Terminating 10φ9変換公式から得られるq有限対称モーメントの表示

$w=a^2q/bcd, a^3q^{N+2}=bcdefg$とする. Baileyによるterminating${}_{10}\phi_9$の変換公式
\begin{align} &\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1}}{q}\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\Q{10}9{w,\sqrt w q,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{N+1}}{q} \end{align}
を以下のように変形する.
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1},q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f,g,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1};q)_N}q^N \end{align}
ここで, Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 より
\begin{align} &\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(wq,b,c,d;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,a/w;q)_N} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1},q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,e,f,g,q^{-N},a/w;q)_N}{(q,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1},wq;q)_N}q^N\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad-\frac{(aq,e,f,awq^{N+1}/ef,q^{-N},a/w;q)_N}{(q,aq/e,aq/f,efq^{-N}/w,aq^{N},wq;q)_N}q^N\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f,wq/g,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad-\frac{(aq,q^{1-N}/f,awq^{N+1}/ef,wq^{1-N}/a,e;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef,aq^{N};q)_N}\left(\frac{aq^N}{e}\right)^N\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(aq;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\left(\frac{(e,f,g;q)_n(aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(wq/e,wq/f,wq/g;q)_n}-\left(\frac{aq^N}{e}\right)^N\frac{(aq^N;q)_n(awq^{N+1}/ef,wq^{1-N}/a,e;q)_N}{(wq^{1-N}/a;q)_n(aq^N;q)_N}\right)\\ &=\frac{(aq,q^{1-N}/f;q)_N}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\left(\frac{(e,f,awq^{N+1}/ef;q)_n(aq/ef,wq/e,wq/f;q)_N}{(wq/e,wq/f,efq^{-N}/a;q)_n(q^{1-N}/f;q)_N}-\left(\frac{aq^N}{e}\right)^N\frac{(aq^N;q)_n(awq^{N+1}/ef,wq^{1-N}/a,e;q)_N}{(wq^{1-N}/a;q)_n(aq^N;q)_N}\right) \end{align}
ここで, $e\to aq^N$とすると, $g=wq/f$となり,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,f,g;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/f,aq/g,q;q)_n}\frac{(1-q^{-N})(1-aq^N)}{(1-q^{n-N})(1-aq^{n+N})}q^n\\ &=\frac{(aq,q^{1-N}/f,wq^{1-N}/a,wq/f;q)_N}{(q^{1-N};q)_{N-1}(aq/f,wq,wq^{1-N}/af;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}-\frac{wq^{1-N+k}/a}{1-wq^{1-N+k}/a}+\frac{wq^{k+1}/f}{1-wq^{k+1}/f}+\frac{fq^k}{1-fq^k}\right)+\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{q^{1-N+k}/f}{1-q^{1-N+k}/f}+\frac{wq^{1-N+k}/a}{1-wq^{1-N+k}/a}-\frac{wq^{k+1}/f}{1-wq^{k+1}/f}+\frac{1}{1-aq^{N+k}}\right)\right)\\ &=-\frac{(aq,f,a/w,wq/f;q)_N}{(q;q)_{N-1}(aq/f,wq,af/w;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}+\frac{wq^{1-N+k}/a}{1-wq^{1-N+k}/a}-\frac{fq^k}{1-fq^k}-\frac{wq^{k+1}/f}{1-wq^{k+1}/f}\right)\\ \end{align}
つまり,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,f,wq/f;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/f,af/w,q;q)_n}\frac{q^n}{(1-q^{n-N})(1-aq^{n+N})}\\ &=\frac{(aq,q^{1-N}/f,wq^{1-N}/a,wq/f;q)_N}{(q^{1-N};q)_{N-1}(aq/f,wq,wq^{1-N}/af;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\left(\sum_{k=0}^{n-1}\left(-\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}-\frac{wq^{1-N+k}/a}{1-wq^{1-N+k}/a}+\frac{wq^{k+1}/f}{1-wq^{k+1}/f}+\frac{fq^k}{1-fq^k}\right)+\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{q^{1-N+k}/f}{1-q^{1-N+k}/f}+\frac{wq^{1-N+k}/a}{1-wq^{1-N+k}/a}-\frac{wq^{k+1}/f}{1-wq^{k+1}/f}+\frac{1}{1-aq^{N+k}}\right)\right)\\ &=\frac{(a,f,a/w,wq/f;q)_N}{(q,aq/f,wq,af/w;q)_N}q^N\sum_{n=0}^N\frac{1-wq^{2n}}{1-w}\frac{(w,wb/a,wc/a,wd/a,aq^N,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,wq^{1-N}/a,wq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{1-aq^{N+k}}+\frac{1}{1-wq^{1-N+k}/a}-\frac{1}{1-fq^k}-\frac{1}{1-wq^{k+1}/f}\right) \end{align}
よって以下を得る.

