大学数学基礎解説

多重ゼータ値の双対性2

多重ゼータ値,双対性

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0.目次

1.はじめに
2.定義
3.準備
4.本題
5.終わりに

1.はじめに

多重ゼータ値の双対性1 の続きです。今回は分母に二項係数やポッホハマー記号がついた多重ゼータ値の双対性について、僕が考えたことを書きます。

2.定義

今回使うものの定義を並べておきます。

ベータ関数

$(0 < x, y)$
$\begin{aligned} B (x, y) & := \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t \\ = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)} \end{aligned}$

多重ポリログ

インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r})$ と $z \in C$ $(| z | \leq 1)$ $((k_{r}, z) \neq (1, 1))$ に対して、多重ポリログを次のように定める。
${Li}_{k} (z) := \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{z^{n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$

多重フルヴィッツのゼータ値

許容インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r})$ と $β = (β_{1}, β_{2}, \dots β_{r})$ に対して
$ζ (k; β) := \sum_{0 \leq n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(n_{1} + β_{1})^{k_{1}} (n_{2} + β_{2})^{k_{2}} \dots (n_{r} + β_{r})^{k_{r}}}$
(ただし $β_{1}, β_{2}, \dots β_{r}$ は実数で $0, - 1, - 2, \dots$ は除く。)

3.準備

多重ポリログの反復積分表示

$ω_{0} (t) = \frac{d t}{t}, ω_{1} (t) = \frac{d t}{1 - t}$
$ϵ_{i} \in {0, 1}, i, k \in Z_{> 0}$ に対して、次のような積分を定める。
$I_{z} (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{k}) = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < z} ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k})$
このとき、次の等式が成立する。
${Li}_{k} (z) = I_{z} (1, {0}^{k_{1} - 1}, 1, {0}^{k_{2} - 1}, \dots, 1, {0}^{k_{r} - 1})$

※ 前回の記事の定理1とまったく同様にして成り立つことが確認できる。

$n$ は正の整数、 $0 < α$
$\int_{0}^{1} t^{n - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = \frac{n!}{n (α)_{n}}$

$(a)_{n}$ はポッホハマー記号で $(a)_{n} = \frac{Γ (n + a)}{Γ (a)} = a (a + 1) \dots (a + n - 1)$

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} t^{n - 1} (1 - t)^{α - 1} d t & = B (n, α) \\ = \frac{Γ (n) Γ (α)}{Γ (n + α)} \\ = \frac{n!}{n (α)_{n}} ◼ \end{aligned}$

4.本題

$0 < α$ に対して、次のような級数を定義します。
$ξ_{α} (k) := \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{n_{r}!}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}} (α)_{n_{r}}}$

双対関係式

許容インデックス $k$ と $α = ({α}^{d e p (k)})$ に対し、次が成立する。 $ζ (k; α) = ξ_{α} (k^{†})$

多重ゼータ値の反復積分
$ζ (k) = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k})$
において、 $ω_{ϵ_{1}} (t_{1})$ を $\frac{{t_{1}}^{α - 1}}{1 - t_{1}} d t_{1}$ と改めた積分を考える。
$\begin{aligned} \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} \frac{{t_{1}}^{α - 1}}{1 - t_{1}} d t_{1} ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) \\ = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} \sum_{n = 0}^{\infty} {t_{1}}^{n + α - 1} d t_{1} ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) \end{aligned}$
なので、無限等比級数の和の公式を用いながら順に積分を実行していくことにより次が分かる。
$\int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} \frac{{t_{1}}^{α - 1}}{1 - t_{1}} d t_{1} ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) = ζ (k; α) \dots (☆)$

一方で、 $t_{i} = 1 - x_{1} (i = 1, 2, \dots, k)$ と変数変換を行う。また $ϵ^{'}$ を次のように定める。

$\begin{array}{r} {\begin{cases} ϵ_{i} = 0 ⟹ ϵ_{i}^{'} = 1 \\ ϵ_{i} = 1 ⟹ ϵ_{i}^{'} = 0 \end{cases} \end{array}$

$\begin{aligned} \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} \frac{{t_{1}}^{α - 1}}{1 - t_{1}} d t_{1} ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) \\ = \int_{0 < x_{k} < x_{k - 1} < \dots < x_{1} < 1} ω_{ϵ_{k}^{'}} (x_{k}) \dots ω_{ϵ_{2}^{'}} (x_{2}) \frac{(1 - x_{1})^{α - 1}}{x_{1}} d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} {Li}_{k_{↓}^{†}} (x_{1}) \frac{(1 - x_{1})^{α - 1}}{x_{1}} d x_{1} (∵ 補題 1) \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r^{'}}} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}^{'}} n_{2}^{k_{2}^{'}} \dots n_{s}^{k_{s}^{'} - 1}} \int_{0}^{1} {x_{1}}^{n_{s} - 1} (1 - x_{1})^{α - 1} d x_{1} (ただし k^{†} = (k_{1}^{'}, k_{2}^{'}, \dots, k_{s}^{'}) とおいた) \\ = \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r^{'}}} \frac{n_{s}!}{n_{1}^{k_{1}^{'}} n_{2}^{k_{2}^{'}} \dots n_{s}^{k_{s}^{'}} (α)_{n_{s}}} (∵ 補題 2) \end{aligned}$
したがって、
$\int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} \frac{{t_{1}}^{α - 1}}{1 - t_{1}} d t_{1} ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k}) = ξ_{α} (k^{†}) \dots (★)$
(☆)(★)より、
$ζ (k; α) = ξ_{α} (k^{†}) ◼$

$\begin{array}{r} \end{array}$

多重t値

許容インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots k_{r})$ に対して、多重t値を次のように定める。
$t (k) := \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(2 n_{1} - 1)^{k_{1}} (2 n_{2} - 1)^{k_{2}} \dots (2 n_{r} - 1)^{k_{r}}}$

$\sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}} (\binom{2 n}{n})} = 2^{w t (k)} t (k^{†})$