文献あり

八元数の非結合性

144

八元数の基本的な規則から非結合性が導かれます。非結合性が現れるパターンを説明します。

代数系の拡張と表記法

複素数の虚数単位 $i$ に対して、追加の虚数単位 $j$ を加えることで、その積 $i j$ が生成されます。これを $k$ と表記して、 $i j = - j i$ という演算規則（反交換性）を課すことで $k^{2} = - 1$ としたのが四元数です。

$k^{2} = (i j)^{2} = i (j i) j = i (- i j) j = - i^{2} j^{2} = - (- 1) (- 1) = - 1$

四元数 $i, j, k$ に対して、追加の虚数単位 $ℓ$ を加えることで、その積 $i ℓ, j ℓ, k ℓ$ が生成されます。それらに反交換性を課すことで $(i ℓ)^{2} = (j ℓ)^{2} = (k ℓ)^{2} = - 1$ としたのが八元数です。

八元数の7つの虚数単位は添字によって表記することが一般的です。添字の対応付けは480種類ありますが、どれも数学的な性質は等価で、よく使われるのは2種類です。7shi-oct480

本記事では発見当初のグレイブスとケイリーによる定義を使用します。

添字対応（グレイブスとケイリー）

$\begin{aligned} i, j, k, ℓ & \Rightarrow e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} \\ i ℓ & \Rightarrow e_{1} e_{4} = e_{5} & (1 + 4 = 5) \\ j ℓ & \Rightarrow e_{2} e_{4} = e_{6} & (2 + 4 = 6) \\ k ℓ & \Rightarrow e_{3} e_{4} = e_{7} & (3 + 4 = 7) \end{aligned}$
括弧内は添字の関係

$i ℓ$ は文脈依存で $e_{1} e_{4}$ とも $e_{5}$ とも解釈できます。特に区別が必要な場合、積の記号を入れることで分離を表現する方法があります。

例: $i \times ℓ = i ℓ \Rightarrow e_{1} e_{4} = e_{5}$

参考までに、よく使われるもう1つの定義を示しておきます。（本記事では使用しません）

別の定義（参考）

$\begin{aligned} i, j, k, ℓ & \Rightarrow e_{1}, e_{2}, e_{4}, e_{7} \\ ℓ i & \Rightarrow e_{7} e_{1} = e_{3} & (e_{7} e_{1} = e_{3} : 7 + 1 \equiv 1, 1 + 2 \equiv 3 (\mod 7)) \\ ℓ j & \Rightarrow e_{7} e_{2} = e_{6} & (e_{6} e_{7} = e_{2} : 6 + 1 \equiv 7, 7 + 2 \equiv 2 (\mod 7)) \\ ℓ k & \Rightarrow e_{7} e_{4} = e_{5} & (e_{4} e_{5} = e_{7} : 4 + 1 \equiv 5, 5 + 2 \equiv 7 (\mod 7)) \end{aligned}$
この定義は巡回性と合同式によって添字が決まるという利便性から利用されます。

八元数の基本的な規則

八元数の虚数単位 $e_{a}, e_{b}, e_{c}$ （ $a, b, c$ はすべて異なる）について考えます。虚数単位の積の規則では、異なる二つの虚数単位 $e_{a}, e_{b}$ の積は、第三の虚数単位 $e_{c}$ あるいは $- e_{c}$ として一意に定まります。つまり、 $a$ と $b$ を選んだ時点で、その積の結果（符号も含めて）は完全に決定されます。

異なる虚数単位 $e_{a}, e_{b}$ について、その積が $e_{c}$ となる場合を考えます。

$e_{a} e_{b} = e_{c}$

異なる虚数単位の積の順番を交換すれば、符号が反転します。これは反交換性と呼ばれる性質です。

$e_{b} e_{a} = - e_{c}$

$e_{1} e_{2} = e_{3}$ として、新たな虚数単位 $e_{4}$ との積を考えます。

$(e_{1} e_{2}) e_{4} = e_{3} e_{4}$

反交換性より

$e_{3} e_{4} = - e_{4} e_{3}$

$e_{3}$ を $e_{1} e_{2}$ に戻します。

$(e_{1} e_{2}) e_{4} = - e_{4} (e_{1} e_{2})$

これは、括弧を1つの単位として反交換性が適用されることを示しています。

非結合性

積の計算順序を変更しても結果が変わらないという性質を結合性と呼びます。

$(a b) c = a (b c)$

八元数の乗法が結合的であると仮定して、括弧内に反交換性を適用すれば

$(e_{1} e_{2}) e_{4} \overset{結合性}{\to} e_{1} (e_{2} e_{4}) = - e_{1} (e_{4} e_{2}) \overset{結合性}{\to} - (e_{1} e_{4}) e_{2} = (e_{4} e_{1}) e_{2} \overset{結合性}{\to} e_{4} (e_{1} e_{2})$

