寓圏(Allegory)の定義と例

$R,S,T \colon \alpha \to \beta$を任意に取る。

• 寓圏の公理より$R \cap R = R$が成り立つが、これは$R \subseteq R$と同値。

• 定義より、$R \subseteq S$かつ$S \subseteq R$は$R \cap S = R$かつ$S \cap R = S$と同値だが、これは$R = R \cap S = S \cap R = S$より$R = S$を導く。

• $R \subseteq S$かつ$S \subseteq T$のとき、$R = R \cap S$かつ$S = S \cap T$であるから、
  $$   R = R \cap S = R \cap S \cap T = R \cap T $$
  より$R \subseteq T$が従う。

上の不等式について。$R \cap S \cap R = R \cap R \cap S = R \cap S$が常に成り立つから、$R \cap S \subseteq R$が従う。 全く同様にして$R \cap S \subseteq S$も成立。

下の不等式について。$T \subseteq R$かつ$T \subseteq S$と仮定するとき、$T \subseteq R\ \mathrm{iff}\ T \cap R = T,T\subseteq S\ \mathrm{iff}\ T \cap S = T$であるから、 $T \cap (R \cap S) = (T \cap R) \cap S = T \cap S = T$よって$T \subseteq R \cap S$が従う。

$(S \cap T) \circ R \subseteq S \circ R \cap T \circ R$かつ$S \subseteq T$と仮定。 $S \subseteq T$は$S \cap T= S$と同値であるから、

$$ S \circ R = (S \cap T)\circ R \subseteq S \circ R \cap T \circ R \subseteq T \circ R $$

より$S \circ R \subseteq T \circ R$が従う。

逆に$S \subseteq T$ならば$S \circ R \subseteq T \circ R$である時には、 $S \cap T \subseteq S,S \cap T \subseteq T$より、$(S \cap T) \circ R \subseteq S \circ R,T \circ R$であるから、meetの性質より$(S \cap T)\circ R \subseteq S \circ R \cap T \circ R$が成立する。

$R \subseteq S$と仮定。これは$R \cap S = R$と同値であった。そして

$$ R^\circ = (R \cap S)^\circ = S^\circ \cap R^\circ \subseteq S^\circ $$

より、$R^\circ \subseteq S^\circ$が従う。

公理「射の合成と$\cap$の分配」より次が成り立つ。

$$ (S^\circ \cap R^\circ) \circ T^\circ \subseteq R^\circ \circ T^\circ \cap S^\circ \circ T^\circ $$

公理「射の合成、$\cap$とreciprocation」より、これは次と同値になる。

$$ (T \circ (R \cap S))^\circ \subseteq (T \circ R\cap T \circ S)^\circ $$

recipro-order-preserving及びinvolutionであることから、

$$ T \circ (R \cap S) = (T \circ (R \cap S))^{\circ \circ} \subseteq (T \circ R \cap T \circ S)^{\circ\circ} = T \circ R \cap T \circ S $$

ゆえに$T \circ (R \cap S) \subseteq T \circ R \cap T \circ S$が一般に成り立つ。

composition-front-order-preservingの証明を真似すれば良い。

$\mathrm{Rel}(\mathcal A)$に対し、reciprocationを2-tableの脚の入れ替えで定義する。 つまり$R = [(M;f_1,f_2)]$に対し、$R^\circ \overset{\mathrm{def}}{=} [(M;f_2,f_1)]$とする。 また各Homクラスに、順序関係$\subseteq$を二項関係の包含順序で定める。つまり、

$$ [(M;f_1,f_2)] \subseteq [(M';g_1,g_2)] \overset{\mathrm{def}}{\iff} \exists \theta \colon M \to M' . f_1 = g_1 \circ \theta \land f_2 = g_2 \circ \theta $$

によって順序関係を定める。これらによって$\mathrm{Rel}(\mathcal A)$は寓圏となる。

公理を満たすことを確認していく。

reciprocationの基本

$R = [(M;f_1,f_2)]$を$A,B$上の二項関係とする。このとき$R$と$R^\circ$の関係は次の図式で表せる。
reciprocationの表示

$R^\circ$は$B,A$上の二項関係であり、また$R^{\circ\circ} = [(M;f_2,f_1)]^\circ = [(M;f_1,f_2)] = R$より$R^{\circ\circ} = R$も成立。

