部分積分における関数の微分の利用

部分積分は積分計算の重要なテクニックですが、関数の微分を用いた表記を利用すれば、段階を踏みやすくなります。具体的な例を交えながら説明します。

基本的な考え方

まず、二つの関数$f=f(x)$, $g=g(x)$について考えます。ライプニッツ則から始めることで、部分積分の本質が見えてきます。

$$\begin{array}{rl}d(fg)& =(df)g+f(dg)\\ fdg& =d(fg)-gdf\end{array}$$

この式の両辺を積分することで、部分積分の公式が導かれます。

ここで、$df=\frac{df}{dx}dx=f^{\prime }dx$,$dg=\frac{dg}{dx}dx=g^{\prime }dx$という関数の微分wiki-dfの関係を用いれば、通常の形式が得られます。

例 1

基本的な例として、$f(x)=x$,$g(x)=\sin x$の場合を見てみましょう。

$$\begin{array}{rl}\int xd(\sin x)& =x\sin x-\int \sin xdx\\ \int x\cos xdx& =x\sin x+\cos x+C\end{array}$$

関数の微分を用いたおかげで、右辺に$\sin x$を含むことが自然に理解できます。

通常の計算では、2行目の左辺から始めることになります。

$$\begin{array}{rl}\int x\cos xdx& =\int xd(\sin x)\\ & =x\sin x-\int \sin xdx\\ & =x\sin x+\cos x+C\end{array}$$

補足

関数の微分を使わない場合、次のような書き方が考えられます。

$$\begin{array}{rl}\int x\cos xdx& =\int x(\sin x{)}^{\prime }dx\\ & =x\sin x-\int (x{)}^{\prime }\sin xdx\\ & =x\sin x-\int \sin xdx\\ & =x\sin x+\cos x+C\end{array}$$

例 2

次に、$f(x)=x^2$,$g(x)=\cos x$という、やや複雑な例を見てみましょう。

$$\begin{array}{rl}\int x^{2}d(\cos x)& =x^2\cos x-\int \cos xd(x^2)\\ \int x^2(-\sin x)dx& =x^2\cos x-\int 2x\cos xdx\\ \int x^2\sin xdx& =-x^2\cos x+\int 2x\cos xdx\\ & =-x^2\cos x+\int 2xd(\sin x)\\ & =-x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx\\ & =-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\end{array}$$

通常の計算では、3行目の左辺から始めることになります。

$$\begin{array}{rl}\int x^2\sin xdx& =\int x^{2}d(-\cos x)\\ & =x^2(-\cos x)-\int (-\cos x)d(x^2)\\ & =-x^2\cos x+\int 2x\cos xdx\\ & =-x^2\cos x+\int 2xd(\sin x)\\ & =-x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx\\ & =-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C\end{array}$$

この例からわかるように、関数の微分を用いることで、各ステップでどのような変形が行われているのかが明確になります。特に、$\cos x$と$\sin x$の関係、そして$x^2$の微分が計算の中でどのように現れるかが見通しやすくなっています。

注意点

関数の微分を使う際、次数が上がるような変形は避けるべきです。

$$\begin{array}{rl}\int x^2\sin xdx& =\int \sin xd\left(\frac{x^3}{3}\right)\\ & =\sin x\frac{x^3}{3}-\int \frac{x^3}{3}d(\sin x)\\ & =\sin x\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}\int x^3\cos xdx\end{array}$$

この変形では$x$の次数が上がってしまい、積分を外すことができません。次数を下げる方向に計算を進めることが重要です。

まとめ

関数の微分を用いた表記を使うことで、部分積分の計算において結果に現れる項の形が予測しやすくなります。