ポリガンマ関数の特殊値(1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/6,5/6)
ポリガンマ関数$\psi^{(m)}(z)$ の$z\In Q$における値を$\psi^{(m)}(1)$や$\beta(s)$を使った形で表します。
定義
| $\delta_{a,b}$ | クロネッカーのデルタ |
| $\beta(s)$ | ディリクレのベータ関数 |
$m\In Z_{\ge0},n\In Z_{\ge1}$
定理
$\displaystyle n^{m+1}\psi^{(m)}(nz) = \delta_{m,0}n\ln n + \sum_{k=0}^{n-1} \psi^{(m)}\lr({z+\frac kn})$
$\beginend{align}{
\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \psi\lr({z+\frac kn}) &=
\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \lim_{N\to\infty}
\lr({\ln N - \sum_{l=0}^N \frac1{z+\frac kn+l}}) \\&=
\lim_{N\to\infty}
\lr({\ln N - \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{l=0}^N \frac1{nz+nl+k}}) \\&=
\lim_{N\to\infty}
\lr({\ln N - \sum_{j=0}^{Nn+n-1} \frac1{nz+j}}) =
\lim_{N\to\infty}
\lr({\ln N - \sum_{j=0}^{Nn} \frac1{nz+j}}) \\&=
\lim_{N\to\infty}
\lr({\ln(Nn) - \sum_{j=0}^{Nn} \frac1{nz+j}}) - \ln n =
\psi(nz)-\ln n \\
n\psi(nz) &=
n\ln n + \sum_{k=0}^{n-1} \psi\lr({z+\frac kn})
}$
これを$m$階微分して定理を得ます。
ガンマ関数の倍数公式を対数微分しても証明できます。
$\frac12$
$\psi^{(m)}\lr({\dfrac12}) = \lr({2^{m+1}-1})\psi^{(m)}(1) - \delta_{m,0}2\ln2$
定理1に$z=\frac12,n=2$を代入すると、
$2^{m+1}\psi^{(m)}(1) =
\delta_{m,0}2\ln2 + \psi^{(m)}\lr({\dfrac12}) + \psi^{(m)}(1)$
$\frac14,\frac34$
$\psi^{(m)}\lr({\dfrac{2\pm1}4}) = 2^m\lr({2^{m+1}-1})\psi^{(m)}(1) \pm 2(-4)^mm!\beta(m+1) - \delta_{m,0}3\ln2$
$\beginend{align}{ \asupplement{-10em}{定理1に$z=\tfrac14,n=2$を代入すると、} \\ \psi^{(m)}\lr({\frac14}) + \psi^{(m)}\lr({\frac34}) &= 2^{m+1}\psi^{(m)}\lr({\frac12}) - \delta_{m,0}2\ln2 \\&= 2^{m+1}\lr[{\lr({2^{m+1}-1})\psi^{(m)}(1) - \delta_{m,0}2\ln2}] - \delta_{m,0}2\ln2 \\&= 2^{m+1}\lr({2^{m+1}-1})\psi^{(m)}(1) - 6\delta_{m,0}\ln2 \\ \\ \psi^{(m)}\lr({\frac14}) - \psi^{(m)}\lr({\frac34}) &= (-4)^{m+1}m!\beta(m+1) \\ \\ \psi^{(m)}\lr({\frac{2\pm1}4}) &= \frac{(\text{上})\mp(\text{下})}2 }$
$\frac13,\frac23$
$\psi^{(2m)}\lr({\dfrac{3\pm1}6}) = \dfrac12\lr[{\lr({3^{2m+1}-1})\psi^{(2m)}(1) \pm \pi\cdot\lr.{(\cot(\pi x))^{(2m)}}|_{x=\frac13} - \delta_{m,0}3\ln3}]$
$\beginend{align}{ \asupplement{-10.7em}{定理1に$z=\tfrac13,n=3$を代入すると、} \\ 3^{2m+1}\psi^{(2m)}(1) &= \delta_{m,0}3\ln3 + \psi^{(2m)}\lr({\frac13}) + \psi^{(2m)}\lr({\frac23}) + \psi^{(2m)}(1) \\ \psi^{(2m)}\lr({\frac13}) + \psi^{(2m)}\lr({\frac23}) &= \lr({3^{2m+1}-1})\psi^{(m)}(1) - \delta_{m,0}3\ln3 \\ \asupplement{-10.7em}{相反公式より、} \\ \psi^{(2m)}\lr({\frac13}) - \psi^{(2m)}\lr({\frac23}) &= -\pi\cdot\lr.{(\cot(\pi x))^{(2m)}}|_{x=\frac13} \\ \\ \psi^{(2m)}\lr({\frac{3\pm1}6}) &= \frac{(\text{上})\mp(\text{下})}2 }$
$\frac16,\frac56$
$\beginend{align}{ \psi^{(2m)}{\qty(\dfrac{3\pm2}6)} ={} &\dfrac12\qty[{\qty(2^{2m+1}-1)}{\qty(3^{2m+1}-1)}\psi^{(2m)}(1) \pm {\qty(2^{2m+1}+1)}\pi\cdot\lr.{(\cot(\pi x))^{(2m)}}|_{x=\frac13}] \\&- \delta_{m,0}{\qty(2\ln2 + \dfrac{3\ln3}2)} }$
$\beginend{align}{ \asupplement{-2.6em}{定理1の$n=2$の場合において、} \\ \sahen &+ \psi^{(2m)}{\qty(\frac{3\mp1}6)} = 2^{2m+1}\psi^{(2m)}{\qty(\frac{3\pm1}6)} - \delta_{m,0}2\ln2 \quad\kome \min(3\pm2,3\mp1)=\frac{3\pm1}2 \\ \sahen &= 2^{2m+1}\psi^{(2m)}{\qty(\frac{3\pm1}6)} - \psi^{(2m)}{\qty(\frac{3\mp1}6)} - \delta_{m,0}2\ln2 \\& \beginend{aligned}{ \;={}&2^{2m}\lr[{\lr({3^{2m+1}-1})\psi^{(2m)}(1) \pm \pi\cdot\lr.{(\cot(\pi x))^{(2m)}}|_{x=\frac13} - \delta_{m,0}3\ln3}] \\ &-\frac12\lr[{\lr({3^{2m+1}-1})\psi^{(2m)}(1) \mp \pi\cdot\lr.{(\cot(\pi x))^{(2m)}}|_{x=\frac13} - \delta_{m,0}3\ln3}] \\ &-\delta_{m,0}2\ln2 } \\&= \uhen }$