多重ゼータ値の双対性2
0.目次
1.はじめに
2.定義
3.準備
4.本題
5.終わりに
1.はじめに
多重ゼータ値の双対性1 の続きです。今回は分母に二項係数やポッホハマー記号がついた多重ゼータ値の双対性について、僕が考えたことを書きます。
2.定義
今回使うものの定義を並べておきます。
$(0\lt x, y)$
\begin{align}
B(x,y)&:=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\\
&=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\end{align}
インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$と$z\in \mathbb{C}$$(\left| z \right|\leq 1)$$((k_r,z)≠(1,1))$に対して、多重ポリログを次のように定める。
$$\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(z):=\sum_{0\lt n_1\lt\cdots\lt n_r}\frac{z^{n_r}}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}}\\$$
許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$と$\boldsymbol{\beta}=(\beta_1,\beta_2,\cdots \beta_r)$に対して
$$\zeta(\boldsymbol{k};\boldsymbol{\beta}):=\sum_{0\leq n_1\lt\cdots\lt n_r}\frac{1}{(n_1+\beta_1)^{k_1}(n_2+\beta_2)^{k_2}\cdots (n_r+\beta_r)^{k_r}}$$
(ただし$\beta_1,\beta_2,\cdots \beta_r$は実数で$0,-1,-2,\cdots$は除く。)
3.準備
$$\omega_0(t)=\frac{dt}{t},\omega_1(t)=\frac{dt}{1-t}$$
$ \epsilon_i\in\lbrace 0,1 \rbrace, \quad i,k\in \mathbb{Z}_{\gt0}$に対して、次のような積分を定める。
$$I_z(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt z}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)$$
このとき、次の等式が成立する。
$$\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k}}(z)=I_z(1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-1},1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-1},\cdots,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-1})$$
※ 前回の記事 の定理1とまったく同様にして成り立つことが確認できる。
$n$は正の整数、$0 \lt \alpha $
$$\int_{0}^{1}t^{n-1}(1-t)^{\alpha-1}dt=\frac{n!}{n(\alpha)_n}$$
$(a)_n$はポッホハマー記号で$(a)_n=\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(a)}=a(a+1)\cdots(a+n-1)$
\begin{align} \int_{0}^{1}t^{n-1}(1-t)^{\alpha-1}dt&=B(n,\alpha)\\ &=\frac{\Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(n+\alpha)}\\ &=\frac{n!}{n(\alpha)_n}\quad\blacksquare \end{align}
4.本題
$0\lt \alpha$に対して、次のような級数を定義します。
$$ \xi_{\alpha}(\boldsymbol{k}):=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{n_r!}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}(\alpha)_{n_r}}$$
許容インデックス$\boldsymbol{k}$と$\boldsymbol{\alpha}=(\lbrace \alpha\rbrace^{dep(\boldsymbol{k})})$ に対し、次が成立する。$$\zeta(\boldsymbol{k};\boldsymbol{\alpha})=\xi_{\alpha}(\boldsymbol{k^{\dagger})}$$
多重ゼータ値の反復積分
$$\zeta(\boldsymbol{k})=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)$$
において、$\omega_{\epsilon_1}(t_1)$を$\frac{{t_1}^{\alpha-1}}{1-t_1}dt_1$と改めた積分を考える。
\begin{align}
&\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\frac{{t_1 }^{\alpha-1}}{1-t_1}dt_1\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)\\
&=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\sum_{n=0}^{\infty}{t_1}^{n+\alpha-1}dt_1\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)\\
\end{align}
なので、無限等比級数の和の公式を用いながら順に積分を実行していくことにより次が分かる。
$$\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\frac{{t_1 }^{\alpha-1}}{1-t_1}dt_1\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)=\zeta(\boldsymbol{k;\alpha})\cdots(☆)$$
一方で、$t_i=1-x_1\quad(i=1,2,\cdots,k)$と変数変換を行う。また$\epsilon'$を次のように定める。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \epsilon_i=0\Longrightarrow \epsilon'_i=1\\ \epsilon_i=1\Longrightarrow \epsilon'_i=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{align}
&\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\frac{{t_1 }^{\alpha-1}}{1-t_1}dt_1\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)\\
&=\int_{0\lt x_k \lt x_{k-1} \lt \cdots \lt x_1 \lt 1}\omega_{\epsilon'_k}(x_k)\cdots\omega_{\epsilon'_2}(x_2)\frac{(1-x_1)^{\alpha-1}}{x_1}dx_1\\
&=\int_{0}^{1}\mathrm{Li}_{\boldsymbol{k^{\dagger}}_{ \downarrow}}(x_1)\frac{(1-x_1)^{\alpha-1}}{x_1}dx_1 \quad (\because補題1)\\
&=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_{r'}}\frac{1}{n_1^{k'_1}n_2^{k'_2}\cdots n_s^{k'_{s}-1}}\int_{0}^{1}{x_1}^{n_s-1}(1-x_1)^{\alpha-1}dx_1 \quad(ただし\boldsymbol{k^{\dagger}}=(k'_1,k'_2,\cdots,k'_s)とおいた)\\
&=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_{r'}}\frac{n_s!}{n_1^{k'_1}n_2^{k'_2}\cdots n_s^{k'_{s}}(\alpha)_{n_s}}\quad (\because補題2)
\end{align}
したがって、
$$\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\frac{{t_1 }^{\alpha-1}}{1-t_1}dt_1\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)=\xi_{\alpha}(\boldsymbol{k^{\dagger})}\cdots(★) $$
(☆)(★)より、
$$\zeta(\boldsymbol{k};\boldsymbol{\alpha})=\xi_{\alpha}(\boldsymbol{k^{\dagger})}\blacksquare$$
\begin{align} \\ \\ \\ \end{align}
許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots k_r)$に対して、多重t値を次のように定める。
$$t(\boldsymbol{k}):=\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{1}{(2n_1-1)^{k_1}(2n_2-1)^{k_2}\cdots (2n_r-1)^{k_r}}$$
$$\sum_{0\lt n_1 \lt n_2 \lt \cdots \lt n_r}\frac{2^{2n_r}}{n_1^{k_1}n_2^{k_2}\cdots n_r^{k_r}\binom{2n}{n}}=2^{wt(\boldsymbol{k})}t(\boldsymbol{k^{\dagger}})$$
定理3で$\alpha=\frac{1}{2}$とすれば良い。
5.終わりに
今回書いた内容は自分が結構気に入っているものなので、記事にできて嬉しいです(><)。
ここまで読んでいただきありがとうございました(><)ぷえ～