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WP-Bailey格子

Agarwal-Andrews-Bressoudによる Bailey格子は本質的に以下のように与えられるものだった.

Agarwal-Andrews-Bressoud(1987)

$(α_{n}, β_{n})$ を $a$ に関するBailey対とする. このとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := (1 - a) (\frac{α_{n}}{1 - a q^{2 n}} - \frac{a q^{2 n - 2} α_{n - 1}}{1 - a q^{2 n - 2}}) \\ β_{n}^{'} & := β_{n} \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ は $a / q$ 関するBailey対である. ただし, $α_{- 1} := 0$ とする.

今回は WP-Bailey対に対してその類似となる以下の定理を示す. これはWP-Bailey格子と呼ばれている.

Zhang(2016)

$(α_{n}, β_{n})$ を $(a, w)$ に関するWP-Bailey対とするとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := (1 - a) (\frac{q^{n} α_{n}}{1 - a q^{2 n}} - \frac{q^{n - 1} α_{n - 1}}{1 - a q^{2 n - 2}}) \\ β_{n}^{'} & := q^{n} β_{n} \end{aligned}$
とすると, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ は $(a / q, w)$ に関するWP-Bailey対である. ただし, $α_{- 1} := 0$ とする.

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} α_{k}^{'} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k - 1}} (\frac{q^{k}}{1 - a q^{2 k}} α_{k} - \frac{q^{k - 1}}{1 - a q^{2 k - 2}} α_{k - 1}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k - 1}} \frac{q^{k}}{1 - a q^{2 k}} α_{k} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k - 1}} \frac{q^{k - 1}}{1 - a q^{2 k - 2}} α_{k - 1} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k - 1}} \frac{q^{k}}{1 - a q^{2 k}} α_{k} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k - 1} (w; q)_{n + k + 1}}{(q; q)_{n - k - 1} (a q; q)_{n + k}} \frac{q^{k}}{1 - a q^{2 k}} α_{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w q / a; q)_{n - k - 1} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \frac{q^{k}}{1 - a q^{2 k}} α_{k} ((1 - \frac{w q^{n - k}}{a}) (1 - a q^{n + k}) - (1 - q^{n - k}) (1 - w q^{n + k})) \\ = q^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(w / a; q)_{n - k} (w; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} α_{k} \\ = q^{n} β_{n} \end{aligned}$
となるから定理が示される.