曲率作用素とLichnerowiczの公式
で証明したLichnerowiczの公式の応用として、Dirac作用素の固有値や固有スピノルに関する単純な評価が得られることが知られています。スピン幾何を勉強すると必ず出会うぐらい有名な事実です。
コンパクトスピンリーマン多様体のDirac作用素のスペクトルは固有値のみであることが知られており、固有値の全体をと書くことにします。またに関する固有空間の次元は有限次元であることもコンパクト自己随伴作用素の一般論から分かります。関数解析的にここまでわかりますが、さらに詳しい性質については幾何学的に分析しなければなりません。
以下、スピン束をと書き、のSpin不変計量をと書き、の内積を
と書きます。
調和スピノル
リーマンスピン多様体上のスピノルがのとき、調和スピノルと呼ぶ。
調和スピノルが存在することととなることは同値です。調和スピノルについて次が基本的です。
を次元連結コンパクトスピンリーマン多様体とする。スカラー曲率とする。このとき調和スピノルは平行スピノルである。またならば
である。
とする。
であるから、である。
よってとなる。
線形偏微分方程式の解が存在するならば、ある点において、適当な初期条件に対して解が定まる。
よっての解空間の最大次元はである。
上の証明を見ると、コンパクト正曲率だと調和スピノルが存在することは難しそうな感じがします。実際次が成り立ちます。
を次元連結コンパクトスピンリーマン多様体とする。スカラー曲率とする。さらにある点においてとする。このとき調和スピノルは存在しない。
とする。
であるから、は定数である。
上の証明から
であるが、ある点においてなのでこれはあり得ない。
このことからコンパクトスピンリーマン多様体で正曲率ならばであることが分かりました。そこでに対して、は正の定数で下から抑えられるのかが気になります。実際とすると、に対して、
となるので、
となります。ただしこの評価はベストではありません。以下のように下限は倍大きくなります。
Friedrichの不等式(1980)
を次元連結コンパクトスピンリーマン多様体とする。スカラー曲率とする。このときに対して、
となる。
に注意すると、
であるから、
である。よって
となるから
である。さらにとすると、主張を得る。
Friedrichの不等式で等号が成り立つのは、の標準計量のときです。