八元数の非結合性
八元数の基本的な規則から非結合性が導かれます。非結合性が現れるパターンを説明します。
代数系の拡張と表記法
複素数の虚数単位$i$に対して、追加の虚数単位$j$を加えることで、その積$ij$が生成されます。これを$k$と表記して、$ij=-ji$という演算規則（反交換性）を課すことで$k^2=-1$としたのが四元数です。
$$ k^2=(ij)^2=i(ji)j=i(-ij)j=-i^2j^2=-(-1)(-1)=-1 $$
四元数$i,j,k$に対して、追加の虚数単位$\ell$を加えることで、その積$i\ell,j\ell,k\ell$が生成されます。それらに反交換性を課すことで$(i\ell)^2=(j\ell)^2=(k\ell)^2=-1$としたのが八元数です。
八元数の7つの虚数単位は添字によって表記することが一般的です。添字の対応付けは480種類ありますが、どれも数学的な性質は等価で、よく使われるのは2種類です。7shi-oct480
本記事では発見当初のグレイブスとケイリーによる定義を使用します。
$$
\begin{aligned}
i,j,k,\ell &⇒ e_1,e_2,e_3,e_4 \\
i\ell &⇒ e_1e_4=e_5&&(1+4=5) \\
j\ell &⇒ e_2e_4=e_6&&(2+4=6) \\
k\ell &⇒ e_3e_4=e_7&&(3+4=7)
\end{aligned}
$$
括弧内は添字の関係
$i\ell$は文脈依存で$e_1e_4$とも$e_5$とも解釈できます。特に区別が必要な場合、積の記号を入れることで分離を表現する方法があります。
例: $i \times \ell = i\ell\ ⇒\ e_1 e_4=e_5$
参考までに、よく使われるもう1つの定義を示しておきます。（本記事では使用しません）
$$
\begin{aligned}
i,j,k,\ell &⇒ e_1,e_2,e_4,e_7 \\
\ell i &⇒ e_7e_1=e_3&&(e_7e_1=e_3:\quad 7+1\equiv 1,\ 1+2\equiv 3\pmod 7) \\
\ell j &⇒ e_7e_2=e_6&&(e_6e_7=e_2:\quad 6+1\equiv 7,\ 7+2\equiv 2\pmod 7) \\
\ell k &⇒ e_7e_4=e_5&&(e_4e_5=e_7:\quad 4+1\equiv 5,\ 5+2\equiv 7\pmod 7)
\end{aligned}
$$
この定義は巡回性と合同式によって添字が決まるという利便性から利用されます。
八元数の基本的な規則
八元数の虚数単位$e_a, e_b, e_c$（$a,b,c$はすべて異なる）について考えます。虚数単位の積の規則では、異なる二つの虚数単位$e_a, e_b$の積は、第三の虚数単位$e_c$あるいは$-e_c$として一意に定まります。つまり、$a$と$b$を選んだ時点で、その積の結果（符号も含めて）は完全に決定されます。
異なる虚数単位$e_a, e_b$について、その積が$e_c$となる場合を考えます。
$$ e_a e_b = e_c $$
異なる虚数単位の積の順番を交換すれば、符号が反転します。これは反交換性と呼ばれる性質です。
$$ e_b e_a = -e_c $$
$e_1e_2=e_3$として、新たな虚数単位$e_4$との積を考えます。
$$ (e_1 e_2) e_4 = e_3 e_4 $$
反交換性より
$$ e_3 e_4 = -e_4 e_3 $$
$e_3$を$e_1 e_2$に戻します。
$$ (e_1 e_2) e_4 = -e_4 (e_1 e_2) $$
これは、括弧を1つの単位として反交換性が適用されることを示しています。
非結合性
積の計算順序を変更しても結果が変わらないという性質を結合性と呼びます。
$$ (ab)c = a(bc) $$
八元数の乗法が結合的であると仮定して、括弧内に反交換性を適用すれば
$$ (e_1 e_2) e_4 \xrightarrow{\text{結合性}} e_1 (e_2 e_4) = -e_1 (e_4 e_2) \xrightarrow{\text{結合性}} -(e_1 e_4) e_2 = (e_4 e_1) e_2 \xrightarrow{\text{結合性}} \textcolor{red}{e_4 (e_1 e_2)} $$
これは結合性を使わなかった結果と矛盾します。
$$ (e_1 e_2) e_4 = -e_4 (e_1 e_2) \ne \textcolor{red}{e_4 (e_1 e_2)} $$
この矛盾は、八元数の乗法が結合的であるという仮定が誤りであることを示しています。これが非結合性です。
反結合性
結合の変更を3回行って符号が逆になるということから、結合を変更する際に符号が反転するとすれば整合的な結果が得られます。これを反結合性と呼びます。
$$ (e_1 e_2) e_4 \xrightarrow{\text{反結合性}} -e_1 (e_2 e_4) = e_1 (e_4 e_2) \xrightarrow{\text{反結合性}} -(e_1 e_4) e_2 = (e_4 e_1) e_2 \xrightarrow{\text{反結合性}} -e_4 (e_1 e_2) $$
