この記事では楕円積分
が成り立つときの
前回の記事
ではLattice Sumの
を考えることでラマヌジャンの不変量
実はこの公式からはラマヌジャンの不変量だけでなく
の値を求めることもできます。万能かよ。
といった分解公式を考えていたZuckerやGlasserらはこの左辺の級数をLattice Sumと呼んでおり、一般に正定値の二次形式
という級数の
ただし
と変形することができ、Epsteinのゼータ関数は
と表すことができます。
一般に
を実解析的アイゼンシュタイン級数と呼びます。流儀によってはこれを
も実解析的アイゼンシュタイン級数と言いますが、この記事では扱いません。
さてLattice Sumを一般化した実解析的アイゼンシュタイン級数には次のような公式があります。
とすると
が成り立つ。
クロネッカーの極限公式については証明しませんが、この
が成り立つ。
に注意するとわかる。
ここで 前回の記事 の定理5を思い出しましょう。
とおく。このとき
が成り立つ。ただし符号は
この公式とクロネッカーの極限公式を合わせることで以下のように
定理2の条件下で
が成り立つ。
この証明は後半に回すとして、まずこの公式の効力を見ていきましょう。
から得られる等式
(これも後半で証明する)を用いて定理3式を整理すると
となり、さらに
とおくと二次体の類数公式から次のように整理できます。
となりまず。
例えば
と計算できるわけです。やば。
そしてイータ関数の特殊値とラマヌジャンの不変量
を用いると
この記事
の定理3の証明から
と楕円積分の特殊値を求めることができます。
例えば
であったので上の結果から
と計算できます。なんてこった。
ここでは紹介しませんが他の便利数
クロネッカーの極限公式および定理2より
が成り立つので、
前回の記事
での議論から
であったことに注意すると以下の等式を示せばよい。
が成り立つ。
であることが知られている(後述)ので
が成り立つ。
また虚二次体の判別式
と決定されるらしいので
この記事
より
が成り立ち、主張を得る。
が成り立つ。
リーマンゼータ関数の関数等式
において
なので
とおくと
とわかる(最後の等号については昔の記事のコピペを貼っておきます)。
とおくとこれは
と変形すれば
とわかる。
が成り立つ。
求める式を
が成り立つ。これはガンマ関数の倍数公式
において
と計算できるのでメビウスの反転公式より
を得る。また
より
と計算できる。
ここで
とおくとメビウスの反転公式より
が成り立ち、ここから
と素因数分解したとき、
となることに注意すると数学的帰納法より
以上より主張を得る。