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楕円積分の特殊値を求める

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はじめに

　この記事では楕円積分$K(k)$に対して
$$\frac{K'(k_N)}{K(k_N)}=\sqrt N$$
が成り立つときの$K(k_N)$の値について解説していきます。
　前回の記事ではLattice Sumの$L$関数への分解
$$\psum_{m,n}\frac1{(m^2+Nn^2)^s} =\sum_{2\nmid d\mid N}L_{\pm d}L_{\mp 4N/d}$$
を考えることでラマヌジャンの不変量$G_N,g_N$を求めたのでした。
　実はこの公式からはラマヌジャンの不変量だけでなく$\tau=\sqrt{-N}$における
$$K=\frac\pi2\t_3(\tau)^2$$
の値を求めることもできます。万能かよ。

アイゼンシュタイン級数とクロネッカーの極限公式

$$\psum_{m,n}\frac1{(m^2+Nn^2)^s} =\sum_{2\nmid d\mid N}L_{\pm d}L_{\mp 4N/d}$$
といった分解公式を考えていたZuckerやGlasserらはこの左辺の級数をLattice Sumと呼んでおり、一般に正定値の二次形式$Q=ax^2+bxy+cy^2$に対し
$$\z_Q(s)=\psum_{m,n}\frac1{Q(m,n)^s}$$
という級数の$L$関数への分解を考えていました。この関数はEpsteinのゼータ関数とも呼ばれます。
　$Q$は正定値であることから$D=b^2-4ac<0$なのでこれは
$$Q=a\l(m+\frac{b+\sqrt D}{2a}n\r)\l(m+\frac{b-\sqrt D}{2a}n\r)=a|m+n\tau|^2$$
ただし
$$\tau=\frac{b+\sqrt D}{2a}$$
と変形することができ、Epsteinのゼータ関数は
$$\z_Q(s)=\psum_{m,n}\frac1{a^s|m\tau+n|^{2s}}$$
と表すことができます。
　一般に$\tau\in\mathbb{H}$として$a^s$および$y^s=\Im(\tau)^s$を乗じたもの
$$E(\tau,s)=\psum_{m,n}\farc{y^s}{|m\tau+n|^{2s}}$$
を実解析的アイゼンシュタイン級数と呼びます。流儀によってはこれを$2\z(2s)$で除したもの
$$E'(\tau,s)=\frac12\sum_{\gcd(m,n)=1}\frac{y^s}{|m\tau+n|^{2s}}$$
も実解析的アイゼンシュタイン級数と言いますが、この記事では扱いません。
　さてLattice Sumを一般化した実解析的アイゼンシュタイン級数には次のような公式があります。

クロネッカーの極限公式

　$\eta$をデデキントのイータ関数
$$\eta(\tau)=q^{-\frac1{12}}\prod^\infty_{n=1}(1-q^{2n})\quad(q=e^{i\pi\tau})$$
とすると
$$\lim_{s\to1}\l(E(\tau,s)-\frac\pi{s-1}\r)=2\pi(\g-\log2-\log(\sqrt y|\eta(\tau)|^2))$$
が成り立つ。

イータ関数の特殊値

　クロネッカーの極限公式については証明しませんが、この$\tau=\sqrt{-N}$の場合を考えることで以下の公式が得られます。

$$\lim_{s\to1}\l(\frac{\sqrt N}\pi\psum_{m,n}\frac1{(m^2+Nn^2)^s}-\frac1{s-1}\r) =2(\g-\log2-\frac12\log N-\log\eta(\sqrt{-N})^2)$$
が成り立つ。

\begin{eqnarray} &&\lim_{s\to1}\l(\psum_{m,n}\frac{N^\frac s2}{(m^2+Nn^2)^s}-\frac\pi{s-1}\r) \\&=&\lim_{s\to1}(\l(\psum_{m,n}\frac{\sqrt N}{(m^2+Nn^2)^s}-\frac\pi{s-1}\r) \frac{N^\frac s2}{N^\frac12}+\frac\pi{s-1}\l(\frac{N^{\frac s2}}{N^\frac12}-1\r)) \\&=&\lim_{s\to1}\l(\psum_{m,n}\frac{\sqrt N}{(m^2+Nn^2)^s}-\frac\pi{s-1}\r) +\frac\pi2\log N \end{eqnarray}
に注意するとわかる。

