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高校数学の極限の定義は不足しているのか?

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

まず, 高校数学の極限の定義はあやふやであり, 以降の議論が解釈に依存することを先に主張しておく.

数列の「向き」を考える

非空有向前順序集合

空でない集合$I$上に二項関係$\leq$が定義されており, 以下の性質(i)~(iii)を満たしている.
(i) $\,\,\forall x \in I ,\,\, x\leq x$ (反射律)
(ii) $\,\forall x,y,z \in I ,\,\, x\leq y \, \land \, y\leq z \, \Rightarrow \, x\leq z$ (推移律)
(iii) $\forall x,y \in I, \exists z\in I , s.t. x,y \leq z$ (上に有向)
このとき, $(I,\leq)$を非空有向前順序集合, または単に有向集合という.

ここでいう上とは, 我々が普段用いる直感的な上下左右のことではなく, 前順序関係$\leq$の左から右に向かう向きを指すことに注意する. (iii)により, $I$全体に, 四方八方に散らばりきらないまとまった一つの方向として, 前順序関係$\leq$の左から右に向かう向きを与えているのである. （参考文献[1]に, より詳細に書かれています.）

自然数$\mathbb{N}$は, 通常の大小関係として全順序$\leq$を考えると, $(\mathbb{N},\leq)$は有向集合である.

一般に, 全順序集合は明らかに有向集合である. 左から右へ一列に並べることを考えると, 全体としての向きが綺麗な一直線として感じることが出来るだろう. 実数直線もその一例である.

(無限)実数列

自然数$\mathbb{N}$から実数$\mathbb{R}$への関数
$a_{-}:\mathbb{N}\ni n \mapsto a_n \in \mathbb{R}$
を（無限）実数列といい, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$と書く.　
各自然数$n\in\mathbb{N}$に対し, $a_n$を第$n$項という.

数列における向きは, $(\mathbb{N},\leq)$のもつ有向性
$1\leq 2 \leq 3 \leq \cdots \leq n \leq n+1 \leq \cdots$
による向きを, 各項の値の推移に反映させることで得られる. 具体的には, 値の変化の推移
$a_1 \to a_2 \to a_3 \to \cdots \to a_n \to a_{n+1}\to \cdots$
として, 数列に「向き」を与えることが出来るのである. この矢印の構造は, $(\mathbb{N},\leq)$のもつ有向性によって初めて正しく解釈されるのである.

集合論的には, 実数列のグラフ$\textrm{Graph}((a_n)_{n\in\mathbb{N}}):= \{(n,a_n)\mid n\in\mathbb{N}\}$に$(\mathbb{N}, \leq )$から誘導される向きを
$(n,a_n) \leq (m,a_m) : \Leftrightarrow n\leq m$
で導入する行為に値する.

「限りなく近づく」を解釈する

「近い」とは何か

任意の実数$a,x,y\in\mathbb{R}$に対し, $x$が$y$より$a$に近いとは,
$\abs{x-a}\leq \abs{y-a}$
が成立していることを言う.

「限りなく大きくする」とは何か

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$の第$n$項$a_n$に対し, $m>n$なる自然数を取り, 値の推移
$a_n\to a_{n+1} \to \cdots \to a_m$
を考えることを, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$の添え字$n$を($m$まで)大きくする という.
同様にして, 際限のない値の推移
$a_n\to a_{n+1} \to \cdots $
を考えることができる. この際限のない値の推移を考えることを, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$の添え字$n$を限りなく大きくする という.

この添え字を大きくする操作は, 集合としては, 向きを誘導した$\textrm{Graph}((a_n)_{n\in\mathbb{N}})$ の部分有向集合として, $\{(k,a_k)\mid | n\leq k ( \leq m)\}$ を考える行為に対応する.

「限りなく大きくすると, 限りなく近づく」を解釈する

$\alpha$を実数とする. 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$が, $n$を限りなく大きくすると, $a_n$が限りなく$\alpha$に近づくとは, ある自然数$n\in\mathbb{N}$が存在して, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$の添え字$n$を限りなく大きくするとき, すなわち値の推移
$a_n\to a_{n+1} \to \cdots $
を考えたときに, 以下の2つの条件を満たすことをいう.

