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Quiver備忘録(2)：核と余核,　圏論を添えて

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はじめに

前回は, quiverやその表現などの定義を考えました. 表現の射が与えられたとき, 線形写像に核・余核があることと自明なquiver表現として零表現があるので, 表現の射にも核・余核を定義したいという気持ちになります. 今回は表現の射の核・余核について定義し, 圏論的な観点からも見てみようと思います.

前回と同様, 特に断りの無い限り, 有限quiverおよび有限表現について考えます.

核・余核

核

$Q$ をquiverとし, $M = (M_{i}, φ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}, M^{'} = (M_{i}^{'}, φ_{α}^{'})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ を $Q$ の表現, $f : M \to M^{'}$ を表現の射とする.
$Q$ の表現 $L = (L_{i}, ψ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ を次のように定める：

各 $i \in Q_{0}$ に対し, $L_{i} := Ker f_{i}$
各 $i \overset{α}{\to} j$ に対し, $ψ_{α} := φ_{α} |_{L_{i}}$

この $L$ を $Ker f$ と表し, $f$ の核という.

ここで, この $L$ はちゃんと $Q$ の表現になっているのかということが問題になります. これをちゃんと確かめておきましょう.

上の定義における $L = (L_{i}, ψ_{α})$ は $Q$ の表現である.

各 $i \overset{α}{\to} j$ に対し, $ψ_{α} : L_{i} \to L_{j}$ がwell-definedであることを示せばよい.
$l_{i} \in L_{i}$ に対し, $f_{i} (l_{i}) = 0$ であることと $f_{j} \circ φ_{α} = φ_{α}^{'} \circ f_{i}$ ( $∵ f$ ：表現の射)より $0 = φ_{α}^{'} f_{i} (l_{i}) = f_{j} φ_{α} (l_{i})$ となるので, $φ_{α} (l_{i}) \in L_{j}$ を得る.
したがって, $ψ_{α}$ はwell-definedである.

$ι_{i} : L_{i} ↪ M_{i}$ を包含写像とすると, $ι = (ι_{i}) : L \to M$ は $L$ から $M$ への包含写像とみることができます. これを $ι : L ↪ M$ と表すことにします.

余核

$Q$ をquiverとし, $M = (M_{i}, φ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}, M^{'} = (M_{i}^{'}, φ_{α}^{'})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ を $Q$ の表現, $f : M \to M^{'}$ を表現の射とする.
$Q$ の表現 $N = (N_{i}, χ_{α})_{i \in Q_{0}, α \in Q_{1}}$ を次のように定める：

各 $i \in Q_{0}$ に対し, $N_{i} := Coker f_{i} = M_{i}^{'} / Im f_{i}$
各 $i \overset{α}{\to} j$ に対し, $χ_{α} : N_{i} \to N_{j}$ を $χ_{α} (\overset{―}{m_{i}^{'}}) := \overset{―}{φ_{α}^{'} (m_{i}^{'})}$

このNを $Coker f$ と表し, $f$ の余核という.

核のときと同様に, この $N$ はちゃんと $Q$ の表現になっているのかをちゃんと確かめておきましょう.

上の定義における $N = (N_{i}, χ_{α})$ は $Q$ の表現である.

$χ_{α}$ がwell-definedであることを示す.
$\overset{―}{m_{i}^{'}} = \overset{―}{m_{i}^{″}} \in N_{i}$ とすると, $m_{i}^{'} - m_{i}^{″} = f_{i} (m_{i}) (^{\exists} m_{i} \in M_{i})$ と表せる.
このとき,
$φ_{α}^{'} (m_{i}^{'}) - φ_{α}^{'} (m_{i}^{″}) = φ_{α}^{'} (m_{i}^{'} - m_{i}^{″}) = φ_{α}^{'} f_{i} (m_{i}) = f_{j} (φ_{α} (m_{i})) \in N_{j}$
これより, $\overset{―}{φ_{α}^{'} (m_{i}^{'})} = \overset{―}{φ_{α}^{'} (m_{i}^{″})}$ となる.

$p_{i} : M_{i}^{'} ↠ N_{i}$ を自然な全射とすると, $p = (p_{i}) : M^{'} \to N$ は $M^{'}$ から $N$ への自然な全射とみることができます. これを $p : M^{'} ↠ N$ と表すことにします.

部分表現と商表現

包含写像により得られる表現の射 $ι : L ↪ M$ によって, $L$ は $M$ の表現の一部とみなすことができます.

