ディリクレのL関数の自然数における値

三角関数の部分分数展開 より、
${\displaystyle \pi \cot \left(\pi z\right)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{|k|\le j}\frac{1}{z+k}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+k}+\frac{1}{z-k-1})}$
これを$n-1$階微分する。

$\begin{array}{rl}(\text{左}\text{辺})& =\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{N-1}\chi (k)(Nj+k{)}^{-n}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{N-1}[\chi (k)(Nj+k{)}^{-n}+\chi (N-k)(Nj+N-k{)}^{-n}]\\ & =\frac{1}{2}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{N-1}\chi (k)[(Nj+k{)}^{-n}+(-1{)}^n(Nj+N-k{)}^{-n}]\because n\mathsf{\text{と}}\chi \mathsf{\text{の偶奇性の一致。}}\\ & =\frac{N^{-n}}{2}\sum _{k=1}^{N-1}\chi (k)\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}[{(\frac{k}{N}+j)}^{-n}+{(\frac{k}{N}-j-1)}^{-n}]\\ & =(\text{右}\text{辺})\because \mathsf{\text{補題2}}\end{array}$