値の推移$a_n\to a_{n+1} \to \cdots $に対応して, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$が順々に$\alpha$に近づく. すなわち,
$\abs{a_n-\alpha}\geq \abs{a_{n+1}-\alpha}\geq \cdots $
が成立する.
任意の$x\in \mathbb{R}$, $x\neq \alpha$に対し, ある自然数$m>n$が存在して, 添え字$n$を$m$まで大きくすると, $a_m$は$x$より近くなる. すなわち, $\abs{a_m-\alpha}\leq \abs{x-\alpha}$が成立する.

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$が, $n$を限りなく大きくすると, $a_n$が限りなく$\alpha$に近づくとき, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$に強漸近するという.

高校数学では, はさみうちの原理を定理ではなく極限が満たすべき性質として与えられていたことを思い出そう. そこで, 高校数学における極限の定義の解釈として, 次のように考える.

高校数学的な極限の定義

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$に対し, ある自然数$n\in\mathbb{N}$および$\alpha\in\mathbb{R}$ に強漸近する実数列$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$,$(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$が存在して,
$b_m \leq a_m \leq c_m$ $(m\geq n $, $m\in\mathbb{N})$
を満たすとき, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$にh-収束するといい,
$a_n \stackrel{\mathrm{h}}{\to}\alpha$ $(n\to \infty)$ または, $\mathrm{h}$-$ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$
と書く.

明らかに, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}が\alpha$に強漸近するとき, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$にh-収束する.

気になっている人もいると思われるが, 添え字$n$を大きくする方法は一個ずつ推移をさせるほかに, 飛び飛びで推移させる(部分列を考える行為に値する)ことを考えると, 無数に存在することがわかる. しかし, このあらゆるパターンは, 一個ずつ推移をさせるパターンに内包されるので, 極限の定義自体はこの1パターンのみを考えても差し支えないことは簡単な確認でわかる. したがって, 解釈を上のパターン1つだけを考えて進めても問題ないのである.

通常の数列の極限について考える

数列におけるtail

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$の第$n$項$a_n$に対し,　
$a_n$-$\mathrm{tail} := \{a_m \mid m\geq n\}$
を定義する.

$\mathrm{tail}$の中身は値の集まりであることに注意しよう. 明らかに
$m>n \Rightarrow a_m$-$\mathrm{tail}\subset a_n$-$\mathrm{tail}$
であり, $(\mathbb{N},\leq)$のもつ有向性
$1\leq 2\leq \cdots \leq n\leq n+1 \leq \cdots$
に対応して,領域の縮小列
$a_1$-$\mathrm{tail}\supset a_2$-$\mathrm{tail}\supset \cdots \supset a_n$-$\mathrm{tail}\supset a_{n+1}$-$\mathrm{tail}\supset \cdots $
が得られる. 通常の数列の極限は, 数列そのものではなく, この縮小する$\mathrm{tail}$の十分先の挙動として定義される.

数列のEventually性

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$および実数$\mathbb{R}$の部分集合$A$に対して, ある自然数$n\in\mathbb{N}$が存在して
$a_n$-$\mathrm{tail}\subset A$
が成立するとき, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ is eventually in A といい, $A \triangleright(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$と書く.

eventuallyは日本語で「最終的に」という意味をもち, 実数列の十分先がすっぽり$A$に入る挙動を記述する.

通常の数列の極限の定義

$\alpha$を実数とする. 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$が, 任意の$\varepsilon>0$に対し
$(\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)\triangleright(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$
が成立するとき, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$に収束するといい,
$a_n\to\alpha$ $(n\to \infty)$ または, $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$
と書く.

$\mathbb{R}_{>0}$上の全順序$\leq^{\textrm{op}}$を, $x\leq^{\textrm{op}}y : \Leftrightarrow y\leq x$で定義すると, $(\mathbb{R}_{>0},\leq^{\textrm{op}})$は全順序集合となる. 全順序集合が有向集合になることを思い出そう. この観点で,$(\mathbb{R}_{>0},\leq^{\textrm{op}})$は正の数$\varepsilon$が$0$に向かうという有向性を持つ. この有向性を$\varepsilon \to +0$で表現する. $n\to\infty$も, $(\mathbb{N}, \leq)$の自然数$n$が限りなく大きくなるという有向性を表している.

