Please read the article!-簡単な事の中にこそ大切な事が詰まっている！

あいさつ

んちゃ！
今回は一つの事に集中する事の大切さを伝えるために、ベータ関数で再度遊びます。
僕みたいに専門的教育を受けていない人でも、簡単な事実を積み重ねる事で面白い事実を見つけることが出来る。
僕はこの記事を見てくれる人にそれを伝えたい。
そんな思いで書きました。
よろしくお願いいたします。

$B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t (0 < x, y)$

$B (x, y) = \frac{(B - A) A^{x} (B - 1)^{y - 1}}{B^{x + y}} \int_{0}^{1} \frac{(t - 1)^{x - 1}}{(t - \frac{A}{B})^{x + y}} t^{y - 1} d t (A \neq B)$

[1] $t = \frac{a s + b}{c s + d}, d t = - \frac{a d - b c}{(c s + d)^{2}} d s$ とすると
$\begin{array}{rcl} B (x, y) & = & - (a d - b c) \int_{\frac{b}{d}}^{\frac{a + b}{c + d}} \frac{(a s + b)^{x - 1}}{(c s + d)^{x + y}} {(c - a) s + (d - b)}^{y - 1} d s \\ = & - \frac{(a d - b c) a^{x - 1} (c - 1)^{y - 1}}{c^{x + y}} \int_{\frac{b}{d}}^{\frac{a + b}{c + d}} \frac{(s + \frac{b}{a})^{x - 1}}{(s + \frac{d}{c})^{x + y}} (s + \frac{d - b}{c - a})^{y - 1} d s (a = - b) \\ = & \frac{(c + d) a^{x} (c - 1)^{y - 1}}{c^{x + y}} \int_{0}^{- \frac{a}{d}} \frac{(s - 1)^{x - 1}}{(s + \frac{d}{c})^{x + y}} (s + \frac{d + a}{c - a})^{y - 1} d s (a = - d) \\ = & \frac{(c - a) a^{x} (c - 1)^{y - 1}}{c^{x + y}} \int_{0}^{1} \frac{(s - 1)^{x - 1}}{(s - \frac{a}{c})^{x + y}} s^{y - 1} d s \end{array}$
[2]以上より、 $a = A, c = B$ と置くことで
$B (x, y) = \frac{(B - A) A^{x} (B - 1)^{y - 1}}{B^{x + y}} \int_{0}^{1} \frac{(t - 1)^{x - 1}}{(t - \frac{A}{B})^{x + y}} t^{y - 1} d t (A \neq B)$

$B (x, y) = (- 1)^{y - 1} \frac{(B - A) A^{2 x + y} (B - 1)^{y - 1}}{B^{2 (x + y)}} \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N + y} \sum_{m = 0}^{N} (- 1)^{m} \frac{Γ (x) (x + y)_{n}}{m! (N - m)! Γ (x - m)} (\frac{A}{B})^{N - m}$

$\begin{array}{rcl} B (x, y) & = & (- 1)^{y - 1} \frac{(B - A) A^{x} (B - 1)^{y - 1}}{B^{x + y}} \int_{0}^{1} \frac{(1 - t)^{x - 1}}{(\frac{A}{B} - t)^{x + y}} t^{y - 1} d t \\ = & (- 1)^{y - 1} \frac{(B - A) A^{x} (B - 1)^{y - 1}}{B^{x + y}} \int_{0}^{1} \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{m} \frac{Γ (x) (x + y)_{n}}{m! n! Γ (x - m)} (\frac{A}{B})^{x + y + n} t^{m + n + y - 1} d t \\ = & (- 1)^{y - 1} \frac{(B - A) A^{2 x + y} (B - 1)^{y - 1}}{B^{2 (x + y)}} \sum_{N = 0}^{\infty} \sum_{m = 0}^{N} (- 1)^{m} \frac{Γ (x) (x + y)_{n}}{m! (N - m)! Γ (x - m)} (\frac{A}{B})^{N - m} \int_{0}^{1} t^{N + y - 1} d t \\ = & (- 1)^{y - 1} \frac{(B - A) A^{2 x + y} (B - 1)^{y - 1}}{B^{2 (x + y)}} \sum_{N = 0}^{\infty} \frac{1}{N + y} \sum_{m = 0}^{N} (- 1)^{m} \frac{Γ (x) (x + y)_{N - m}}{m! (N - m)! Γ (x - m)} (\frac{A}{B})^{N - m} \end{array}$