$f\to\infty$とすると以下を得る.

この左辺は, 前の記事 の定理1の左辺と同じものになっている.

次は, Baileyのterminating ${}_{10}\phi_9$変換公式 の別の形である
\begin{align} &\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1}}{q}\\ &=\frac{(b,aq,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,vq,a^2q^2/bcdef;q)_N}\\ &\qquad\cdot\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-N}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde,vq/g,vq^{N+1}}{q},v=gq^{-N}/b, a^3q^{N+2}=bcdefg \end{align}
から始めたいと思う. まず, $t=a^2q^2/bcdef$として,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1};q)_n}q^n\\ &=\frac{(b,aq,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,vq,a^2q^2/bcdef;q)_N}\\ &\qquad\cdot\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-N}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde,vq/g,vq^{N+1}}{q}\\ &\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f,g,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1};q)_N}q^N\\ &=\frac{(b,aq,ct,dt,et,ft;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,atq/b,t;q)_N}\\ &\qquad\cdot\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,t,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-N}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,ct,dt,et,ft,vq/g,vq^{N+1}}{q}\\ &\qquad-\frac{1-aq^{2N}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f,atq^N,q^{-N};q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,q^{1-N}/t,aq^{N+1};q)_N}q^N\\ &=\frac{(b,aq,ct,dt,et,ft;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,atq/b,t;q)_N}\sum_{n=1}^N\frac{1-vq^{2n}}{1-v}\frac{(v,t,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-N};q)_n}{(aq/b,ct,dt,et,ft,vq/g,vq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad+\frac{(b,aq,ct,dt,et,ft;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,atq/b,t;q)_N}-\frac{(aq,b,c,d,e,f,atq^N;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,t,aq^{N};q)_N}t^N\\ &=\frac{(b,aq,ct,dt,et,ft;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,atq/b,t;q)_N}\sum_{n=1}^N\frac{1-vq^{2n}}{1-v}\frac{(v,t,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-N};q)_n}{(aq/b,ct,dt,et,ft,vq/g,vq^{N+1};q)_n}q^n\\ &\qquad+\frac{(aq,b;q)_N}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,t;q)_N}\left(\frac{(ct,dt,et,ft;q)_N}{(atq/b;q)_N}-\frac{(c,d,e,f,atq^N;q)_N}{(aq/b,aq^{N};q)_N}t^N\right) \end{align}
である. ここで, $t\to 1$とすると, $g\to aq^N, v\mapsto a/b$であり,

\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}q^n\frac{(1-aq^N)(1-q^{-N})}{(1-aq^{n+N})(1-q^{n-N})}\\ &=\frac{(aq,b,c,d,e,f;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_N(q;q)_{N-1}}\sum_{n=1}^N\frac{1-aq^{2n}/b}{(1-aq^n/b)(1-q^n)}\frac{(aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,aq^N,q^{-N};q)_n}{(c,d,e,f,q^{1-N}/b,aq^{N+1}/b;q)_n}q^n\\ &\qquad+\frac{(aq,b,c,d,e,f;q)_N}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_N(q;q)_{N-1}}\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac{cq^k}{1-cq^k}+\frac{dq^k}{1-dq^k}+\frac{eq^k}{1-eq^k}+\frac{fq^k}{1-fq^k}-\frac{aq^{k+1}/b}{1-aq^{k+1}/b}-\frac{aq^{N+k}}{1-aq^{N+k}}+1\right) \end{align}
つまり, 以下を得る.

古典極限

定理1, 系1において$q\to 1$とすると以下を得る.

前の記事 で示した式
\begin{align} &\frac{N!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_N}{(a,b,c,d)_N}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{2n+a}{(n-N)(n+N+a)}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+N+a}-\frac 1{n+b}-\frac 1{n+c}-\frac 1{n+d}\right)\\ &\qquad-(1+a-b-c-d)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\frac{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,a-w)_N}{(b,c,d,1+w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{2n+w}{w}\frac{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a,a+N,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1-N+w-a,1+w+N)_n}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{a+N+k}+\frac{1}{1-N+w-a+k}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac 1{n+N+a}-\frac 1{n+b}-\frac 1{n+c}-\frac 1{n+d}\right)\\ &\qquad-(1+a-b-c-d)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2n+a+1)n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}{(a,b,c,d)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k} \end{align}
を得る.

定理2において$q\to 1$とすると以下を得る.