任意の$\varepsilon_1>\varepsilon_2>0$に対し, $(\alpha-\varepsilon_1 , \alpha + \varepsilon_1)\supset (\alpha-\varepsilon_2 , \alpha + \varepsilon_2)$が成立することに注意しよう. $B(\alpha):=\{(\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)\mid \varepsilon >0\}$上に順序関係$\leq_{\alpha}$を,
$(\alpha-\varepsilon_1 , \alpha + \varepsilon_1)\leq_{\alpha} (\alpha-\varepsilon_2 , \alpha + \varepsilon_2):\Leftrightarrow(\alpha-\varepsilon_1 , \alpha + \varepsilon_1)\supset (\alpha-\varepsilon_2 , \alpha + \varepsilon_2)$
で定義すると, これは全順序集合になり, $(B(\alpha),\leq_{\alpha})$は$(\mathbb{R}_{>0},\leq^{\textrm{op}})$と順序同型となる. この順序同型により, $\varepsilon \to +0$に対応して開区間の縮小$(\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon) \to \{\alpha\}$が起こるのがわかる.

以上を踏まえた上で, 極限の定義を見てみよう. 一点に向かって縮んでいく$(\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)\to \{\alpha\}$に対し, 道中のどこを切り取っても, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ の十分先が含まれていることがわかる. この絞り込みによって, $a_n\to\alpha$ $(n\to \infty)$ を定義づけしているのである.

はさみうちの原理

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$に対し, ある自然数$n\in\mathbb{N}$および、実数$\alpha\in\mathbb{R}$ に収束する実数列$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$,$(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$が存在して
$b_m \leq a_m \leq c_m$ $(m\geq n $, $m\in\mathbb{N})$
を満たすとき, $(a_n)_{n\in\mathbb{R}}$は$\alpha$に収束する.

任意に$\varepsilon>0$を取る. このとき, $(\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)\triangleright(b_n)_{n\in\mathbb{N}}, (c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ より, ある自然数$n_b,$ $n_c$が存在して,
$b_{n_b}$-$\mathrm{tail},$ $c_{n_c}$-$\mathrm{tail} \subset (\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)$
$\mathrm{tail}$の縮小性より, $N:=\max\{n_b, n_c, n\}$を取ると, $b_{N}$-$\mathrm{tail},$ $c_{N}$-$\mathrm{tail} \subset (\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)$ であり, $b_m \leq a_m \leq c_m$ $(m\geq N $, $m\in\mathbb{N})$ より$a_n$-$\mathrm{tail}\subset (\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)$ であるから, $(\alpha-\varepsilon , \alpha + \varepsilon)\triangleright (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が成立する. $\varepsilon>0$は任意であったから, $(a_n)_{n\in\mathbb{R}}$は$\alpha$に収束する.

本題

高校数学の極限の定義は不足しているのか?　という問に対し, 以下の意味でNoと回答する.

実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$および実数$\alpha\in\mathbb{R}$に対し, 以下は同値.

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$にh-収束する.
$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$に収束する.

証明で使う以下の実数の公理を確認しておく.

実数の連続性

$A$を$\mathbb{R}$の非空な部分集合とする.

$A$が上に有界ならば, $\sup{A}$が存在する.
$A$が下に有界ならば, $\inf{A}$が存在する.

上で定まる$\sup{A}$, $\inf{A}$は存在すれば一意であるため, そのまま実数として扱う.

証明に使う簡単な補題も証明しておく.

$\alpha\in\mathbb{R}$に強漸近する実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は, $\alpha$に収束する.

仮定より, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$はある自然数$n$が存在して強漸近の仮定1.2.を満たす.
任意に$\varepsilon>0$を取る. このとき, $\alpha+\frac{\varepsilon}{2} \neq \alpha$であるから, 強漸近の性質2.より, ある自然数$m>n$が存在して$\abs{a_m-\alpha}\leq \frac{\varepsilon}{2}$が成立する. 強漸近の性質1.より, $\abs{a_n-\alpha}\geq \abs{a_{n+1}-\alpha}\geq \cdots $
であるから, 特に$\frac{\varepsilon}{2}\geq\abs{a_m-\alpha}\geq \abs{a_{m+1}-\alpha}\geq \cdots $である. したがって,
$a_m$-$\mathrm{tail}\subset [\alpha-\frac{\varepsilon}{2},\alpha+\frac{\varepsilon}{2}]\subset (\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)$ となり, $ (\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon) \triangleright (a_n)_{n\in\mathbb{R}}$が成立する. $\varepsilon>0$は任意であったから, 実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は, $\alpha$に収束する.