反結合性は今回説明した基本的な規則から直接導かれるわけではありませんが、乗積表により確認できます。
$$ \begin{aligned} (e_1 e_2)e_4 &= e_3 e_4 = e_7 \\ -e_1(e_2e_4) &= -e_1 e_6 = e_7 \end{aligned} $$
0以外で割ることができるという性質を可除性と呼びます。基本的な規則に加えて可除性を要請することで、乗積表は構成されます。7shi-oct480
もし$\color{red}{e_1 e_6 = e_7}$と定義すれば零因子が発生するため、可除性が失われます。
$$ (e_3-e_1)(e_4+e_6) =e_3e_4+e_3e_6-e_1e_4-\textcolor{red}{e_1e_6} =e_7+e_5-e_5-\textcolor{red}{e_7} =\textcolor{red}{0} $$
交代性
積は常に反結合的なわけではありません。
結合性は、計算順序を付けた3つの因子$(xy)z$の形で判断します。$x,y,z$のうちの2つが等しい場合、積は2種類の因子から構成されます。このときに結合的となる性質を交代性と呼びます。
$$ \begin{aligned} (\textcolor{red}{xx})y&=\textcolor{red}{x}(\textcolor{red}{x}y) \\ (y\textcolor{red}{x})\textcolor{red}{x}&=y(\textcolor{red}{xx}) \\ (\textcolor{red}{x}y)\textcolor{red}{x}&=\textcolor{red}{x}(y\textcolor{red}{x}) \end{aligned} $$
八元数は交代性を持つ交代代数です。wiki-alt
交代性は3つの因子の形に変形してから判断します。
$$ (e_1 e_2)(e_3 e_1)=\textcolor{red}{e_3}(\textcolor{red}{e_3} e_1) \xrightarrow{\text{交代性}} (\textcolor{red}{e_3 e_3})e_1=((e_1 e_2)e_3)e_1 $$
3つの因子の形にした段階ですべて異なれば、交代性は現れません。
$$ (e_1 e_2)(e_2 e_4)=e_3(e_2 e_4) \xrightarrow{\text{反結合性}} -(e_3 e_2)e_4 $$
$e_1 e_2=e_3$としてから判断しているため、$e_2$は重複として数えません。
四元数と同型な部分代数
2つの因子の形にしたときに同じ虚数単位が現れる場合は結合的です。
$$ (e_1 e_2)e_3=\textcolor{red}{e_3e_3}\ ⇒\ (e_1 e_2)e_3=e_1(e_2 e_3) $$
このような場合、演算が四元数と同型な部分代数で閉じています。四元数と同型な部分代数を構成する虚数単位を三つ組と呼び、八元数の中に7種類あります。7shi-oct480
まとめ
以下の場合は結合的$(e_a e_b)e_c=e_a(e_b e_c)$です。
- $(xy)z$において$x,y,z$のうち2つが等しい（交代性）
- $(e_a e_b)e_c$において$e_a e_b=e_c$または$e_a e_b=-e_c$
それ以外は反結合的$(e_a e_b)e_c=-e_a(e_b e_c)$です。
$x,y,z$は単独の虚数単位に限定しない任意の八元数を表します。
実際の計算
乗積表をすべて暗記していなくても、反結合性・反交換性・交代性により計算できます。
$$ \begin{aligned} e_5 e_6 &\xrightarrow{e_6=e_2 e_4} e_5(e_2 e_4) \\ &\xrightarrow{\text{反結合性}} -(e_5 e_2)e_4 \\ &\xrightarrow{e_5=e_1 e_4} -((e_1 e_4)e_2)e_4 \\ &\xrightarrow{\text{反結合性}} (e_1(e_4 e_2))e_4 \\ &\xrightarrow{\text{反交換性}} -(e_1(e_2 e_4))e_4 \\ &\xrightarrow{\text{反結合性}} ((e_1 e_2)e_4)e_4 \\ &\xrightarrow{\text{交代性}} (e_1 e_2)(e_4 e_4) \\ &\xrightarrow{e_1 e_2=e_3,\ e_4^2=-1} -e_3 \end{aligned} $$
$i,j,k,\ell$表記で計算します。
$$ (i\ell)(j\ell)=-((i\ell)j)\ell=(i(\ell j))\ell=-(i(j\ell))\ell=((ij)\ell)\ell=(ij)(\ell\ell)=-k $$
式変形は複雑ですが、最初と最後の2つを抜き出せば、直感的なパターンとして認識できます。
$$ (i\ell)(j\ell)=(ij)(\ell\ell)=-k $$
参考文献
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