Please read the article!-簡単な事の中にこそ大切な事が詰まっている！
あいさつ
んちゃ！
今回は一つの事に集中する事の大切さを伝えるために、ベータ関数で再度遊びます。
僕みたいに専門的教育を受けていない人でも、簡単な事実を積み重ねる事で面白い事実を見つけることが出来る。
僕はこの記事を見てくれる人にそれを伝えたい。
そんな思いで書きました。
よろしくお願いいたします。
\begin{equation} B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\quad(0\lt x,y) \end{equation}
\begin{equation} B(x,y)=\frac{(B-A)A^{x}(B-1)^{y-1}}{B^{x+y}}\int_{0}^{1}\frac{(t-1)^{x-1}}{(t-\frac{A}{B})^{x+y}}t^{y-1}dt\quad(A\neq B) \end{equation}
[1]$t=\frac{as+b}{cs+d},dt=-\frac{ad-bc}{(cs+d)^{2}}ds$とすると
\begin{eqnarray}
B(x,y)&=&-(ad-bc)\int_{\frac{b}{d}}^{\frac{a+b}{c+d}}\frac{(as+b)^{x-1}}{(cs+d)^{x+y}}\{(c-a)s+(d-b)\}^{y-1}ds\\
&=&-\frac{(ad-bc)a^{x-1}(c-1)^{y-1}}{c^{x+y}}\int_{\frac{b}{d}}^{\frac{a+b}{c+d}}\frac{(s+\frac{b}{a})^{x-1}}{(s+\frac{d}{c})^{x+y}}(s+\frac{d-b}{c-a})^{y-1}ds\quad(a=-b)\\
&=&\frac{(c+d)a^{x}(c-1)^{y-1}}{c^{x+y}}\int_{0}^{-\frac{a}{d}}\frac{(s-1)^{x-1}}{(s+\frac{d}{c})^{x+y}}(s+\frac{d+a}{c-a})^{y-1}ds\quad(a=-d)\\
&=&\frac{(c-a)a^{x}(c-1)^{y-1}}{c^{x+y}}\int_{0}^{1}\frac{(s-1)^{x-1}}{(s-\frac{a}{c})^{x+y}}s^{y-1}ds
\end{eqnarray}
[2]以上より、$a=A,c=B$と置くことで
\begin{equation}
B(x,y)=\frac{(B-A)A^{x}(B-1)^{y-1}}{B^{x+y}}\int_{0}^{1}\frac{(t-1)^{x-1}}{(t-\frac{A}{B})^{x+y}}t^{y-1}dt\quad(A\neq B)
\end{equation}
\begin{equation} B(x,y)=(-1)^{y-1}\frac{(B-A)A^{2x+y}(B-1)^{y-1}}{B^{2(x+y)}}\sum_{N=0}^{\infty}\frac{1}{N+y}\sum_{m=0}^{N}(-1)^{m}\frac{\Gamma(x)(x+y)_{n}}{m!(N-m)!\Gamma(x-m)}(\frac{A}{B})^{N-m} \end{equation}
\begin{eqnarray} B(x,y)&=&(-1)^{y-1}\frac{(B-A)A^{x}(B-1)^{y-1}}{B^{x+y}}\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^{x-1}}{(\frac{A}{B}-t)^{x+y}}t^{y-1}dt\\ &=&(-1)^{y-1}\frac{(B-A)A^{x}(B-1)^{y-1}}{B^{x+y}}\int_{0}^{1}\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{\Gamma(x)(x+y)_{n}}{m!n!\Gamma(x-m)}(\frac{A}{B})^{x+y+n}t^{m+n+y-1}dt\\ &=&(-1)^{y-1}\frac{(B-A)A^{2x+y}(B-1)^{y-1}}{B^{2(x+y)}}\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{N}(-1)^{m}\frac{\Gamma(x)(x+y)_{n}}{m!(N-m)!\Gamma(x-m)}(\frac{A}{B})^{N-m}\int_{0}^{1}t^{N+y-1}dt\\ &=&(-1)^{y-1}\frac{(B-A)A^{2x+y}(B-1)^{y-1}}{B^{2(x+y)}}\sum_{N=0}^{\infty}\frac{1}{N+y}\sum_{m=0}^{N}(-1)^{m}\frac{\Gamma(x)(x+y)_{N-m}}{m!(N-m)!\Gamma(x-m)}(\frac{A}{B})^{N-m} \end{eqnarray}
$y=1$とすると
\begin{equation}
\frac{1}{x}=\frac{(B-A)A^{2x+1}}{B^{2(x+1)}}\sum_{N=1}^{\infty}\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}(-1)^{m}\frac{\Gamma(x)(x+1)_{N-m-1}}{m!(N-m)!\Gamma(x-m)}(\frac{A}{B})^{N-m-1}\quad(A\neq B)
\end{equation}
\begin{equation} B(x,y)=\int_{0}^{\infty}e^{-xs}(1-e^{-s})^{y-1}ds \end{equation}
$s=-\log{t}$とおくと
\begin{eqnarray}
B(x,y)&=&\int_{0}^{\infty}e^{-xs}(1-e^{-s})^{y-1}ds\quad(xs=u)\\
&=&\frac{1}{x}\int_{0}^{\infty}e^{-u}(1-e^{-\frac{u}{x}})^{y-1}du
\end{eqnarray}
\begin{equation} B(x,1-y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n}}{n!(n+x)}\quad(0\lt x\land y\lt 1) \end{equation}