　ここで前回の記事の定理5を思い出しましょう。

　$(\frac an)$をクロネッカー記号とし
$$L_d(s)=\sum^\infty_{n=1}\l(\frac dn\r)\frac1{n^s}$$
とおく。このとき$N\not\equiv3\pmod4$なる平方因子を持たない便利数$N\neq1$に対してその素因数$p\geq3$の個数を$r$とおくと
$$\psum_{m,n}\frac1{(m+Nn)^s} =\frac1{2^{r-1}}\sum_{2\nmid d\mid N}L_{\pm d}L_{\mp 4N/d}$$
が成り立つ。ただし符号は$\pm d\equiv1\pmod4$となるように取るものとした。

　この公式とクロネッカーの極限公式を合わせることで以下のように$\eta(\sqrt{-N})$を計算することができます。

　定理2の条件下で
$$\log\eta(\sqrt{-N})^2 =\frac1{2^{r+1}}\sum^{4N}_{n=1}\l(\frac{-4N}n\r)\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) -\farc{\sqrt N}{2^r\pi}\sum_{\substack{2\nmid d\mid N\\d\neq1}}L_{\pm d}(1)L_{\mp 4N/d}(1)-\frac12\log8\pi N$$
が成り立つ。

　この証明は後半に回すとして、まずこの公式の効力を見ていきましょう。
　$\G$関数の倍数公式
$$\G(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\prod^{n-1}_{k=0}\G\l(z+\frac kn\r)$$
から得られる等式
$$\sum^{4N}_{\substack{n=1\\(n,4N)=1}}\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) =\frac{\vp(4N)}2\log2\pi\quad(N\neq2)$$
(これも後半で証明する)を用いて定理3式を整理すると
$$\log\eta(\sqrt{-N})^2 =\frac1{2^r}\sum^{4N}_{\substack{n=1\\(n,4N)=1}} \frac{1+(-4N|n)}2\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) -\farc{\sqrt N}{2^r\pi}\sum_{\substack{2\nmid d\mid N\\d\neq1}}L_{\pm d}(1)L_{\mp 4N/d}(1)-\frac12\log8\pi N-\frac{\vp(4N)}{2^{r+2}}\log2\pi$$
となり、さらに
$$M_D=\l\{\begin{array}{cl} h_D\log\e_D&D>0 \\2h_D/w_D&D<0 \end{array}\r.$$
とおくと二次体の類数公式から次のように整理できます。

$$\log\eta(\sqrt{-N})^2 =\frac1{2^r}\sum^{4N}_{\substack{n=1\\(n,4N)=1}}\frac{1+(-4N|n)}2\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) -\farc1{2^r}\sum_{\substack{2\nmid d\mid N\\d\neq1}}M_{\pm d}M_{\mp 4N/d} -\frac12\log8\pi N-\frac{\vp(4N)}{2^{r+2}}\log2\pi$$

となりまず。
　例えば$N=5,13\;(r=1)$の場合を考えると
\begin{eqnarray} \log\eta(\sqrt{-5})^2 &=&\frac12\log(\G\l(\frac1{20}\r)\G\l(\frac3{20}\r)\G\l(\frac7{20}\r)\G\l(\frac9{20}\r)) -\frac14\log\farc{\sqrt5+1}2-\frac12\log40\pi-\log2\pi \\\eta(\sqrt{-5})^2&=&\frac1\pi\l(\frac{\sqrt5+1}2\r)^{-\frac14} \l(\frac{\G(\frac1{20})\G(\frac3{20})\G(\frac7{20})\G(\frac9{20})}{160\pi}\r)^\frac12 \\\\ \log\eta(\sqrt{-13})^2 &=&\frac12\sum_{a\in A}\log\G\l(\frac a{52}\r) -\frac14\log\frac{\sqrt{13}+3}2-\frac12\log104\pi-3\log2\pi \\\eta(\sqrt{-13})^2&=&\frac1\pi\l(\frac{\sqrt{13}+3}2\r)^{-\frac14} \l(\frac{\prod_{a\in A}\G(\frac a{52})}{6656\pi^5}\r)^\frac12 \\(A&=&\{1,7,9,11,15,17,19,25,29,31,47,49\}) \end{eqnarray}
と計算できるわけです。やば。

