ラマヌジャンの不変量を求める
はじめに
この記事ではラマヌジャンの不変量
\begin{eqnarray}
G_n&=&2^{-\frac14}q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{k=1}(1+q^{2k-1})
\\g_n&=&2^{-\frac14}q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{k=1}(1-q^{2k-1})\qquad(q=e^{-\pi\sqrt n})
\end{eqnarray}
を計算する公式について解説していきます。
前回までの記事
ではモジュラー方程式によってSinglar Moduliを計算しようと四苦八苦していましたが、ちょっと調べてみるとある特殊な$n$に対しては極めて簡単な計算方法があることを知りました。その公式がこちらです。
奇素数$p$に対して$\Q(\sqrt{-p})$の類数が$2$であるとき
$$G_p^4=\e_p^{h_p}\quad p\equiv5\pmod8$$
が成り立ち、$\Q(\sqrt{-2p})$の類数が$2$であるとき
\begin{eqnarray}
g_{2p}^{w_{-p}}&=&\e_2^{h_{-p}}&\quad&p\equiv3\pmod8
\\g_{2p}^2&=&\e_p^{h_p}&\quad&p\equiv5\pmod8
\end{eqnarray}
が成り立つ。ただし$w_{-3}=6,w_{-p}=2\;(p\neq3)$および$h_d,\e_d$は$\Q(\sqrt d)$の類数、基本単数とした。
ちなみに$\Q(\sqrt{-p})$の類数が$2$であるような素数は$p=5,13,37$のみであり、$\Q(\sqrt{-2p})$の類数が$2$であるような素数は$p=3,5,11,29$のみであることが知られている。
はい。...$p$の個数が限られているとはいえめちゃくちゃ簡単じゃん。
これと下の類数表を使うと$p=5,13,37$における$G_p$や$p=3,5,11,29$における$g_{2p}$の値は次のように求められます。
$$G_5^4=\frac{\sqrt5+1}2,\quad G_{13}^4=\frac{\sqrt{13}+3}2,\quad G_{37}^4=\sqrt{37}+6$$
$$g_6^6=\sqrt2+1,\quad g_{22}^2=\sqrt2+1,\quad
g_{10}^2=\frac{\sqrt5+1}2,\quad g_{58}^2=\frac{\sqrt{29}+5}2$$
| $p$ | $h_p$ | $h_{-p}$ | $h_{-2p}$ | $\e_p$ |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $1$ | $1$ | 1 | $\sqrt2+1$ |
| $3$ | $1$ | $1$ | $2$ | --- |
| $5$ | $1$ | $2$ | $2$ | $(\sqrt5+1)/2$ |
| $7$ | $1$ | $1$ | $4$ | --- |
| $11$ | $1$ | $1$ | $2$ | --- |
| $13$ | $1$ | $2$ | $6$ | $(\sqrt{13}+3)/2$ |
| $17$ | $1$ | $4$ | $4$ | --- |
| $19$ | $1$ | $1$ | $6$ | --- |
| $23$ | $1$ | $3$ | $4$ | --- |
| $29$ | $1$ | $6$ | $2$ | $(\sqrt{29}+5)/2$ |
| $31$ | $1$ | $3$ | $8$ | --- |
| $37$ | $1$ | $2$ | $10$ | $\sqrt{37}+6$ |
なんと！
ラマヌジャンの円周率公式
に出て来る謎の定数
$$g_{28}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}2}$$
は$\Q(\sqrt{-58})$の類数が$2$であることとその基本単数が
$$\frac{\sqrt{29}+5}2$$
であること(そして$\Q(\sqrt{29})$の類数が$1$であること)から直ちに導かれるのです！！！！やば。
というわけでこの公式のカラクリについて見ていきましょう。
Weber関数からLattice Sumへ
まずWeber関数
\begin{eqnarray}
\f(\tau)&=&q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{k=1}(1+q^{2k-1})
\\\f_1(\tau)&=&q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{k=1}(1-q^{2k-1})\quad(q=e^{i\pi\tau})
\end{eqnarray}
を変形していきます。
$\dis\frac\pi{z\sin\pi z}=\sum^\infty_{m=-\infty}\frac{(-1)^m}{z^2-m^2}$が成り立つ。
$\cot z$の部分分数展開
と同様にして
\begin{eqnarray}
\frac\pi{\sin\pi z}
&=&\frac1z+\sum^\infty_{m=-\infty}(-1)^m\l(\frac1{z-m}+\frac1m\r)
\\&=&\frac1z+\sum^\infty_{m=1}(-1)^m\frac{2z}{z^2-m^2}
\\&=&z\sum^\infty_{m=-\infty}\frac{(-1)^m}{z^2-m^2}
\end{eqnarray}
と部分分数展開できる。
\begin{eqnarray}
\frac{4\pi}{i\tau}\log\f(\tau)
&=&\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2-\tau^2n^2}
\\\frac{4\pi}{i\tau}\log\f_1(\tau)&=&\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2-\tau^2n^2}
\end{eqnarray}
が成り立つ。ただし$m,n$は$(m,n)\neq(0,0)$なる整数全体を渡るものとした。
