黄金数で遊んでいた(
とくに、
x\n | n=100 | n=10000 | n→∞ |
---|---|---|---|
x=5 | |||
x=21 | |||
x=41 | |||
x=101 |
部分和の負荷が大きいのか、それともWolframAlphaの無限和がおかしいのかは分かりませんが、
一方で、
ポリガンマ関数(ここではディガンマ関数)のq-類似であるq-ポリガンマ関数を用いると、次のように変形することができます。
を用いる。
しかし、WolframAlphaで計算すると、この変形は正しいという一方で、微妙に値がズレていたり(正確に
f(x)\x | x=5 | x=21 | x=41 | x=101 |
---|---|---|---|---|
双曲線関数の級数 | ||||
q-ポリガンマ関数 | 計算不可 |
うーん。
証明を試みる(解決済)正確には双曲線正割関数
また、ほとんど整数といえばゲルフォント定数の近似
有効な方法、緒を見つけたら追記しようと思います。(2/11編集)
有り難く、御二方から証明を示していただきました。コメント欄をぜひご覧ください。ポアソン和公式を用いる方法はとてもエレガントで、オイラー・マクローリンの和公式を用いる方法はさらに剰余項まで導出することができるようです。ありがとうございました!(2/13追記)
続き Wataruさんの記事q超幾何級数によるJacobiの二平方和定理, 四平方和定理の証明,q超幾何級数によるJacobiの六平方和定理, 八平方和定理の証明から、
という近似を思いつき(ポアソン和公式やオイラー・マクローリンの和公式を用いて同様に証明できる)、これと二平方和定理~八平方和定理を用いることで様々な近似級数を作れることに気づきました。新しく記事を書こうと思います。(2/24追記)
続きの記事です。(2/26追記)
Jacobiの平方和定理による指数関数を含む級数の近似