楕円積分の特殊値

　そしてイータ関数の特殊値とラマヌジャンの不変量
\begin{eqnarray} \f(\tau)&=&q^{-\frac1{24}}\prod^\infty_{n=1}(1+q^{2n-1})\quad(q=e^{\pi i\tau}) \\G_N&=&2^{-\frac14}\f(\sqrt{-N}) \end{eqnarray}
を用いるとこの記事の定理3の証明から$\tau=\sqrt{-N}$において
\begin{eqnarray} K(k_N)&=&\frac\pi2\t_3^2 \\&=&\frac\pi2\eta(\sqrt{-N})^2\f(\sqrt{-N})^4 \\&=&\pi\eta(\sqrt{-N})^2G_N^4 \end{eqnarray}
と楕円積分の特殊値を求めることができます。
　例えば$N=5,13$の場合を考えると
$$G_5^4=\frac{\sqrt5+1}2,\;G_{13}^4=\frac{\sqrt{13}+3}2$$
であったので上の結果から
\begin{eqnarray} K(k_5)&=&(\sqrt5+2)^\frac14 \l(\frac{\G(\frac1{20})\G(\frac3{20})\G(\frac7{20})\G(\frac9{20})}{160\pi}\r)^\frac12 \\K(k_{13})&=&(5\sqrt{13}+18)^\frac14 \l(\frac{\G(\frac1{52})\G(\frac7{52})\G(\frac9{52})\G(\frac{11}{52})\G(\frac{15}{52})\G(\frac{17}{52})\G(\frac{19}{52})\G(\frac{25}{52})\G(\frac{29}{52})\G(\frac{31}{52})\G(\frac{47}{52})\G(\frac{49}{52})}{6656\pi^5}\r)^\frac12 \end{eqnarray}
と計算できます。なんてこった。
　ここでは紹介しませんが他の便利数$N$に対しても同様に$\eta(\sqrt{-N})$および$K(k_N)$を求めることができます(ただ$N$が偶数のときの$G_N$の値は前回の記事とは別の方法で求めておく必要があります)。またいくつかの$N$に対する$K(k_N)$の値については Wolfram MathWorld に列記されています。

定理3の証明

　クロネッカーの極限公式および定理2より
\begin{eqnarray} 4\log\eta(\sqrt{-N})&=&2\g-\log4N -\lim_{s\to1}\l(\farc{\sqrt N}{2^{r-1}\pi}\z(s)L_{-4N}(s)-\frac1{s-1}\r) -\farc{\sqrt N}{2^{r-1}\pi}\sum_{\substack{2\nmid d\mid N\\d\neq1}}L_{\pm d}(1)L_{\mp N/d}(1) \end{eqnarray}
が成り立つので、前回の記事での議論から
$$L_{-4N}(1)=\frac{2^{r-1}\pi}{\sqrt N}$$
であったことに注意すると以下の等式を示せばよい。

$$\lim_{s\to1}\l(\z(s)\frac{L_{-4N}(s)}{L_{-4N}(1)}-\frac1{s-1}\r) =2\g+\log2\pi-\frac1{2^r}\sum^{4N}_{n=1}\l(\frac{-4N}n\r)\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg)$$
が成り立つ。

