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【Spin幾何】Dirac作用素の固有値や固有スピノルに関する基本的な評価

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  曲率作用素とLichnerowiczの公式 で証明したLichnerowiczの公式の応用として、Dirac作用素の固有値や固有スピノルに関する単純な評価が得られることが知られています。スピン幾何を勉強すると必ず出会うぐらい有名な事実です。

 コンパクトスピンリーマン多様体のDirac作用素Dのスペクトルは固有値のみであることが知られており、固有値の全体をSpec(D)と書くことにします。またλSpec(D)に関する固有空間Eλの次元は有限次元であることもコンパクト自己随伴作用素の一般論から分かります。関数解析的にここまでわかりますが、さらに詳しい性質については幾何学的に分析しなければなりません。

 以下、スピン束をΣと書き、ΣのSpin不変計量を(ϕ,ψ)と書き、Γ(Σ)L2内積を
(ϕ,ψ)L2:=M(ϕ,ψ)dv
と書きます。

調和スピノル

リーマンスピン多様体上のスピノルϕ0Dϕ=0のとき、調和スピノルと呼ぶ。

 調和スピノルが存在することと0Spec(D)となることは同値です。調和スピノルについて次が基本的です。

(M,g)n次元連結コンパクトスピンリーマン多様体とする。スカラー曲率S0とする。このとき調和スピノルは平行スピノルである。また0Spec(D)ならば
dimE0dimΣ=2[n2]
である。

ϕkerDとする。
0=(D2ϕ,ϕ)L2=||ϕ||L22+14M(Sϕ,ϕ)dv||ϕ||L220
であるから、||ϕ||L22=0である。
よってϕ=0となる。

線形偏微分方程式ϕ=0の解が存在するならば、ある点pMにおいて、適当な初期条件ϕ(p)に対して解が定まる。
よってϕ=0の解空間の最大次元はdimΣpである。

 上の証明を見ると、コンパクト正曲率だと調和スピノルが存在することは難しそうな感じがします。実際次が成り立ちます。

(M,g)n次元連結コンパクトスピンリーマン多様体とする。スカラー曲率S0とする。さらにある点においてS>0とする。このとき調和スピノルは存在しない。

ϕkerDとする。
||ϕ||2=(ϕ,ϕ)+(ϕ,ϕ)=0であるから、||ϕ||2は定数である。
上の証明から
MS(ϕ,ϕ)dv=MS||ϕ||2=0
であるが、ある点においてS>0なのでこれはあり得ない。

 このことからコンパクトスピンリーマン多様体で正曲率ならば0Spec(D)であることが分かりました。そこでλSpec(D)に対して、|λ|は正の定数で下から抑えられるのかが気になります。実際Ss0>0とすると、ϕEλに対して、
λ2||ϕ||2=(D2ϕ,ϕ)||ϕ||2+s04||ϕ||2s04||ϕ||2
となるので、
|λ|s04
となります。ただしこの評価はベストではありません。以下のように下限はnn1倍大きくなります。

Friedrichの不等式(1980)

(M,g)n次元連結コンパクトスピンリーマン多様体とする。スカラー曲率Ss0>0とする。このときλSpec(D)に対して、
|λ|nn1s04
となる。

||Xϕ||2=(Xϕ,Xϕ)=(ϕ,XXϕ)=||X||2||ϕ||2
に注意すると、
||Dϕ||2=||ieieiϕ||2i||eieiϕ||2=i||ei||2||eiϕ||2i||ei||2||ieiϕ||2=n||ϕ||2
であるから、
||ϕ||21n||Dϕ||2
である。よって
||Dϕ||2=(D2ϕ,ϕ)=||ϕ||2+S4||ϕ||21n||Dϕ||2+s04||ϕ||2
となるから
||Dϕ||2nn1s04||ϕ||2
である。さらにDϕ=λϕとすると、主張を得る。

Friedrichの不等式で等号が成り立つのは、Snの標準計量のときです。

投稿日:2023531
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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