これは結合性を使わなかった結果と矛盾します。

$(e_{1} e_{2}) e_{4} = - e_{4} (e_{1} e_{2}) \neq e_{4} (e_{1} e_{2})$

この矛盾は、八元数の乗法が結合的であるという仮定が誤りであることを示しています。これが非結合性です。

反結合性

結合の変更を3回行って符号が逆になるということから、結合を変更する際に符号が反転するとすれば整合的な結果が得られます。これを反結合性と呼びます。

$(e_{1} e_{2}) e_{4} \overset{反結合性}{\to} - e_{1} (e_{2} e_{4}) = e_{1} (e_{4} e_{2}) \overset{反結合性}{\to} - (e_{1} e_{4}) e_{2} = (e_{4} e_{1}) e_{2} \overset{反結合性}{\to} - e_{4} (e_{1} e_{2})$

反結合性は今回説明した基本的な規則から直接導かれるわけではありませんが、乗積表により確認できます。

$\begin{aligned} (e_{1} e_{2}) e_{4} & = e_{3} e_{4} = e_{7} \\ - e_{1} (e_{2} e_{4}) & = - e_{1} e_{6} = e_{7} \end{aligned}$

可除性

0以外で割ることができるという性質を可除性と呼びます。基本的な規則に加えて可除性を要請することで、乗積表は構成されます。7shi-oct480

もし $e_{1} e_{6} = e_{7}$ と定義すれば零因子が発生するため、可除性が失われます。

$(e_{3} - e_{1}) (e_{4} + e_{6}) = e_{3} e_{4} + e_{3} e_{6} - e_{1} e_{4} - e_{1} e_{6} = e_{7} + e_{5} - e_{5} - e_{7} = 0$

交代性

積は常に反結合的なわけではありません。

結合性は、計算順序を付けた3つの因子 $(x y) z$ の形で判断します。 $x, y, z$ のうちの2つが等しい場合、積は2種類の因子から構成されます。このときに結合的となる性質を交代性と呼びます。

交代性

$\begin{aligned} (x x) y & = x (x y) \\ (y x) x & = y (x x) \\ (x y) x & = x (y x) \end{aligned}$

八元数は交代性を持つ交代代数です。wiki-alt

交代性は3つの因子の形に変形してから判断します。

交代性

$(e_{1} e_{2}) (e_{3} e_{1}) = e_{3} (e_{3} e_{1}) \overset{交代性}{\to} (e_{3} e_{3}) e_{1} = ((e_{1} e_{2}) e_{3}) e_{1}$

3つの因子の形にした段階ですべて異なれば、交代性は現れません。

$(e_{1} e_{2}) (e_{2} e_{4}) = e_{3} (e_{2} e_{4}) \overset{反結合性}{\to} - (e_{3} e_{2}) e_{4}$

$e_{1} e_{2} = e_{3}$ としてから判断しているため、 $e_{2}$ は重複として数えません。

四元数と同型な部分代数

2つの因子の形にしたときに同じ虚数単位が現れる場合は結合的です。

結合的

$(e_{1} e_{2}) e_{3} = e_{3} e_{3} \Rightarrow (e_{1} e_{2}) e_{3} = e_{1} (e_{2} e_{3})$

このような場合、演算が四元数と同型な部分代数で閉じています。四元数と同型な部分代数を構成する虚数単位を三つ組と呼び、八元数の中に7種類あります。7shi-oct480

まとめ

以下の場合は結合的 $(e_{a} e_{b}) e_{c} = e_{a} (e_{b} e_{c})$ です。

結合的

$(x y) z$ において $x, y, z$ のうち2つが等しい（交代性）
$(e_{a} e_{b}) e_{c}$ において $e_{a} e_{b} = e_{c}$ または $e_{a} e_{b} = - e_{c}$

それ以外は反結合的 $(e_{a} e_{b}) e_{c} = - e_{a} (e_{b} e_{c})$ です。

$x, y, z$ は単独の虚数単位に限定しない任意の八元数を表します。

実際の計算

乗積表をすべて暗記していなくても、反結合性・反交換性・交代性により計算できます。

$\begin{aligned} e_{5} e_{6} & \overset{e_{6} = e_{2} e_{4}}{\to} e_{5} (e_{2} e_{4}) \\ \overset{反結合性}{\to} - (e_{5} e_{2}) e_{4} \\ \overset{e_{5} = e_{1} e_{4}}{\to} - ((e_{1} e_{4}) e_{2}) e_{4} \\ \overset{反結合性}{\to} (e_{1} (e_{4} e_{2})) e_{4} \\ \overset{反交換性}{\to} - (e_{1} (e_{2} e_{4})) e_{4} \\ \overset{反結合性}{\to} ((e_{1} e_{2}) e_{4}) e_{4} \\ \overset{交代性}{\to} (e_{1} e_{2}) (e_{4} e_{4}) \\ \overset{e_{1} e_{2} = e_{3}, e_{4}^{2} = - 1}{\to} - e_{3} \end{aligned}$