$$\lim_{s\to1}\l(\z(s)-\farc1{s-1}\r)=\g$$
であることが知られている(後述)ので
\begin{eqnarray} \lim_{s\to1}\l(\z(s)\frac{L_{-4N}(s)}{L_{-4N}(1)}-\frac1{s-1}\r) &=&\lim_{s\to1}(\l(\z(s)-\frac1{s-1}\r)\frac{L_{-4N}(s)}{L_{-4N}(1)} +\frac1{s-1}\l(\frac{L_{-4N}(s)}{L_{-4N}(1)}-1\r)) \\&=&\g+\frac{L'_{-4N}(1)}{L_{-4N}(1)} \end{eqnarray}
が成り立つ。
　また虚二次体の判別式$D$に対してクロネッカー記号$(D|n)$は法$D$の原始的奇ディリクレ指標を定めることが知られており、そのガウス和の符号は
$$\tau(\l(\frac D{\cdot}\r))=\sum^{|D|}_{n=1}\l(\frac Dn\r)\z_D^n=\sqrt{D}$$
と決定されるらしいのでこの記事より
\begin{eqnarray} \frac{L'_{-4N}(1)}{L_{-4N}(1)} &=&\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau\big((-4N|\cdot)\big)L_{-4N}(1)} \sum^{4N}_{n=1}\l(\frac{-4N}n\r)\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) \\&=&\g+\log2\pi-\frac{\pi\sqrt{-1}}{\sqrt{-4N}}\cdot\frac{\sqrt N}{2^{r-1}\pi} \sum^{4N}_{n=1}\l(\frac{-4N}n\r)\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) \\&=&\g+\log2\pi-\frac1{2^r}\sum^{4N}_{n=1}\l(\frac{-4N}n\r)\log\G\bigg(\frac n{4N}\bigg) \end{eqnarray}
が成り立ち、主張を得る。

おまけ

$$\lim_{s\to1}\l(\z(s)-\frac1{s-1}\r)=\g$$
が成り立つ。

　リーマンゼータ関数の関数等式
$$\z(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\l(\frac{\pi s}2\r)\G(1-s)\z(1-s)$$
において$s\to1$の挙動を考えると
\begin{eqnarray} \G(1-s)&=&\frac{\G(2-s)}{1-s} \\&=&\frac{\G(1)-\G'(1)(s-1)}{1-s}+O(s-1) \\&=&\frac1{1-s}-\g+O(s-1) \end{eqnarray}
なので
$$f(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\l(\frac{\pi s}2\r)\z(1-s)$$
とおくと$f(1)=-1$より
\begin{eqnarray} \lim_{s\to1}\l(\z(s)-\frac1{s-1}\r) &=&\lim_{s\to1}(-\l(\G(s)+\frac1{s-1}\r)\frac{f(s)}{f(1)} +\frac1{s-1}\l(\frac{f(s)}{f(1)}-1\r)) \\&=&\g+\frac{f'(1)}{f(1)} \\&=&\g+\log2\pi-\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\g \end{eqnarray}
とわかる(最後の等号については昔の記事のコピペを貼っておきます)。

$\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\log2\pi$の証明

$$\eta(x)=(1-2^{1-s})\z(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^s}-2\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n)^s}=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$
とおくとこれは$\Re(s)>0$で収束するが、
$$2\eta(s)=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}+\l(1-\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^s}\r)=1+\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\l(\frac1{n^s}-\frac1{(n+1)^s}\r)$$
と変形すれば$\Re(s)>-1$で収束することになる。

収束性について

\begin{eqnarray} &&\l|\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\l(\frac1{n^s}-\frac1{(n+1)^s}\r)\r| \\&=&\l|\sum^\infty_{n=1}\l(\Big(\frac1{(2n-1)^s}-\frac1{(2n)^s}\Big)-\Big(\frac1{(2n)^s}-\frac1{(2n+1)^s}\Big)\r)\r| \\&=&\l|\sum^\infty_{n=1}s\l(\int^{2n}_{2n-1}\frac{dx}{x^{s+1}}-\int^{2n}_{2n-1}\frac{dx}{(x+1)^{s-1}}\r)\r| \\&=&\l|\sum^\infty_{n=1}s(s+1)\int^{2n}_{2n-1}\int^{x+1}_x\frac1{y^{s+2}}dydx\r| \\&\leq&|s(s+1)|\sum^\infty_{n=1}\frac1{(2n-1)^{\Re(s)+2}}<\infty \end{eqnarray}
とわかる。