\begin{eqnarray}
\sum^\infty_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^2}
&=&\sum^\infty_{m=1}\frac1{m^2}-2\sum^\infty_{k=1}\frac1{(2k)^2}
\\&=&\l(1-\frac12\r)\z(2)=\frac{\pi^2}{12}
\end{eqnarray}
に注意すると
\begin{eqnarray}
\frac{2\pi}{i\tau}\sum^\infty_{k=1}\log(1+q^{2k-1})
&=&\frac{2\pi}{i\tau}\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}nq^{(2k-1)n}
\\&=&\frac{2\pi}{i\tau}\sum^\infty_{n=1}\farc{(-1)^{n-1}}n\frac{q^{2n}}{1-q^{2n}}q^{-n}
\\&=&\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n\tau}\frac\pi{\sin(\pi n\tau)}
\\&=&\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=-\infty}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2-n^2\tau^2}
\\\frac{4\pi}{i\tau}\log\f(\tau)
&=&\frac{4\pi}{i\tau}\l(-\frac{\pi i\tau}{24}+\sum^\infty_{k=1}\log(1+q^{2k-1})\r)
\\&=&-\frac{\pi^2}6+2\sum^\infty_{n=1}\sum^\infty_{m=-\infty}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2-n^2\tau^2}
\\&=&\sum^\infty_{\substack{m=-\infty\\m\neq0}}\frac{(-1)^m}{m^2}
+\sum^\infty_{\substack{m,n=-\infty\\n\neq0}}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2-n^2\tau^2}
\\&=&\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2-n^2\tau^2}
\end{eqnarray}
と変形できることからわかる(二つ目の式も同様にしてわかる)。
\begin{eqnarray}
\log\f(\sqrt{-p})^4
&=&-\frac{\sqrt p}\pi\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+pn^2}
\\\log\f_1(\sqrt{-2p})^4
&=&-\frac{\sqrt{2p}}\pi\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+2pn^2}
\end{eqnarray}
が成り立つ。
Lattice Sumから$L$関数へ
次にこの二次元的な級数(Lattice Sum)を一次元的な級数、$L$関数によって記述することを考えます。
$(\frac an)=(a|n)$をクロネッカー記号とする(定義については
二平方定理の記事
で触れている)。これに対して$L$関数を
$$L_d(s)=\sum^\infty_{n=1}\l(\frac dn\r)\frac1{n^s}$$
と定める。
ここで 二平方定理の記事 の定理11を再掲します。
便利数$N$が平方因子を持たず$N\not\equiv3\pmod4$を満たすとき$N$の素因数$p\geq3$の個数を$r$、$D=-4N$とおくと
$$n=x^2+Ny^2$$
となるような整数$(x,y)$の個数$r(n)$は
$$r(n)=\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d'|N}\sum_{d|n}\bigg(\frac{\pm d'}{n/d}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d'}d\r)$$
となる。ただし符号は$\pm d'\equiv1\pmod4$となるように取るものとした。
これを用いると次のような分解が成り立ちます。
定理4の条件下で
$$\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac1{(m^2+Nn^2)^s}
=\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d\mid N}L_{\pm d}L_{\mp 4N/d}$$
が成り立つ。
定理4より
\begin{eqnarray}
&&\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d\mid N}L_{\pm d}L_{\mp4N/d}
\\&=&\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d\mid N}
\sum^\infty_{m=1}\sum^\infty_{n=1}\l(\frac{\pm d}m\r)\l(\frac{\mp4N/d}n\r)\frac1{(mn)^s}
\\&=&\sum^\infty_{l=1}\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d\mid N}\sum_{n|l}
\l(\frac{\pm d}{l/n}\r)\l(\frac{\mp4N/d}n\r)\frac1{l^s}
\\&=&\sum^\infty_{l=1}\frac{r(l)}{l^s}
\\&=&\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac1{(m^2+Nn^2)^s}
\end{eqnarray}