\begin{eqnarray} B(x,1-y)&=&\frac{1}{x}\int_{0}^{\infty}e^{-u}(1-e^{-\frac{u}{x}})^{-y}du\\ &=&\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n}}{n!}\int_{0}^{\infty}e^{-u}e^{-\frac{nu}{x}}du\\ &=&\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n}}{n!}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{n+x}{x}u}du\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n}}{n!(n+x)} \end{eqnarray}
\begin{equation} \pi=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}{2^{2n-1}(2n+1)} \end{equation}
\begin{eqnarray} B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})&=&\pi\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!(n+\frac{1}{2})}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}(n+\frac{1}{2})}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}{2^{2n-1}(2n+1)} \end{eqnarray}
\begin{equation} \frac{\pi}{\sin{\pi y}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n}}{n!(n+y)} \end{equation}
なんか急に思いついたから次にコネクターを使ってみよう！
記号の使用法についてはこの記事を参考にして欲しい。
コネクタ
\begin{equation} C(n,m)=\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}} \end{equation}
\begin{eqnarray} C(n,m)-C(n,m+1)&=&\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}}(1-\frac{y+n+m}{(m+1)^{2}})\\ &=&\frac{(m+1)^{2}-(m+1)-(y+n)+1}{(m+1)^{2}}C(n,m) \end{eqnarray}
$a,b$を自然数としインデックス$\vb*{k}\in\mathcal{I}_{a},\vb*{l}\in\mathcal{I}_{b}$に対して
\begin{equation}
Z(\vb*{k},\vb*{l})=\sum_{\vb*{n}\in U_{1}(a)^{\leq},\vb*{m}\in U_{0}(b)^{\leq}}\frac{C(e(\vb*{n}),e(\vb*{m}))}{(\vb*{n}+y)^{\vb*{k}}(\vb*{m}+1)^{\vb*{l}}}
\end{equation}
\begin{equation} Z(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow\downarrow})-Z(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow})-Z(\vb*{k}_{\downarrow},\vb*{l}_{\rightarrow\uparrow})+Z(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow\uparrow})=Z(\vb*{k},\vb*{l}) \end{equation}
\begin{eqnarray} Z(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow\downarrow})-Z(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow})-Z(\vb*{k}_{\downarrow},\vb*{l}_{\rightarrow\uparrow})+Z(\vb*{k},\vb*{l}_{\rightarrow\uparrow})&=&\sum_{\vb*{n}\in U_{1}(a)^{\leq},\vb*{m}\in U_{0}(b)^{\leq}}\frac{1}{(\vb*{n}+y)^{\vb*{k}}(\vb*{m}+1)^{\vb*{l}}}\sum_{liz(\vb*{m})\leq e(\vb*{m})}\frac{\{e(\vb*{m})+1\}^{2}-\{e(\vb*{m})+1\}-\{e(\vb*{n})+y\}+1}{(e(\vb*{m})+1)^{2}}C(e(\vb*{n}),e(\vb*{m}))\\ &=&Z(\vb*{k},\vb*{l}) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
Z(1,\varnothing)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(y)_{n}}{n!(n+y)}\\
Z(1,0)-Z(1,1)-Z(0,2)+Z(1,2)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}}\frac{m^{2}+m-(n+y)+1}{(n+y)(m+1)^{2}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
より
\begin{equation}
\frac{\pi}{\sin{\pi y}}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}}\frac{m^{2}+m-(n+y)+1}{(n+y)(m+1)^{2}}
\end{equation}
\begin{eqnarray} Z(1,0)-Z(1,1)-Z(0,2)+Z(1,2)&=&\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}}\{\frac{1}{n+y}-\frac{1}{(n+y)(m+1)}-\frac{1}{(m+1)^{2}}+\frac{1}{(n+y)(m+1)^{2}}\}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}}\{\frac{m}{(n+y)(m+1)}-\frac{n+y-1}{(n+y)(m+1)^{2}}\}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+m}}{n!(m!)^{2}}\frac{m^{2}+m-(n+y)+1}{(n+y)(m+1)^{2}} \end{eqnarray}
この記事を高評価した人
投稿者