命題3の証明に入る.

命題3

$\Rightarrow$ (2)
仮定より, ある自然数$n\in\mathbb{N}$および実数$\alpha\in\mathbb{R}$ に強漸近する実数列$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$,$(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$が存在して,
$b_m \leq a_m \leq c_m$ $(m\geq n $, $m\in\mathbb{N})$
を満たす. 補題4より$\lim_{n\to \infty} b_n =\lim_{n\to \infty} c_n = \alpha$であるから, はさみうちの原理より, $\lim_{n\to \infty} a_n =\alpha$が成立する.
$\Rightarrow$ (1)
実数列$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$が上下に有界であることを示す. 仮定より, $\varepsilon＝1$に対し, $(\alpha-1,\alpha+1)\triangleright (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$であるから, ある自然数$N$が存在して$a_N$-$\mathrm{tail}\subset (\alpha-1,\alpha+1)$が成立する. したがって,
$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset \{a_1, \cdots, a_{N-1}\}\cup (\alpha-1,\alpha+1)$ であるから, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は上下に有界である. このとき, $a_1$-$\mathrm{tail}\supset a_2$-$\mathrm{tail}\supset \cdots \supset a_n$-$\mathrm{tail}\supset a_{n+1}$-$\mathrm{tail}\supset \cdots $ より, 任意の自然数$n\in\mathbb{N}$に対し, $a_n$-$\mathrm{tail}$は上下に有界である. したがって, 新しく2つの実数列$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(c_n)_{\in\mathbb{N}}$を
- $b_n:=\inf\{a_n$-$\mathrm{tail}\}$
- $c_n:=\sup\{a_n$-$\mathrm{tail}\}$
  で定義できる. 明らかに, 任意の自然数$n$に対し$b_n\leq a_n\leq c_n$が成立しているので, $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(c_n)_{\in\mathbb{N}}$がともに$\alpha$に強漸近していることを示せば証明は終了する.
  $(c_n)_{\in\mathbb{N}}$について示す. $a_1$-$\mathrm{tail}\supset a_2$-$\mathrm{tail}\supset \cdots \supset a_n$-$\mathrm{tail}\supset a_{n+1}$-$\mathrm{tail}\supset \cdots $ より, $c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_n \geq c_{n+1}\geq \cdots$であり, $(c_n)_{\in\mathbb{N}}$は単調減少である. 次に, 任意の自然数$n\in\mathbb{N}$に対し, 任意に$\varepsilon>0$を取ると, $(\alpha-\varepsilon, \alpha+ \varepsilon) \triangleright (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ より, ある自然数$ m\geq n$が存在して, $c_n \geq c_m = \sup\{a_m$-$\mathrm{tail}\}\geq \alpha - \varepsilon$が成立する. $\varepsilon>0$は任意であったから, $c_n\geq \alpha$が成立する. したがって, 減小列$c_1 -\alpha\geq c_2 -\alpha\geq \cdots \geq c_n -\alpha\geq c_{n+1} -\alpha \geq \cdots$は常に非負である. 以上を踏まえ, $1\in\mathbb{N}$に対し, $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$の添え字1を限りなく大きくするとき,
  値の推移$c_1\to c_{2} \to \cdots $に対応して, $(c_1)_{n\in\mathbb{N}}$が順々に$\alpha$に近づく. すなわち, $\abs{c_1-\alpha}\geq \abs{c_{2}-\alpha}\geq \cdots $が成立することが示される. また, 任意の$x\in\mathbb{R}$, $x\neq \alpha$に対し, $\abs{x-\alpha}>0$より, $(\alpha-\abs{x-\alpha}, \alpha+\abs{x-\alpha})\triangleright (a_n)_{n\in\mathbb{N}}$が成立するから, ある自然数$m\in\mathbb{N}$が存在して, $c_{m+1} \leq c_{m} = \sup\{a_m$-$\mathrm{tail} \} \leq \alpha + \abs{x-\alpha}$. したがって, $\abs{c_{m+1}-\alpha}\leq \abs{x-\alpha}$が成立する. よって, $(c_n)_{n\in\mathbb{R}}$は, $n$を限りなく大きくすると, $c_n$が限りなく$\alpha$に近づくので, $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$に強漸近する. 全く同様にして$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}が\alpha$に強漸近することも示されるので, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$は$\alpha$にh-収束する.