リー代数でのexpの関係式

$f(t)=\exp(t\alpha)\beta\exp(-t\alpha)$とすると,
$$f’(t)=\alpha f(t)-f(t)\alpha=\operatorname{ad}(\alpha)(f(t))$$
であることと, $f(0)=\beta$であることから従う.

$f(t)=\dfrac{d}{d\varepsilon}\vert_{\varepsilon=0}\exp(-t\alpha)\exp(t\alpha+\varepsilon \beta)$とすると,
\begin{align} f’(t)&=-\alpha f(t)+\exp(-t\alpha)\dfrac{d}{dt}\dfrac{d}{d\varepsilon}\vert_{\varepsilon=0}\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}(t\alpha+\varepsilon\beta)^n\\ &=-\alpha f(t)+\exp(-t\alpha)\dfrac{d}{dt}\dfrac{d}{d\varepsilon}\vert_{\varepsilon=0}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{t^{n-1}\varepsilon}{n!}(\beta\alpha^{n-1}+\cdots+\alpha^{n-1}\beta)\\ &=-\alpha f(t)+\exp(-t\alpha)\dfrac{d}{d\varepsilon}\vert_{\varepsilon=0}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(n-1)t^{n-1}\varepsilon}{tn!}(\beta\alpha^{n-1}+\cdots+\alpha^{n-1}\beta)\\ &=-\alpha f(t)+\exp(-t\alpha)\dfrac{d}{d\varepsilon}\vert_{\varepsilon=0}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n-1}{tn!}(t\alpha+\varepsilon\beta)^{n}\\ &=-\alpha f(t)+t^{-1}\exp(-t\alpha)\dfrac{d}{d\varepsilon}\vert_{\varepsilon=0}\big(\exp(t\alpha+\varepsilon\beta)\ (t\alpha+\varepsilon\beta)\big)-t^{-1}f(t)\\ &=-\alpha f(t)+f(t)\alpha+t^{-1}\beta-t^{-1}f(t)\\ \end{align}
となる. 従って$g(t)=tf(t)$とすると
$$g'=-\operatorname{ad}(\alpha)g+\beta$$
を得る. $g=\dfrac{1-\exp(-t\alpha)}{\operatorname{ad}(\alpha)}\beta$はこの微分方程式を満たす.
初期条件は$f(0)=\beta$, $g(0)=0$であり, 解の一意性からこの$g$が元の定義の$g$と一致することがわかり, $f$の等式も示される.