L関数の特殊値をΓ関数によって表す

　$\chi$は原始的なので ガウス和の記事 の補題5から
$$\begin{array}{rcl}{\epsilon }_{\chi }\bar{\chi }(a)\tau (\chi )& =& \frac{1}{2}(\sum _{n=1}^N\chi (n){\zeta }_N^{an}-\sum _{n=1}^N\chi (-n){\zeta }_N^{an})\\ & =& \sum _{n=1}^N\chi (n)\frac{{\zeta }_N^{an}-{\zeta }_N^{-an}}{2}\\ & =& i\sum _{n=1}^N\chi (n)\sin \frac{2\pi an}{N}\end{array}$$
とわかる。

　$\chi$は原始的なので この記事 の補題5から
$$\begin{array}{rcl}\chi (n)& =& \frac{1}{\tau (\bar{\chi })}\tau (\bar{\chi })\chi (n)\\ & =& \frac{1}{\tau (\bar{\chi })}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(n){\zeta }_N^{an}\end{array}$$
が成り立ち、
$$\begin{array}{rcl}L(1,\chi )& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n}\\ & =& \frac{1}{\tau (\bar{\chi })}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\zeta }_N^{an}}{n}\\ & =& -\frac{1}{\tau (\bar{\chi })}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\log (1-{\zeta }_N^a)\end{array}$$
となる。いま
$$\begin{array}{rcl}\log (1-{\zeta }_N^a)+\log (1-{\zeta }_N^{-a})& =& \log |1-{\zeta }_N^a{|}^2\\ & =& 2\log (2\sin \frac{\pi a}{N})\\ \log (1-{\zeta }_N^a)-\log (1-{\zeta }_N^{-a})& =& \log (-{\zeta }^a)\\ & =& \frac{2\pi ia}{N}-\pi i\end{array}$$
に注意すると
$$\begin{array}{rcl}{\epsilon }_{\chi }L(1,\chi )& =& -\frac{1}{\tau (\bar{\chi })}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)(\frac{\pi ia}{N}-\frac{\pi i}{2})\\ & =& -\frac{i}{\tau (\bar{\chi })}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\frac{\pi a}{N}\\ (1-{\epsilon }_{\chi })L(1,\chi )& =& -\frac{1}{\tau (\bar{\chi })}\sum _{a=1}^N\bar{\chi }(a)\log (2\sin \frac{\pi a}{N})\end{array}$$
を得る。

　$0<x<1$に対し Kummerの公式
$$\log \frac{\mathrm{\Gamma }(x)}{\sqrt{2\pi }}=(\frac{1}{2}-x)(\gamma +\log 2\pi )-\frac{1}{2}\log (2\sin \pi x)+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log n}{n}\sin 2\pi nx$$
が成り立つことに注意すると
$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{n=1}^N\chi (n)\log \mathrm{\Gamma }(\frac{n}{N})\\ & =& (\gamma +\log 2\pi )\sum _{n=1}^N\chi (n)(\frac{1}{2}-\frac{n}{N})-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N\chi (n)\log (2\sin \frac{\pi n}{N})+\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log k}{k}\sum _{n=1}^N\chi (n)\sin \frac{2\pi kn}{N}\\ & =& (\gamma +\log 2\pi )\frac{{\epsilon }_{\chi }\tau (\chi )L(1,\bar{\chi })}{\pi i}+(1-{\epsilon }_{\chi })\frac{\tau (\chi )L(1,\bar{\chi })}{2}+\frac{{\epsilon }_{\chi }\tau (\chi )}{\pi i}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\bar{\chi }(k)\frac{\log k}{k}\\ & =& (\gamma +\log 2\pi )\frac{{\epsilon }_{\chi }\tau (\chi )L(1,\bar{\chi })}{\pi i}+(1-{\epsilon }_{\chi })\frac{\tau (\chi )L(1,\bar{\chi })}{2}-\frac{{\epsilon }_{\chi }\tau (\chi )L^{\prime }(1,\bar{\chi })}{\pi i}\end{array}$$
と計算できる。