部分積分における関数の微分の利用
関数の微分$df=f'(x)\,dx$とライプニッツ則を用いて、部分積分の各変形ステップと項の対応関係を整理します。
概要
部分積分の公式 $\int fg'\,dx = fg - \int f'g\,dx$ は積の微分法の逆演算として広く知られていますが、どの関数を積分しどの関数を微分するか、なぜ符号が反転するのかの操作手順が機械的になりがちで、計算の見通しを失いやすい論点です。
本記事では、関数の微分 $df = f'(x)\,dx$ を導入し、ライプニッツ則（積の微分法則）$d(fg) = f\,dg + g\,df$ と部分積分の関係を直接結びつけます。これにより、ライプニッツ則から公式を再構成し、各項の対応を追えるようにします。続いて、1次式および2次式と三角関数の積の具体例を通して、関数の微分を用いた記法がどのように計算の段階を明快にするかを解説します。最後に、多項式と三角関数の積で、微分する因子と積分する因子をどう選ぶかを確認します。
1変数関数の微分法、積の微分則、および不定積分の基礎知識を前提とします。本記事では主に初等関数の不定積分を扱い、定積分版の公式も補足します。微分形式の一般論は扱いません。
基本的な考え方
部分積分の公式は積の微分法則の逆演算なので、積の微分法則を微分の記号で書き表すところから始めます。そのために、関数の微分を導入します。
1変数の微分可能な関数$f=f(x)$について、関数の微分$df$を次のように定める。
$$ df=f'(x)\,dx $$
微分形式の言葉では、$df$は1次微分形式（1形式）にあたります。wiki-df
2つの関数$f=f(x)$, $g=g(x)$について、積の微分法則を関数の微分で書くと、ライプニッツ則が得られます。
$$ d(fg)=(fg)'\,dx=(fg'+f'g)\,dx=f\,dg+g\,df $$
これを$f\,dg$について解きます。
$$ f\,dg = d(fg)-g\,df $$
この式の両辺を積分することで、部分積分の公式が導かれます。
$$ \int f\,dg = fg - \int g\,df $$
部分積分の公式の負号は、ライプニッツ則の$g\,df$を右辺へ移項することで生じます。
以下、不定積分の等式は積分定数の違いを除いて扱い、計算の途中では積分定数を省きます。最終結果には$C$を付けます。
ここで、$df=f'dx$, $dg=g'dx$という関数の微分の関係を用いれば、導関数による通常の形式が得られます。
$$ \int fg'\,dx = fg - \int f'g\,dx $$
定積分では$\int_a^b d(fg)=[fg]_a^b$となるため、積の項は両端で評価した境界項になります。
$f,g$が$[a,b]$上で$C^1$級のとき、次が成り立つ。
$$ \int_a^b f(x)g'(x)\,dx = \bigl[f(x)g(x)\bigr]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx $$
ここで$\bigl[f(x)g(x)\bigr]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$は、積$fg$を両端で評価した境界項である。
1次式と三角関数の積
基本的な例として、$\int x\cos x\,dx$を求めます。$f=x$とし、$\cos x\,dx=d(\sin x)$と書いて$g=\sin x$を選びます。
$$ \begin{aligned} \int x\cos x\,dx &= \int x\,d(\sin x) \\ &= x\sin x - \int \sin x\,dx \\ &= x\sin x + \cos x + C \end{aligned} $$
$\cos x\,dx=d(\sin x)$と書くと、公式の$g$が$\sin x$であることが明示されます。そのため、積の項は$x\sin x$、残る積分は$\int\sin x\,dx$になると追えます。
$\cos x\,dx$を$d(\sin x)$と書き換える際には、$\cos x$の原始関数として$\sin x$を選んでいます。
$$ \cos x\,dx=(\sin x)'dx=d(\sin x) $$
これは、関数の微分の関係$dg=g'(x)\,dx$を$g(x)=\sin x$に適用したものです。形式上は分母の$dx$を取り払ったように見えますが、微分記号を分数として約分しているのではありません。
導関数表記との比較
関数の微分を使わない場合、次のような書き方が考えられます。
$$ \begin{aligned} \int x\cos x\,dx &= \int x(\sin x)'dx \\ &= x\sin x - \int (x)'\sin x\,dx \\ &= x\sin x - \int \sin x\,dx \\ &= x\sin x + \cos x + C \end{aligned} $$
どちらも同じ公式を用いています。関数の微分による表記では、積分する因子を$dg$、微分する因子を$df$として書けるため、両者の役割を追いやすくなります。
2次式と三角関数の積
次に、やや複雑な例として$\int x^2\sin x\,dx$を求めます。$f=x^2$とし、$\sin x\,dx=d(-\cos x)$と書いて$g=-\cos x$を選びます。途中で現れる$\int 2x\cos x\,dx$には、1つ目の例と同じく$g=\sin x$を選びます。
$$ \begin{aligned} \int x^2\sin x\,dx &= \int x^2\,d(-\cos x) \\ &= x^2(-\cos x) - \int (-\cos x)\,d(x^2) \\ &= -x^2\cos x + \int 2x\cos x\,dx \\ &= -x^2\cos x + \int 2x\,d(\sin x) \\ &= -x^2\cos x + 2x\sin x - \int 2\sin x\,dx \\ &= -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C \end{aligned} $$
この例からわかるように、関数の微分を用いることで、各ステップでどのような変形が行われているのかが明確になります。特に、$\cos x$と$\sin x$の関係、そして$x^2$の微分が計算の中でどのように現れるかが見通しやすくなっています。
微分する因子と積分する因子の選び方
多項式と三角関数の積では、どちらの因子を微分する側に選ぶかで、計算の進み方が変わります。例えば$\int x^2\sin x\,dx$で、$x^2$を積分する側に選ぶと次のようになります。
$$ \begin{aligned} \int x^2\sin x\,dx &= \int \sin x\,d\left(\frac{x^3}{3}\right) \\ &= \sin x\frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3}\,d(\sin x) \\ &= \sin x\frac{x^3}{3} - \frac{1}{3}\int x^3\cos x\,dx \end{aligned} $$
この変形も正しい等式ですが、多項式の次数が$2$から$3$に上がり、残った積分は元の積分より簡単になっていません。多項式と三角関数の積では、多項式を微分する側に選ぶと、部分積分を繰り返すごとに次数が下がり、計算を進めやすくなります。
まとめ
本記事では、関数の微分$dg = g'dx$を用いた表記で、ライプニッツ則から部分積分の公式を導き、1次式・2次式と三角関数の積の計算に適用しました。関数の微分を用いた表記では、積分する因子を$dg$、微分する因子を$df$として書けるため、結果に現れる項の形を追いやすくなります。定積分では、積の項が両端で評価した境界項になります。また、多項式と三角関数の積では、多項式を微分する側に選ぶと次数が下がり、計算を進めやすくなります。
$$ d(fg) = f\,dg + g\,df, \quad \int f\,dg = fg - \int g\,df $$
$$ \int fg'\,dx = \int f\,dg = fg - \int g\,df = fg - \int f'g\,dx $$
$$ \int_a^b fg'\,dx = \bigl[fg\bigr]_a^b - \int_a^b f'g\,dx $$
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