 1)^{24} = (e^{- \frac{π i}{24}} g (τ))^{24} = - g^{24}$
からわかる。