双曲線関数の級数についての予想【級数の近似#1】

黄金数で遊んでいた（$\varphi=e^{\frac{\pi i}{5}}+e^{-\frac{\pi i}{5}}$なので...）とき、双曲線関数の級数について、次の予想を見つけました。

とくに、$x=4k+1(k\in\mathbb{N})$のとき、ほとんど整数（almost integer）が得られることがわかります。

有り難く、御二方から証明を示していただきました。コメント欄をぜひご覧ください。ポアソン和公式を用いる方法はとてもエレガントで、オイラー・マクローリンの和公式を用いる方法はさらに剰余項まで導出することができるようです。ありがとうございました！（2/13追記）
$$f(x)=\frac{x-1}{4}+xf\left(\frac{1}{x}\right) \therefore f(x)\simeq\frac{x-1}{4}$$
$$f(x)=\frac{x-1}{4}+x\sum_{p=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^ke^{-\pi x(2k+1)p}$$
$$\therefore f(x)\simeq\frac{x-1}{4}$$

Wataruさんの記事q超幾何級数によるJacobiの二平方和定理, 四平方和定理の証明，q超幾何級数によるJacobiの六平方和定理, 八平方和定理の証明から、
$$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{e^{\frac{n^2\pi}{x}}} \approx \sqrt{x}$$
という近似を思いつき(ポアソン和公式やオイラー・マクローリンの和公式を用いて同様に証明できる)、これと二平方和定理～八平方和定理を用いることで様々な近似級数を作れることに気づきました。新しく記事を書こうと思います。(2/24追記)

続きの記事です。(2/26追記)
Jacobiの平方和定理による指数関数を含む級数の近似【級数の近似#2】