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L関数の特殊値をΓ関数によって表す

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{x}[0]{\chi} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では後の記事に向けてディリクレの$L$関数
$$L(s,\x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{\x(n)}{n^s}$$
$s=1$における特殊値と$\G$関数の不思議な関係
$$\frac{L'(1,\x)}{L(1,\x)} =\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau(\ol\x)L(1,\x)}\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)$$
を導出していきます。
 なおディリクレ指標$\x$やガウス和$\tau(\chi)$についてしばしば昔に書いた記事を参照します。
ディリクレ指標の性質
ガウス和と符号決定問題

 以下$\x$を法$N$の原始的ディリクレ指標とし
$$\e_\x=\frac{1-\x(-1)}2 =\l\{\begin{array}{cl} 0&\x:\mathrm{even}\\1&\x:\mathrm{odd} \end{array}\r.$$
とおきます。

導出

$$\e_\x\ol\x(a)\tau(\x)=i\sum^N_{n=1}\x(n)\sin\frac{2\pi an}N$$
が成り立つ。

 $\x$は原始的なので ガウス和の記事 の補題5から
\begin{eqnarray} \e_\x\ol\x(a)\tau(\x) &=&\frac12\l(\sum^N_{n=1}\x(n)\z_N^{an}-\sum^N_{n=1}\x(-n)\z_N^{an}\r) \\&=&\sum^N_{n=1}\x(n)\frac{\z_N^{an}-\z_N^{-an}}2 \\&=&i\sum^N_{n=1}\x(n)\sin\frac{2\pi an}N \end{eqnarray}
とわかる。

\begin{eqnarray} \sum^N_{n=1}\ol\x(n)\frac{\pi n}N&=&i\e_\x\tau(\ol\x)L(1,\x) \\\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\l(2\sin\farc{\pi n}N\r)&=&(\e_\x-1)\tau(\ol\x)L(1,\x) \end{eqnarray}
が成り立つ。

 $\x$は原始的なので この記事 の補題5から
\begin{eqnarray} \x(n)&=&\frac1{\tau(\ol\x)}\tau(\ol\x)\x(n) \\&=&\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(n)\z_N^{an} \end{eqnarray}
が成り立ち、
\begin{eqnarray} L(1,\x)&=&\sum^\infty_{n=1}\frac{\x(n)}n \\&=&\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\sum^\infty_{n=1}\frac{\z_N^{an}}n \\&=&-\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log(1-\z_N^a) \end{eqnarray}
となる。いま
\begin{eqnarray} \log(1-\z_N^a)+\log(1-\z_N^{-a})&=&\log|1-\z_N^a|^2 \\&=&2\log\l(2\sin\frac{\pi a}N\r) \\\log(1-\z_N^a)-\log(1-\z_N^{-a})&=&\log(-\z^a) \\&=&\frac{2\pi ia}N-\pi i \end{eqnarray}
に注意すると
\begin{eqnarray} \e_\x L(1,\x)&=&-\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\l(\frac{\pi ia}N-\frac{\pi i}2\r) \\&=&-\frac i{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\frac{\pi a}N \\(1-\e_\x)L(1,\x)&=&-\frac1{\tau(\ol\x)}\sum^N_{a=1}\ol\x(a)\log\l(2\sin\frac{\pi a}N\r) \end{eqnarray}
を得る。

 $\x$が偶指標の時
$$\sum^N_{n=1}\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)=\frac{\tau(\x)}2L(1,\ol\x)$$
 $\x$が奇指標の時
$$\sum^N_{n=1}\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg) =\frac{\tau(\x)}{\pi i}((\g+\log2\pi)L(1,\ol\x)-L'(1,\ol\x))$$
が成り立つ。

 $0< x<1$に対し Kummerの公式
$$\log\frac{\G(x)}{\sqrt{2\pi}} =\l(\frac12-x\r)(\g+\log2\pi)-\frac12\log(2\sin\pi x) +\frac1\pi\sum^\infty_{n=1}\frac{\log n}n\sin2\pi nx$$
が成り立つことに注意すると
\begin{eqnarray} &&\sum^N_{n=1}\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg) \\&=&(\g+\log2\pi)\sum^N_{n=1}\x(n)\l(\frac12-\frac nN\r) -\frac12\sum^N_{n=1}\x(n)\log\l(2\sin\frac{\pi n}N\r) +\frac1\pi\sum^\infty_{k=1}\frac{\log k}k\sum^N_{n=1}\x(n)\sin\frac{2\pi kn}N \\&=&(\g+\log2\pi)\frac{\e_\x\tau(\x)L(1,\ol\x)}{\pi i} +(1-\e_\x)\frac{\tau(\x)L(1,\ol\x)}2 +\frac{\e_\x\tau(\x)}{\pi i}\sum^\infty_{k=1}\ol\x(k)\frac{\log k}k \\&=&(\g+\log2\pi)\frac{\e_\x\tau(\x)L(1,\ol\x)}{\pi i} +(1-\e_\x)\frac{\tau(\x)L(1,\ol\x)}2 -\frac{\e_\x\tau(\x)L'(1,\ol\x)}{\pi i} \end{eqnarray}
と計算できる。

 $\x$が偶指標の時
$$L(1,\x)=\frac2{\tau(\ol\x)}\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)$$
 $\x$が奇指標の時
$$\frac{L'(1,\x)}{L(1,\x)} =\g+\log2\pi-\frac{\pi i}{\tau(\ol\x)L(1,\x)}\sum^N_{n=1}\ol\x(n)\log\G\bigg(\frac nN\bigg)$$
が成り立つ。

投稿日:2023128

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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