さいころの目の和がkの倍数になる確率（改）

さいころの目の和が$k$の倍数になる確率になる記事を見つけたが, 該当記事よりも簡潔に求められる方法を見つけたのでまとめておく.

元記事: さいころの目の和がkの倍数になる確率

元記事と少し表記が異なるが, 以下の問題設定を与える.

母関数による導出

$$f(z)=\left\{\frac{1}{D}\sum_{j=1}^{D}z^j\right\}^n$$
と定義すれば, $f(z)$の$x_m$の係数$c_m$は, 出た目の合計が$k$の倍数である確率と一致する.
ここで, $1$の$k$乗根を$\xi_k=e^{i2\pi/k}$とすれば, (以降, 文脈から明らかなので単に$\xi$と書く)
$$ \begin{align} P_{n,k,D} &= \frac{1}{k}\left\{\sum_{m=1}^{k}f(\xi^m)\right\} \\ &= \frac{1}{k}\left\{1+\frac{1}{D^n}\sum_{m=1}^{k-1}\left(\sum_{j=1}^{D}\xi^{jm}\right)^n\right\} \\ &= \frac{1}{k}\left\{1+\frac{1}{D^n}\sum_{m=1}^{k-1}\left(\sum_{j=1}^{D}e^{ij\frac{2m\pi}{k}}\right)^n\right\} \\ &= \frac{1}{k}\left\{1+\frac{1}{D^n}\sum_{m=1}^{k-1}\left(\frac{\sin(Dm\pi/k)}{\sin(m\pi/k)}e^{i(D+1)m\pi/k}\right)^n\right\} \\ &= \frac{1}{k}\left\{1+\frac{1}{D^n}\sum_{m=1}^{k-1}\left(\frac{\sin(Dm\pi/k)}{\sin(m\pi/k)}\right)^n\cos\frac{(D+1)mn\pi}{k}\right\} \\ &=\begin{cases} \frac{1}{k}\left(1+2D^{-n}\sum_{m=1}^{k/2 -1}\left(\frac{\sin\frac{Dm\pi}{k}}{\sin\frac{m\pi}{k}}\right)^n\cos\frac{(D+1)mn\pi}{k} + D^{-n}{\sin^n\frac{D\pi}{2}}\cos\frac{(D+1)n\pi}{2} \right) & \text{if k is even,}\\ \frac{1}{k}\left(1+2D^{-n}\sum_{m=1}^{(k-1)/2}\left(\frac{\sin\frac{Dm\pi}{k}}{\sin\frac{m\pi}{k}}\right)^n\cos\frac{(D+1)mn\pi}{k} \right) & \text{if k is odd.} \end{cases} \end{align} $$

実際に$D=6$として計算すれば, 元記事と同じ結果が得られることが分かる.