【スピン幾何】twisorスピノルと共形対称性
twistorスピノルはconformal Killingスピノルとも呼ばれます。その理由はtwistorスピノルが共形Killingベクトル場を誘導するからです。つまりtwistorスピノルの存在は共形対称性と密接に関わっているということです。
$\langle\cdot,\cdot\rangle$をDirac形式とし、フレーム場を$\{e_i\}$とすると、スピノル$\psi$はベクトル場
$$
\xi=\sum_i\alpha\langle\psi,\gamma^i\psi\rangle e_i
$$
を定めます。ここで$\alpha$は$1$か$i$のどちらかで$\xi$が実ベクトル場になるように取られているものとします。このとき、次が成り立ちます。
$\psi$がtwistorスピノルなら$\xi$は共形Killingベクトルである。
\begin{align}
&e_i(g(\xi,e_j))=\sum_i\alpha\langle\nabla_{e_i}\psi,\gamma_j\psi\rangle
+\sum_i\alpha\langle\psi,(\nabla_{e_i}e_j)\psi\rangle
+\sum_i\alpha\langle\psi,\gamma_j\nabla_{e_i}\psi\rangle\\
\therefore\ &g(\nabla_{e_i}\xi,e_j)=\sum_i\alpha\langle\nabla_{e_i}\psi,\gamma_j\psi\rangle
+\sum_i\alpha\langle\psi,\gamma_j\nabla_{e_i}\psi\rangle\\
&=\delta\sum_i\alpha\langle\gamma_j\nabla_{e_i}\psi,\psi\rangle
+\sum_i\alpha\langle\gamma_j\nabla_{e_i}\psi,\psi\rangle^*\ (\deltaは\pm1のどちらか)\\
&=\begin{cases}
2\Re\sum_i\alpha\langle\gamma_j\nabla_{e_i}\psi,\psi\rangle \ (\delta=1)\\ -2\Im\sum_i\alpha\langle\gamma_j\nabla_{e_i}\psi,\psi\rangle \ (\delta=-1)
\end{cases}
\end{align}
となる。以下$\delta=1$のときを議論する（$\delta=-1$でも同様）。$\psi$がtwistorスピノルなので、
\begin{align}
&g(\nabla_{e_i}\xi,e_j)+g(\nabla_{e_j}\xi,e_i)=2\Re\sum_i\alpha\langle\gamma_j\nabla_{e_i}\psi+\gamma_i\nabla_{e_j}\psi,\psi\rangle\\
&=-\frac{2}{n}\Re\sum_i\alpha\langle\gamma_j\gamma_iD\psi+\gamma_i\gamma_jD\psi,\psi\rangle
=\frac{4}{n}g(e_i,e_j)\Re\sum_i\alpha\langle D\psi,\psi\rangle
\end{align}
が成り立ち、
$$
\rho:=\frac{2}{n}\Re\sum_i\alpha\langle D\psi,\psi\rangle
$$
とおくと
$$
g(\nabla_{e_i}\xi,e_j)+g(\nabla_{e_j}\xi,e_i)=2\rho g(e_i,e_j)
$$
を満たすから、$\xi$は共形Killingベクトルである。