$\cap$の基本

$A,B$上の二項関係$R = [(M;f_1,f_2)]$を$\langle f_1,f_2 \rangle \colon M \to A \times B$というmonicと同一視して、$A \times B$の部分対象として扱うとき、$\cap$はintersectionと一致する。 つまり、$\cap$は引き戻しによって実現される。

$R \subseteq S \ \mathrm{iff} R \cap S = R$について。 $R = [(M_1;f_1,f_2)],S = [(M_2;g_1,g_2)]$として、$R \subseteq S$と仮定すると、次の図式が成り立つ。
包含順序とintersectionの対応

右の図式にて、monicの引き戻しであるから$l$はmonic、かつ$l$は分裂epicであるから、したがって$l$は同型射。 $R \cap S$は$(P;f_1 \circ l,f_2 \circ l)$によって表示されるから、$l$はspanの同型$(M_1;f_1,f_2)\simeq (P;f_1 \circ l,f_2 \circ l)$を与え、$R \cap S = R$が従う。

逆に$R \cap S = R$と仮定する。$R \cap S$の表示を$(M_3;h_1,h_2)$とするとき、spanの同型より、ある$\theta \colon M_1 \to M_3$で次を満たすものが存在する。
$\cap$と$\subseteq$

ただし$r\colon M_3 \to M_2$は、$\langle f_1,f_2 \rangle,\langle g_1,g_2 \rangle$のintersectionに付随して生じるmonicである。 したがって$R \subseteq S$が成立する。

$R \cap R = R$について。
intersectionの冪等律

図式より、$R \cap R = [(M;f_1 \circ 1_M,f_2 \circ 1_M)] = [(M;f_1,f_2)] = R$が従う。 また$R \cap S = S \cap R$について。$S = [(M';g_1,g_2)]$として、次の図式が成立する。
intersectionの可換性

左は$R \cap S$の表示、右は$S \cap R$の表示をそれぞれ与えているから、$R \cap S = [(P;f_1 \circ l,f_2 \circ l)] = S \cap R$が成り立つ。 最後に$R \cap (S \cap T) = (R \cap S) \cap T$について。$R = [(M;f_1,f_2)],S = [(M';g_1,g_2)],T = [(M'';h_1,h_2)]$として、 $S \cap T$の表示は次の図式の$(P_1;g_1 \circ l,g_2 \circ l)$で与えられる。
$S\cap T$

$R \cap (S \cap T)$の表示は次の図式の$(P_3;g_1 \circ l \circ \mu,g_2 \circ l \circ \mu)$で与えられる。(引き戻しのpasting lemmaを用いている。)
$R \cap (S \cap T)$

図式中の$(P_2;f_1 \circ \rho,f_2 \circ \rho)$は$R \cap S$の表示を与えているから、$(R \cap S) \cap T$の表示は次の図式で表せる。
$(R\cap S)\cap T$

$(P_3;g_1 \circ l \circ \mu,g_2 \circ l \circ \mu)$は$(R \cap S) \cap T$の表示を与えるが、この引き戻しは$R \cap (S \cap T)$の表示でもあった。 よって両者は一致する。

射の合成、$\cap$とreciprocation

$R = [(M;f_1,f_2)]$を$A,B$上の二項関係、$S = [(M';g_1,g_2)]$を$B,C$上の二項関係とする。 合成$S \circ R$は次の図式の左側で表されるが、そのreciprocationは右側の図式で表される。
関係合成とreciprocation

図式の右側が$(S \circ R)^\circ = R^\circ \circ S^\circ$を示している。

次に$(T\cap U)^\circ = U^\circ \cap T^\circ$について。 $T = [(M_1;h_1,h_2)],U = [(M_2;i_1,i_2)]$を$A,B$上の二項関係とすると、$T^\circ = [(M_1;h_2,h_1)],U^\circ = [(M_2;i_2,i_1)]$である。 そして次の図式が成り立つ。
$\cap$とreciprocation

右側の四角形は、向かい合う$1_{M_2},\langle \pi_B,\pi_A \rangle$がそれぞれ同型射であり、このような可換四角形図式は一般に引き戻し四角形になることが容易に示せる。 よって引き戻しのpasting lemmaより大外の四角形図式も引き戻し四角形であるが、その大外の四角形図式は$T^\circ \cap U^\circ$の表示に対応している。 そして左側の四角形図式は$T \cap U$に対応しているから、$(T \cap U)^\circ = [(P';h_2 \circ \lambda,h_1 \circ \lambda)]$と書けることから、$(T \cap U)^\circ = T^\circ \cap U^\circ = U^\circ \cap T^\circ$が従う。