$y = 1$ とすると
$\frac{1}{x} = \frac{(B - A) A^{2 x + 1}}{B^{2 (x + 1)}} \sum_{N = 1}^{\infty} \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} (- 1)^{m} \frac{Γ (x) (x + 1)_{N - m - 1}}{m! (N - m)! Γ (x - m)} (\frac{A}{B})^{N - m - 1} (A \neq B)$

$B (x, y) = \int_{0}^{\infty} e^{- x s} (1 - e^{- s})^{y - 1} d s$

$s = - \log t$ とおくと
$\begin{array}{rcl} B (x, y) & = & \int_{0}^{\infty} e^{- x s} (1 - e^{- s})^{y - 1} d s (x s = u) \\ = & \frac{1}{x} \int_{0}^{\infty} e^{- u} (1 - e^{- \frac{u}{x}})^{y - 1} d u \end{array}$

$B (x, 1 - y) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n}}{n! (n + x)} (0 < x \land y < 1)$

$\begin{array}{rcl} B (x, 1 - y) & = & \frac{1}{x} \int_{0}^{\infty} e^{- u} (1 - e^{- \frac{u}{x}})^{- y} d u \\ = & \frac{1}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n}}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{- u} e^{- \frac{n u}{x}} d u \\ = & \frac{1}{x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n}}{n!} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{n + x}{x} u} d u \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n}}{n! (n + x)} \end{array}$

$π = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})}{2^{2 n - 1} (2 n + 1)}$

$\begin{array}{rcl} B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) & = & π \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n! (n + \frac{1}{2})} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2} (n + \frac{1}{2})} \\ = & \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\begin{array}{c} 2 n \\ n \end{array})}{2^{2 n - 1} (2 n + 1)} \end{array}$

$\frac{π}{\sin π y} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n}}{n! (n + y)}$

なんか急に思いついたから次にコネクターを使ってみよう！
記号の使用法についてはこの記事を参考にして欲しい。

コネクタ

$C (n, m) = \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}}$

実験

[1]差分：

\begin{array}{rcl} C (n, m) - C (n, m + 1) & = & \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}} (1 - \frac{y + n + m}{(m + 1)^{2}}) \\ = & \frac{(m + 1)^{2} - (m + 1) - (y + n) + 1}{(m + 1)^{2}} C (n, m) \end{array}

[2]

m = 0

とすると次式が成り立つ事に注意

C (n, 0) = \frac{(y)_{n}}{n!}

連結和

$a, b$ を自然数としインデックス $k \in I_{a}, l \in I_{b}$ に対して
$Z (k, l) = \sum_{n \in U_{1} (a)^{\leq}, m \in U_{0} (b)^{\leq}} \frac{C (e (n), e (m))}{(n + y)^{k} (m + 1)^{l}}$

輸送関係式

$Z (k, l_{\to↓}) - Z (k, l_{\to}) - Z (k_{↓}, l_{\to↑}) + Z (k, l_{\to↑}) = Z (k, l)$

$\begin{array}{rcl} Z (k, l_{\to↓}) - Z (k, l_{\to}) - Z (k_{↓}, l_{\to↑}) + Z (k, l_{\to↑}) & = & \sum_{n \in U_{1} (a)^{\leq}, m \in U_{0} (b)^{\leq}} \frac{1}{(n + y)^{k} (m + 1)^{l}} \sum_{l i z (m) \leq e (m)} \frac{{e (m) + 1}^{2} - {e (m) + 1} - {e (n) + y} + 1}{(e (m) + 1)^{2}} C (e (n), e (m)) \\ = & Z (k, l) \end{array}$

$\begin{array}{r} {\begin{cases} Z (1, \emptyset) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(y)_{n}}{n! (n + y)} \\ Z (1, 0) - Z (1, 1) - Z (0, 2) + Z (1, 2) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}} \frac{m^{2} + m - (n + y) + 1}{(n + y) (m + 1)^{2}} \end{cases} \end{array}$
より
$\frac{π}{\sin π y} = \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}} \frac{m^{2} + m - (n + y) + 1}{(n + y) (m + 1)^{2}}$

$\begin{array}{rcl} Z (1, 0) - Z (1, 1) - Z (0, 2) + Z (1, 2) & = & \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}} {\frac{1}{n + y} - \frac{1}{(n + y) (m + 1)} - \frac{1}{(m + 1)^{2}} + \frac{1}{(n + y) (m + 1)^{2}}} \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}} {\frac{m}{(n + y) (m + 1)} - \frac{n + y - 1}{(n + y) (m + 1)^{2}}} \\ = & \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(y)_{n + m}}{n! (m!)^{2}} \frac{m^{2} + m - (n + y) + 1}{(n + y) (m + 1)^{2}} \end{array}$