L関数の特殊値をΓ関数によって表す
はじめに
この記事では後の記事に向けてディリクレの$L$関数
$$L(s,\x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\x(n)}{n^s}$$
の$s=1$における特殊値と$\G$関数の不思議な関係
$$\frac{L'(1,\x)}{L(1,\x)}
=\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau(\ol\x)L(1,\x)}\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)$$
を導出していきます。
なおディリクレ指標$\x$やガウス和$\tau(\chi)$についてしばしば昔に書いた記事を参照します。
・
ディリクレ指標の性質
・
ガウス和と符号決定問題
以下$\x$を法$N$の原始的ディリクレ指標とし
$$\e_\x=\frac{1-\x(-1)}2
=\l\{\begin{array}{cl}
0&\x:\mathrm{even}\\1&\x:\mathrm{odd}
\end{array}\r.$$
とおきます。
導出
$$\e_\x\ol\x(a)\tau(\x)=i\sum^N_{n=1}\x(n)\sin\frac{2\pi an}N$$
が成り立つ。
$\x$は原始的なので
ガウス和の記事
の補題5から
\begin{eqnarray}
\e_\x\ol\x(a)\tau(\x)
&=&\frac12\l(\sum^N_{n=1}\x(n)\z_N^{an}-\sum^N_{n=1}\x(-n)\z_N^{an}\r)
\\&=&\sum^N_{n=1}\x(n)\frac{\z_N^{an}-\z_N^{-an}}2
\\&=&i\sum^N_{n=1}\x(n)\sin\frac{2\pi an}N
\end{eqnarray}
とわかる。
\begin{eqnarray}
\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\frac{\pi n}N&=&i\e_\x\tau(\ol\x)L(1,\x)
\\\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\l(2\sin\farc{\pi n}N\r)&=&(\e_\x-1)\tau(\ol\x)L(1,\x)
\end{eqnarray}
が成り立つ。
$\x$は原始的なので
この記事
の補題5から
\begin{eqnarray}
\x(n)&=&\frac1{\tau(\ol\x)}\tau(\ol\x)\x(n)
\\&=&\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(n)\z_N^{an}
\end{eqnarray}
が成り立ち、
\begin{eqnarray}
L(1,\x)&=&\sum^\infty_{n=1}\frac{\x(n)}n
\\&=&\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\sum^\infty_{n=1}\frac{\z_N^{an}}n
\\&=&-\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log(1-\z_N^a)
\end{eqnarray}
となる。いま
\begin{eqnarray}
\log(1-\z_N^a)+\log(1-\z_N^{-a})&=&\log|1-\z_N^a|^2
\\&=&2\log\l(2\sin\frac{\pi a}N\r)
\\\log(1-\z_N^a)-\log(1-\z_N^{-a})&=&\log(-\z^a)
\\&=&\frac{2\pi ia}N-\pi i
\end{eqnarray}
に注意すると
\begin{eqnarray}
\e_\x L(1,\x)&=&-\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\l(\frac{\pi ia}N-\frac{\pi i}2\r)
\\&=&-\frac i{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\frac{\pi a}N
\\(1-\e_\x)L(1,\x)&=&-\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log\l(2\sin\frac{\pi a}N\r)
\end{eqnarray}
を得る。
$\x$が偶指標の時
$$\sum^N_{n=1}\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)=\frac{\tau(\x)}2L(1,\ol\x)$$
$\x$が奇指標の時
$$\sum^N_{n=1}\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)
=\frac{\tau(\x)}{\pi i}((\g+\log2\pi)L(1,\ol\x)-L'(1,\ol\x))$$
が成り立つ。
$0< x<1$に対し
Kummerの公式
$$\log\frac{\G(x)}{\sqrt{2\pi}}
=\l(\frac12-x\r)(\g+\log2\pi)-\frac12\log(2\sin\pi x)
+\frac1\pi\sum^\infty_{n=1}\frac{\log n}n\sin2\pi nx$$
が成り立つことに注意すると
\begin{eqnarray}
&&\sum^N_{n=1}\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)
\\&=&(\g+\log2\pi)\sum^N_{n=1}\x(n)\l(\frac12-\frac nN\r)
-\frac12\sum^N_{n=1}\x(n)\log\l(2\sin\frac{\pi n}N\r)
+\frac1\pi\sum^\infty_{k=1}\frac{\log k}k\sum^N_{n=1}\x(n)\sin\frac{2\pi kn}N
\\&=&(\g+\log2\pi)\frac{\e_\x\tau(\x)L(1,\ol\x)}{\pi i}
+(1-\e_\x)\frac{\tau(\x)L(1,\ol\x)}2
+\frac{\e_\x\tau(\x)}{\pi i}\sum^\infty_{k=1}\ol\x(k)\frac{\log k}k
\\&=&(\g+\log2\pi)\frac{\e_\x\tau(\x)L(1,\ol\x)}{\pi i}
+(1-\e_\x)\frac{\tau(\x)L(1,\ol\x)}2
-\frac{\e_\x\tau(\x)L'(1,\ol\x)}{\pi i}
\end{eqnarray}
と計算できる。
$\x$が偶指標の時
$$L(1,\x)=\frac2{\tau(\ol\x)}\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)$$
$\x$が奇指標の時
$$\frac{L'(1,\x)}{L(1,\x)}
=\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau(\ol\x)L(1,\x)}\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)$$
が成り立つ。
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