　またその項別微分
$$2\eta'(s)=\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\l(\frac{\log n}{n^s}-\farc{\log(n+1)}{n^s}\r)$$
も$\Re(s)>-1$で収束するので$s=0$を代入することで
\begin{eqnarray} 2\eta'(0)&=&\sum^\infty_{n=1}\Big(-(\log(2n-1)-\log(2n))+(\log(2n)-\log(2n+1))\Big) \\&=&\log\l(\prod^\infty_{n=1}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\r) \\&=&\log\farc\pi2 \end{eqnarray}
を得る。ここで
$$\sin\frac\pi2=\frac\pi2\prod^\infty_{n=1}\l(1-\farc1{(2n)^2}\r)=\frac\pi2\prod^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}=1$$
であること(ウォリスの公式)を用いた。

　いま
$2\eta'(s)=2((1-2^{1-s})\z(s))'=2^{1-s}(\log2)2\z(s)+2(1-2^{1-s})\z'(s)$
であったので$\z(0)=-\frac12$に注意して$s=0$を代入することで
$2\eta'(0)=-2\log2-2\z'(0)=\log\frac\pi2$
すなわち
$\dis\z'(0)=-\farc12\log2\pi$
ひいては
$\dis\frac{\z'(0)}{\z(0)}=\log2\pi$
を得る。

$\sum\log\G(n/4N)$の計算

　$n$が素数べき$p^e$のとき
$$\sum^n_{\substack{k=1\\(k,n)=1}}\log\G\l(\frac kn\r)=\frac{\vp(n)}2\log2\pi-\frac12\log p$$
　$n$が二つ以上の素因数を持つとき
$$\sum^n_{\substack{k=1\\(k,n)=1}}\log\G\l(\frac kn\r)=\frac{\vp(n)}2\log2\pi$$
が成り立つ。

　求める式を$a_n$とおくと
\begin{eqnarray} \sum_{d|n}a_d &=&\sum_{d|n}a_{n/d} \\&=&\sum_{d|n}\sum^{n/d}_{\substack{k=1\\(k,n/d)=1}}\log\G\l(\frac{dk}n\r) \\&=&\sum_{d|n}\sum^{n/d}_{\substack{k=1\\(k,n)=d}}\log\G\l(\frac kn\r) \\&=&\sum^n_{k=1}\log\G\l(\farc kn\r) \end{eqnarray}
が成り立つ。これはガンマ関数の倍数公式
$$\G(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\prod^{n-1}_{k=0}\G\l(z+\frac kn\r)$$
において$z=1/n$を代入することで
$$\sum^n_{k=1}\log\G\l(\farc kn\r)=\frac{n-1}2\log2\pi-\frac12\log n$$
と計算できるのでメビウスの反転公式より
$$a_n=\sum_{d|n}\mu\l(\frac nd\r)\l(\frac{d-1}2\log2\pi-\frac12\log d\r)$$
を得る。また
\begin{eqnarray} \sum_{d|n}\mu(d)&=&0\quad(n>1) \\\sum_{d|n}\mu\l(\frac nd\r)d&=&\vp(n) \end{eqnarray}
より
$$a_n=\frac{\vp(n)}2\log2\pi-\frac12\sum_{d|n}\mu\l(\frac nd\r)\log d$$
と計算できる。
　ここで
$$\log b_n=\sum_{d|n}\mu\l(\frac nd\r)\log d$$
とおくとメビウスの反転公式より
$$n=\prod_{d|n}b_d$$
が成り立ち、ここから$b_1=1$および$b_{p^e}=p$がわかる。また
$$n=\prod_{p\mid n}p^{e_p}$$
と素因数分解したとき、
$$\prod_{p|n}\prod^{e_p}_{e=1}b_{p^e}=n$$
となることに注意すると数学的帰納法より$n$が二つ以上の素因数を持つときは$b_n=1$となることがわかる。
　以上より主張を得る。