部分表現と商表現

$L, M$ をquiver $Q$ の表現とする.
$L$ が $M$ の部分表現であるとは, $ι : L ↪ M$ が存在することである.
また, このとき $M$ の $L$ による商表現を $M / L := Coker ι$ により定める.

第一同型定理

$M = (M_{i}, φ_{α}), N = (N_{i}, ψ_{α})$ をquiver $Q$ の表現とし, $f : M \to N$ を表現の射とする.
このとき, $M / Ker f ≅ Im f$ が成り立つ.

ここで, $Im f = (Im f_{i}, ψ_{α}^{'})$ において $ψ_{α}^{'}$ は $ψ_{α}$ を $Im f_{i}$ 上に制限したもの, すなわち次の図式が可換になるようなものである：
$M_{i} φ_{α} f_{i} f_{i} ↻ M_{j} f_{j} f_{j} ↻ Im f_{i} ψ_{α}^{'} Im f_{j} ↻ N_{i} ψ_{α} N_{j} ↻$
具体的には, $ψ_{α}^{'} (f (m_{i})) := f_{j} φ_{α} (m_{i})$ と定めることとする.

各 $f_{i}$ は線形写像なので, 同型写像 ${\overset{―}{f}}_{i} : M_{i} / Ker f_{i} \to Im f_{i}, {\overset{―}{f}}_{i} (\overset{―}{m_{i}}) := f_{i} (m_{i})$ を誘導する.
ここで, $M / Ker f = (M_{i} / Ker f_{i}, χ_{α}), χ_{α} (\overset{―}{m_{i}}) = \overset{―}{φ_{α} (m_{i})}$ とおくと,
$\begin{aligned} {\overset{―}{f}}_{j} χ_{α} (\overset{―}{m_{i}}) = {\overset{―}{f}}_{j} (\overset{―}{φ_{α} (m_{i})}) = f_{j} φ_{α} (m_{i}) \\ ψ_{α}^{'} {\overset{―}{f}}_{i} (\overset{―}{m_{i}}) = ψ_{α}^{'} f_{i} (m_{i}) = f_{j} φ_{α} (m_{i}) \end{aligned}$
となるので, 次の図式が可換になる：
$M_{i} / Ker f_{i} χ_{α} {\overset{―}{f}}_{i} M_{j} / Ker f_{j} {\overset{―}{f}}_{j} Im f_{i} ψ_{α}^{'} Im f_{j} ↻$
したがって, $\overset{―}{f} : M / Ker f \to Im f$ は表現の間の同型射となる.

圏論的に見てみよう

Quiverは圏をなす

表現と表現の間の射があるということは, そこから圏を作ることができます.

(有限)表現の圏

$Q$ を有限quiverとする.
$rep Q$ という圏を次のように定める：

対象： $Q$ の有限表現
射：表現の間の射 (合成・恒等射については前回参照)

核・余核の圏論的定義

核・余核は圏論的な定義をすることが可能です. これを利用して, 先ほど考えた表現の射の核・余核が圏論的な意味での $rep Q$ における核・余核を与えることを確認したいと思います.

核・余核

$C$ を零射を持つ圏とし, $f \in C (X, Y)$ とする.

$f$ の核とは, $C$ の対象 $K$ と射 $k \in C (K, X)$ の組 $(K, k)$ であって次を満たすものである：
(K1) $f \circ k = 0$
(K2) $f \circ k^{'} = 0$ を満たす任意の射 $k^{'} \in C (K^{'}, X)$ に対し, 次の図式を可換にする射 $\underset{―}{k^{'}} \in C (K^{'}, K)$ が一意に存在する：
$K^{'}^{^{\exists}!} \underset{―}{k^{'}} k^{'} ↻ K k X f Y$
$f$ の余核とは, $C$ の対象Cと射 $c \in C (Y, C)$ の組 $(C, c)$ であって次を満たすものである：
(CK1) $c \circ f = 0$
(CK2) $c^{'} \circ f = 0$ を満たす任意の射 $c^{'} \in C (Y, C^{'})$ に対し, 次の図式を可換にする射 $\overset{―}{c^{'}} \in C (C, C^{'})$ が一意に存在する：
$C^{'} ↻ X f Y c c^{'} C^{^{\exists}!} \underset{―}{c^{'}}$

モノ射・エピ射

$C$ を圏とし, $f \in C (X, Y)$ とする.