を得る。
これの$N=1$の場合は$w_{-4}=4,L_1(s)=\zeta(s)$および
\begin{eqnarray}
L_{-4}(s)&=&\sum^\infty_{n=1}\l(\frac{-4}n\r)\frac1{n^s}
\\&=&\sum^\infty_{n=0}\farc{(-1)^n}{(2n+1)^s}=\b(s)
\end{eqnarray}
からHardyの公式
$$\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac1{(m^2+n^2)^s}=4\z(s)\b(s)$$
が得られます。
定理4の条件下で
$$\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+Nn}}{(m^2+Nn^2)^s}
=\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d\mid N}(\l(\frac d2\r)2^{1-s}-1)L_{\pm d}L_{\mp 4N/d}$$
が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+Nn}}{(m^2+Nn^2)^s}
&=&\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m^2+Nn^2}}{(m^2+Nn^2)^s}
\\&=&\sum^\infty_{l=1}(-1)^l\frac{r(l)}{l^s}
\\&=&2\sum^\infty_{l=1}\frac{r(2l)}{(2l)^s}-\sum^\infty_{l=1}\frac{r(l)}{l^s}
\end{eqnarray}
および
\begin{eqnarray}
r(2l)&=&\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d|N}\sum_{n|2l}\bigg(\frac{\pm d}{2l/n}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d}n\r)
\\&=&\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d|N}\l(\frac{\pm d}2\r)\sum_{n|l}\bigg(\frac{\pm d}{l/n}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d}n\r)
\\&=&\frac{w_D}{2^r}\sum_{2\nmid d|N}\l(\frac d2\r)\sum_{n|l}\bigg(\frac{\pm d}{l/n}\bigg)\l(\farc{\mp4N/d}n\r)
\end{eqnarray}
が成り立つことからわかる。
無平方な整数$d$に対して二次体$\Q(\sqrt{d})$の判別式を$D$、つまり
$$D=\l\{\begin{array}{cl}d&d\equiv1\phantom{,3}\pmod4\\4d&d\equiv2,3\pmod4\end{array}\r.$$
とおく。このとき
$$L_D(1)=\l\{\begin{array}{cl}
\dis\frac{2h_D}{\sqrt D}\log\e_D&D>0
\\\dis\farc{2\pi}{\sqrt{|D|}}\frac{h_D}{w_D}&D<0
\end{array}\r.$$
が成り立つ。ただし$h_D,\e_D$は$\Q(\sqrt D)$の類数、基本単数とし$w_D$は$\Q(\sqrt D)$の$1$の累乗根の個数、すなわち
$$w_D=\l\{\begin{array}{cl}6&D=-3\\4&D=-4\\2&D<-4\end{array}\r.$$
とした。
$d=1$のときは
$$(\l(\frac21\r)2^{1-s}-1)L_1(s)=\farc{2^{1-s}-1}{s-1}(s-1)\z(s)\to-\log2\quad(s\to1^+)$$
および$N$の取り方と便利数の定義から
$$L_{-4N}=\farc{2\pi}{\sqrt{4N}}\frac{h(-4N)}{w_D}=\farc\pi{\sqrt N}\frac{2^r}{w_D}$$
となることに注意すると定理5系において$s\to1^+$とすることで以下の公式が成り立ちます。
$$\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+Nn}}{m^2+Nn^2} =-\frac\pi{\sqrt N}\log2-\frac{w_D}{2^r}\sum_{\substack{2\nmid d\mid N\\d\neq1}}(1-\l(\frac d2\r))L_{\pm d}(1)L_{\mp 4N/d}(1)$$
そして$P$を奇数として$N=P$または$N=2P$とおくと定理3系および
\begin{eqnarray}
\log G_P^4&=&\log\f(\sqrt{-P})^4-\log2
\\\log g_{2P}^4&=&\log\f_1(\sqrt{-2P})^4-\log2
\end{eqnarray}
から$G_P,g_{2P}$が次のように計算されることになります。
$P\neq1$が第一種可解であるとき
$$2^{r-1}\log G_P^4=\frac{\sqrt P}\pi\sum_{\substack{d|P\\d\neq1}}(1-\l(\frac d2\r))L_{\pm d}(1)L_{\mp4P/d}(1)$$
$P$が第二種可解であるとき
$$2^{r-1}\log g_{2P}^4=\frac{\sqrt{2P}}\pi\sum_{\substack{d|P\\d\neq1}}(1-\l(\frac d2\r))L_{\pm d}(1)L_{\mp8P/d}(1)$$
が成り立つ。
ただし$P$が第一種可解(solvable type one)であるとは$P\equiv1\pmod4$が平方因子を持たない便利数であることを言い、
$$P=5,13,21,33,37,57,85,93,105,133,165,177,253,273,345,357,385,1365$$
と列挙される。また$P$が第二種可解であるとは$2P$が平方因子を持たない便利数であることを言い、
