積位相と Borel 集合族

Ref. [Ø]を参考に、以下のような問題を考える。

$T$を適当な集合とし、$T$から${\mathbb{R}}^n$への函数の集合

$$\begin{array}{r}X:=({\mathbb{R}}^n{)}^T=\{f:T\to {\mathbb{R}}^n\}\end{array}$$

を考える。${\mathbb{R}}^n$の Borel 集合$F_{t_i}\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n),1\le i\le k$を用いて$\{f\in X;f(t_i)\in F_{t_i},1\le i\le k\}$と書けるような集合から生成される$\sigma$-加法族$\mathcal{B}$が、$T$の適当な条件のもとで、$X$のある位相についての Borel 集合族となることを以下で見たい。具体的には以下を示したい。（この内容は Ref. [Ø]の主張より弱いが、とりあえず今回はこの弱い主張を確認したい）

函数の集合$X$の積位相

$t\in T$に対して射影${\pi }_t:({\mathbb{R}}^n{)}^T\to {\mathbb{R}}^n$を$f\mapsto f(t)$で定める。この射影を用いて$X$に積位相を入れる。よって、$t\in T$に対して、準開基は$U_t\in \mathcal{O}({\mathbb{R}}^n)$に対する “シリンダー” となる。$f(t)$が属する${\mathbb{R}}^n$に目印をつけて${\mathbb{R}}_t^n$と書くことにすると、イメージとしては以下のような感じのものになる。

$$\begin{array}{r}{\pi }_t^{-1}(U_t)=(\prod _{t^{\prime }<t}{\mathbb{R}}_{t^{\prime }}^n)\times U_t\times (\prod _{t^{\prime }>t}{\mathbb{R}}_{t^{\prime }}^n)\end{array}$$

積位相の開基はこれらの有限交叉となる。例えば 2 個の準開基の交叉は以下のようになる。

$$\begin{array}{r}\bigcap _{i=1}^2{\pi }_{t_i}^{-1}(U_{t_i})=(\prod _{t^{\prime }<t_1}{\mathbb{R}}_{t^{\prime }}^n)\times U_{t_1}\times (\prod _{t_1<t^{\prime }<t_2}{\mathbb{R}}_{t^{\prime }}^n)\times U_{t_2}\times (\prod _{t^{\prime }>t_2}{\mathbb{R}}_{t^{\prime }}^n)\end{array}$$

もう少し一般的な書き方をすると、以下のようなものである:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& N(U_{t_1},\cdots ,U_{t_k}):=\bigcap _{i=1}^k\{{\pi }_{t_i}^{-1}(U_{t_i});U_{t_i}\in \mathcal{O}({\mathbb{R}}^n)\}\end{array}$$

位相の（準）開基の可視化

よって、$X=({\mathbb{R}}^n{)}^T$の積位相における開集合は一般に$O=\bigcup N(U_{t_1},\cdots ,U_{t_k})$の形で表現される。この位相は各${\pi }_t,t\in T$を連続にする最弱の位相である。

また、この積位相は$X$の函数について「各点収束の位相」とも呼ばれる。つまり、$f_n\to f$ in $X$ $⟺$ $f_n(t)\to f(t),\mathrm{\forall }t\in T$である。(Ref. [F] Prop 4.12)

$\sigma$-加法族

$X$に次のような$\sigma$-加法族を導入する。${\mathbb{R}}^n$の Borel 集合$F_{t_i}\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n),1\le i\le k$を用いて

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{f\in X;f(t_i)\in F_{t_i},1\le i\le k\}\end{array}$$

と表される集合から生成される$X$上の$\sigma$-加法族を$\mathcal{B}$とする。$T$が第 2 可算公理を満たす時、この$\mathcal{B}$は$X$の積位相についての Borel 集合族になることを見たい。

定理の証明

Eq. (2) を書き換えよう。これは$f\in X$で$t_1$, $t_2$, $t_3$で$U_1$, $U_2$, $U_3$を通るようなものである。これを踏まえると、

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \bigcap _{i=1}^k\{{\pi }_{t_i}^{-1}(F_{t_i});F_{t_i}\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)\}\end{array}$$

と書き直すことができることが分かる。特に$F_{t_i}=U_{t_i}\in \mathcal{O}({\mathbb{R}}^n)\subset \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$をとると、Eq. (1) より$N(U_{t_1},\cdots ,U_{t_k})$に等しい。よって、$\mathcal{B}$は$X$の積位相における開基を含むことが分かった。

ここで、$\overline{\mathcal{B}}$を開基$N(U_1,\cdots ,U_k)$の集合から生成される最小の$\sigma$-加法族とする。この開基が定める位相が第 2 可算公理を満たす時（後述）、開基の可算個の合併$\bigcup N(U_1,\cdots ,U_k)$で表現される開集合がすべて$\overline{\mathcal{B}}$に含まれる。つまり$\overline{\mathcal{B}}$は$X$の位相についての Borel 集合族となる。  
ところで、$\mathcal{O}({\mathbb{R}}^n)\subset \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$なので、$\overline{\mathcal{B}}\subset \mathcal{B}$である。  
また、Ref. [F] Prop 2.1 より$\mathcal{O}({\mathbb{R}}^n)$の${\pi }_t,t\in T$による逆像は${\pi }_t$の連続性により開集合であり、故に$\overline{\mathcal{B}}$に含まれるので、${\pi }_t$は$(\overline{\mathcal{B}},\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n))$-可測である。よって、Eq. (3) またはそれと等価な Eq. (2) のような集合はすべて$\overline{\mathcal{B}}$に含まれる。よって、Eq. (2) の集合から生成される$\sigma$-加法族$\mathcal{B}$は$\mathcal{B}\subset \overline{\mathcal{B}}$ということになる。以上より、$\mathcal{B}=\overline{\mathcal{B}}$である。

最後に、$X$の積位相が第 2 加算公理を満たすことが示されれば、$\mathcal{B}$は Borel 集合であることが分かる。これについては、${\mathbb{R}}^n$は第 2 加算公理を満たす（c.f. Ref. [U] 例 17.5）ことから、仮定より$T$は可算濃度なので$X=({\mathbb{R}}^n{)}^T$もまた第 2 加算公理を満たすことから従う(c.f. Ref. [F] Section 4.2 Exercise 20, Ref. [K] Chapter 3 Theorem 6 & Problems M)。

例

例えば、$T=[0,\infty )\cap \mathbb{Q}$の時、定理が成立する。

まとめ

本の主張よりは弱い形での証明だが、一般的な(？) 開集合に対する Borel 集合族を考えるということをしてこなかったので、良い題材になった。第 2 可算公理も “おまじない” としてしか使っていなかったので、今回比較的ちゃんと向き合うことができて良かった。