$f$ がモノ射であるとは, $f \circ g_{1} = f \circ g_{2} (g_{1}, g_{2} \in C (X^{'}, Y)) \Rightarrow g_{1} = g_{2}$
が成り立つことである.
$X^{'} g_{1} g_{2} X f Y$
$f$ がエピ射であるとは, $h_{1} \circ f = h_{2} \circ f (h_{1}, h_{2} \in C (Y, Y^{'})) \Rightarrow h_{1} = h_{2}$
が成り立つことである.
$X f Y h_{1} h_{2} Y^{'}$

線形空間においては, 線形写像がモノ射(resp. エピ射)であることと単射(resp. 全射)であることは同値であることが分かります.

$k$ は(代数的閉体とは限らない)体とする.
${Vect}_{k}$ を $k$ -線形空間のなす圏とし, $f : V \to W$ を $k$ -線形写像とする.
このとき, 次が成り立つ：
(1) $f : {Vect}_{k}$ におけるモノ射 $\Leftrightarrow f :$ 単射
(2) $f : {Vect}_{k}$ におけるエピ射 $\Leftrightarrow f :$ 全射

次の補題は上の命題から示すことができます.

$Q$ の表現の射 $f = (f_{i}) : M \to M^{'}$ に対し,

$^{\forall} i \in Q_{0}, f_{i} :$ 単射 $\Leftrightarrow f : rep Q$ におけるモノ射
$^{\forall} i \in Q_{0}, f_{i} :$ 全射 $\Leftrightarrow f : rep Q$ におけるエピ射

$M, M^{'} \in rep Q$ および $f \in Hom (M, M^{'})$ に対し,
$(Ker f, ι : Ker f ↪ M), (Coker f, p : M^{'} ↠ Coker f)$ はそれぞれ $f$ の核・余核となる.

$(Ker f, ι : Ker f ↪ M)$ が核の普遍性(K1), (K2)を満たすことを示す.
(K1) 各 $i \in Q_{0}$ に対し, $(f_{i} \circ ι_{i}) (m_{i}) = f_{i} (m_{i}) = 0$ が成り立つので, $f \circ ι = 0$ となる.
(K2) $f \circ ι^{'} = 0$ を満たす表現の射 $ι^{'} : K \to M$ を考えると, 各 $i \in Q_{0}$ に対し, $(f_{i} \circ ι_{i}^{'}) (k) = 0$ となるので, $ι_{i}^{'} (k) \in Ker f_{i}$ となる.
これにより, $u : K \to Ker f$ を $u_{i} (k) := ι_{i}^{'} (k) (i \in Q_{0})$ と定めると, $u$ の定義より $ι \circ u = ι^{'}$ であり, $u$ が表現の射であることが分かる.
$u$ の一意性については, $ι$ がモノ射であることから分かる.
$(Coker f, p : M^{'} ↠ Coker f)$ が余核の普遍性(CK1),(CK2)を満たすことも上と同様に示すことができる.

これまでに見てきたことから次が分かります. アーベル圏についてはおそらく深掘りはしないと思います

$rep Q$ において, 次が成り立つ：
(1) 任意の $M, N \in rep Q$ に対し, $Hom (M, N)$ は $k$ -ベクトル空間
(2) 任意の $L, M, N \in rep Q$ に対し, 合成 $\circ : Hom (M, N) \times Hom (L, M) \to Hom (L, N)$ は $k$ -双線形写像
(3) 任意の $M, N \in rep Q$ に対し, 直和 $M \oplus N$ が存在する
(4) 零対象 $0 \in rep Q$ が存在する
(5) 任意の $f \in Hom (M, N)$ は核 $(K, ι : K \to M)$ および余核 $(N, p : N \to C)$ をもち, $Coker i ≅ Ker p$
特に, $rep Q$ はアーベル圏となる.

(5)は $ι : Ker f ↪ M, p : N ↠ Coker f$ を考えれば, 第一同型定理より $Coker i = M / Ker f ≅ Im f = Ker p$ となる.

おしまい

今回は表現の間の射の核・余核に関する性質について確かめました.
次回は, 表現の間の射による完全列について見ていこうと思います.

参考文献

[1]

Ralf Schiffler, Quiver Representations, Springer

投稿日：2024年4月25日

更新日：2024年5月24日

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はじめに
核・余核
核
余核
部分表現と商表現
圏論的に見てみよう
Quiverは圏をなす
核・余核の圏論的定義
おしまい
参考文献

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核・余核

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