Quiver備忘録(1)：Quiverの定義

表現論,Quiver,箙

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こんにちは. このシリーズでは, 私がquiverについて学んだことのメモ(的なもの)を残していこうかと思います.

(4/24 23:00追記)
表現の射の合成と恒等射についての命題を追加

(4/25 18:30追記)
表現の直和についての定義を追加

Quiverの定義

早速ですが, Quiverについて定義していきたいと思います.

Quiver

Quiver(箙ともいう) $Q = (Q_{0}, Q_{1}, s, t)$ とは, 次のものからなる：

頂点の集合 $Q_{0}$
矢印の集合 $Q_{1}$
$Q_{1}$ の各元 $α$ に対し, その矢印の始点 $s (α)$ と終点 $t (α)$ を対応させる写像 $s, t : Q_{0} \to Q_{0}$ (このとき, $s (α) \overset{α}{\to} t (α)$ と表す.)

基本的に頂点のラベルには $1, 2, 3, \dots$ を, 矢印のラベルには $α, β, γ, \dots$ を主に用いることにします. (矢印のラベルは省略することもあります.)

$Q_{0} = {1, 2, 3, 4}, Q_{1} = {α, α^{'}, β, γ, δ}$ とし,
$\begin{aligned} s (α) = s (α^{'}) = 1, t (α) = t (α^{'}) = 2 \\ s (β) = 3, t (β) = 2 \\ s (γ) = 2, t (γ) = 4 \\ s (δ) = 4, t (δ) = 3 \end{aligned}$
と定めると, quiver $Q = (Q_{0}, Q_{1}, s, t)$ は下図のようになる：
$3 β 1 α α^{'} 2 γ 4 δ$

Quiverの表現

以下, 特に断りの無い限りquiverはfinite quiver( $Q_{0}, Q_{1}$ が有限集合であるもの)とし, $k$ を代数的閉体(例えば $C$ )とします.

Quiverが与えられたとき, 群などの表現と同様にquiverの表現を考えることができます.

Quiverの表現

$Q$ をquiverとする.
$Q$ の表現 $M = (M_{i}, φ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ は次のものからなる：

各 $i \in Q_{0}$ に対し, $k$ -ベクトル空間 $M_{i}$
各 $α \in Q_{1}$ に対し, $k$ -線形写像 $φ_{α} : M_{s (α)} \to M_{t (α)}$

また, 各 $M_{i}$ が有限次元であるとき, $M$ を有限次元表現と呼ぶ.

$Q$ を例1のquiverとする.
$k 1 k^{2} (\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}) k (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) k^{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$
は $Q$ の表現である.
また,
$0000000 00$
もまた $Q$ の表現である. (このような表現を単に $0$ で表すことにする.)

表現の間の射

以下, 特に断りの無い限り有限表現を考えることにします.

Quiver $Q$ が与えられたとき, $Q$ における2つの表現 $M, M^{'}$ の間にはどのような「関係」があるのでしょうか？
それを考えるために, quiverの表現の間の射を考えたいと思います.

表現の間の射

$Q$ をquiverとし, $M = (M_{i}, φ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}, M^{'} = (M_{i}^{'}, φ_{α}^{'})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ を $Q$ の表現とする.
$Q$ の表現 $M, M^{'}$ の間の射とは, $k$ -線形写像 $f_{i} : M_{i} \to M_{i}^{'} (i \in Q_{0})$ の族であって, 任意の $i \overset{α}{\to} j$ に対し, 次の図式を可換にするようなものである：
$M_{i} φ_{α} f_{i} M_{j} f_{j} M_{i}^{'} φ_{α}^{'} M_{j}^{'} ↻$
このとき, $f : M \to M^{'}$ と表す.

また, $f : M \to M^{'}$ において各 $f_{i}$ が同型写像となるものが存在するとき, $M ≅ M^{'}$ と表す.

$Q$ をquiverとし, $M = (M_{i}, φ_{α}), M^{'} = (M_{i}^{'}, φ_{α}^{'}), M^{″} = (M_{i}^{″}, φ_{α}^{″})$ を $Q$ の表現とする.
(1) $Q$ の表現の射 $f = (f_{i}) : M \to M^{'}, g = (g_{i}) : M^{'} \to M^{″}$ に対し, その合成 $g \circ f = (g_{i} \circ f_{i}) : M \to M^{″}$ もまた $Q$ の表現の射となる.
(2) $1_{M} = (1_{M_{i}}) : M \to M$ は $Q$ の表現の射である.

任意の $i \overset{α}{\to} j$ に対し, 次の可換性が成り立つことから分かる：
$M_{i} φ_{α} f_{i} M_{j} f_{j} M_{i}^{'} φ_{α}^{'} g_{i} M_{j}^{'} g_{j} ↻ M_{i}^{″} φ_{α}^{″} M_{j}^{″} ↻$
任意の $i \overset{α}{\to} j$ に対し, 次の可換性が成り立つことから分かる：
$M_{i} φ_{α} 1_{M_{i}} M_{j} 1_{M_{j}} M_{i} φ_{α} M_{j} ↻$

$Q$ の表現 $M, M^{'}$ の間の射全体を $Hom (M, M^{'})$ と表すことにします.
このとき, $Hom (M, M^{'})$ は $k$ -ベクトル空間になることが分かります.

$Hom (M, M^{'})$ における和・スカラー倍を次のように定める：

$f = (f_{i}), g = (g_{i}) \in Hom (M, M^{'})$ に対し, $f + g := (f_{i} + g_{i})$
$f = (f_{i}), a \in k$ に対し, $a f := (a f_{i})$

これにより, $Hom (M, M^{'})$ は $k$ -ベクトル空間となる.
ただし, $f_{i}, g_{i} : M_{i} \to M_{i}^{'}$ に対し, $(f_{i} + g_{i}) (m) = f_{i} (m) + g_{i} (m), (a f_{i}) (m) = a f_{i} (m)$ である.

(概略)

$f = (f_{i})$ の逆元は $- f := (- f_{i})$ , 零元は $0_{M} := (0 : M_{i} \to M_{i}^{'})$ であることが定義に従って示せる.

表現の直和

$Q$ の表現がいくつか与えられたとき, そこから新しい $Q$ の表現を構成することができます.

表現の直和

$Q$ をquiverとし, $M = (M_{i}, φ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}, M^{'} = (M_{i}^{'}, φ_{α}^{'})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ を $Q$ の表現とする.
$M$ と $M^{'}$ の直和 $M \oplus M^{'}$ は, $(M_{i} \oplus M_{i}^{'}, (\begin{matrix} φ_{α} & 0 \\ 0 & φ_{α}^{'} \end{matrix}) := φ_{α} \oplus 0 + 0 \oplus φ_{α}^{'})$ により与えられる.