$$P=1,3,5,11,15,21,29,35,39,51,65,95,105,165,231$$
と列挙される。
さらに
$$M_D=\l\{\begin{array}{cl}
h_D\log\e_D&D>0
\\2h_D/w_D&D<0
\end{array}\r.$$
とおくと
\begin{eqnarray}
2^{r-1}\log G_P^2&=&\sum_{\substack{d|P\\d\neq1}}\frac{1-(d|2)}2M_{\pm d}M_{\mp4P/d}
\\2^{r-1}\log g_{2P}^2&=&\sum_{\substack{d|P\\d\neq1}}\frac{1-(d|2)}2M_{\pm d}M_{\mp8P/d}
\end{eqnarray}
と簡略化することができます。めちゃめちゃ簡単じゃん...。
特に$P=p$が素数の場合は$r=1$、つまり$h(-4N)=2$より
$p$が第一種可解$\iff\Q(\sqrt{-p})$の類数が$2$
$p$が第二種可解$\iff\Q(\sqrt{-2p})$の類数が$2$
が成り立ち、そのとき$(p|2)=-1$つまり
$$p\equiv3,5\pmod8$$
が成り立っていることや$h_{-4}=h_{-8}=1$に注意すると冒頭で提示した命題が得られます。
奇素数$p$に対して$\Q(\sqrt{-p})$の類数が$2$であるとき
$$G_p^4=\e_p^{h_p}\quad p\equiv5\pmod8$$
が成り立ち、$\Q(\sqrt{-2p})$の類数が$2$であるとき
\begin{eqnarray}
g_{2p}^{w_{-p}}&=&\e_2^{h_{-p}}&\quad&p\equiv3\pmod8
\\g_{2p}^2&=&\e_p^{h_p}&\quad&p\equiv5\pmod8
\end{eqnarray}
が成り立つ。
もちろん$P$が素数であるときに限らず定理8に列挙した$P$に対しては$G_P,g_{2P}$が求まり、例えば第二種可解な$P=65$については
\begin{eqnarray}
2\log g_{130}^2
&=&M_5M_{-4\cdot26}+M_{13}M_{-4\cdot 10}
\\&=&6\log\e_5+2\log\e_{13}
\\&=&2\log\l(\frac{\sqrt5+1}2\r)^3\l(\frac{\sqrt{13}+3}2\r)
\end{eqnarray}
と計算できます。やば。
級数表示
さて定理3系よりLattice Sumはラマヌジャンの不変量によって
\begin{eqnarray}
\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+Pn^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{P}}(\log G_P^4+\log2)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+2Pn^2}
&=&\frac\pi{\sqrt{2P}}(\log g_{2P}^4+\log2)
\end{eqnarray}
と表せたのでした。このことから様々な級数の値が得られることになります。
\begin{eqnarray}
\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+n^2}
&=&-\pi\log2
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+5n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{5}}\log(\sqrt5+1)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+13n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{13}}\log(\sqrt{13}+3)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+37n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{37}}(\log(\sqrt{37}+6)+\log2)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+2n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{2}}\log2
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+6n^2}
&=&-\frac\pi{3\sqrt{6}}(\log(2\sqrt2+3)+3\log2)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+22n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{22}}(\log(2\sqrt2+3)+\log2)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+10n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{10}}\log(\sqrt5+3)
\\\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^m}{m^2+58n^2}
&=&-\frac\pi{\sqrt{58}}\log(\sqrt{29}+17)
\end{eqnarray}
特に$P$が可解でない場合も$G_P,g_{2P}$の値がわかっていれば同様に級数の値を求めることができます。例えば$G_7=2^{\frac14}$を使えば
$$\sideset{}{'}\sum_{m,n}\frac{(-1)^{m+n}}{m^2+7n^2}
=-\frac{2\pi}{\sqrt{7}}\log2$$
がわかります。
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