射の合成と$\cap$の分配

射の合成が順序保存であることを示す。 $R=[(M_1;f_1,f_2)],S = [(M_2;g_1,g_2)]$を$A,B$上の二項関係とし、$R \subseteq S$と仮定する。また$B,C$上の二項関係$T = [(M_3;h_1,h_2)]$を任意に取る。 包含順序の定義より、ある$\theta \colon M_1 \to M_2$が存在して$f_1 = g_1 \circ \theta,f_2 = g_2 \circ \theta$が成り立つ。 よって$R,S$と$T$の合成をまとめて次のように描ける。
関係合成の順序保存

図中で$g_2 \circ \theta = f_2$であることに注目することで、$(\exists\langle \pi_A,\pi_C \rangle P_2;n_1,n_2)$は$T \circ R$を表示しているのが分かる。 これら二項関係の合成の様子を積の射影の順像で表すと、次のようになる。
積の射影による順像

順像は包含順序に関して順序を保存するのであったから、$[(\exists \langle \pi_A,\pi_C \rangle P_2;\langle n_1,n_2 \rangle)] \subseteq [(\exists \langle \pi_A,\pi_C \rangle P_1;\langle m_1,m_2 \rangle)]$が従う。 これらはそれぞれ$T \circ R,T \circ S$と対応する$A \times C$の部分対象であるから、$T \circ R \subseteq T \circ S$が成り立つ。 よって、$R \cap S \subseteq R,R \cap S \subseteq S$より、$T \circ (R \cap S) \subseteq T \circ R,T \circ (R \cap S)\subseteq T \circ S$であるから、 $T \circ (R \cap S) \subseteq T \circ R \cap T \circ S$が従う。

ここまでに示したことから、任意の$U \colon \alpha \to \beta,V,W \colon \beta \to \gamma$に対し、

$$ ((V \cap W) \circ U)^\circ = U^\circ \circ (V^\circ \cap W^\circ) \subseteq U^\circ \circ  V^\circ \cap U^\circ \circ W^\circ = (W \circ U \cap V \circ U)^\circ $$

が成立し、recipro-order-preservingより次が成り立つ。

$$ (V \cap W) \circ U = ((V \cap W) \circ U)^{\circ\circ} \subseteq (W \circ U \cap V \circ U)^{\circ\circ} = W\circ U \cap V \circ U $$

modular則

以下、過去の記事で示した事実を多用していく。

https://mathlog.info/articles/N2nuPLKgqlJHWpaBPMmE

$R=[(M_1;f_1,f_2)]$を$A,B$上の二項関係、$S=[(M_2;g_1,g_2)]$を$B,C$上の二項関係、$T = [(M_3;h_1,h_2)]$を$A,C$上の二項関係として、 $(S \circ R) \cap T  \subseteq S \circ (R \cap (S^\circ \circ T))$が成り立つことを示す。 まず$(S \circ R) \cap T$を次のように表現する。
$S \circ R\cap T$

左側の図は$S \circ R$の合成で、右側の図は$S\circ R \cap T$を$A \times C$の部分対象として計算しつつ、左側の図式との関連を提示している。 正則圏と仮定したので、coverの引き戻しはcoverになるから、右側の図で$r_2 \colon P_3 \to P_2$はcoverである。これが成り立つために、次の証明戦略が可能になる。

証明の戦略はこうである。右側の図式より、$\langle f_1 \circ p_1,g_2 \circ p_2 \rangle \circ r_1$は$(\langle h_1,h_2 \rangle \circ q_2) \circ r_2$というcover-monic分解を持っているのが分かる。 そして$(P_2;\langle h_1,h_2\rangle \circ q_2)$とは$S \circ R \cap T$の表示であるから、つまり$\langle f_1 \circ p_1 ,g_2 \circ p_2 \rangle \circ r_1$は$S \circ R \cap T$を($A\times C$の部分対象と同一視した時に)像に持つ。 ということは、もし仮に、$S \circ (R \cap S^\circ \circ T)$を$A \times C$の部分対象で表したものが$\langle f_1 \circ p_1,g_2 \circ p_2\rangle \circ r_1$を許容するならば、像の最小性から$S \circ R \cap T \subseteq S \circ (R \cap S^\circ \circ T)$が従うことになる。

$S^\circ \circ T$と$R \cap S^\circ \circ T$の表示の構成はそれぞれ次のように描ける。
$R \cap S^ \circ \circ T$

これらに基づき、$S\circ (R \cap S^\circ \circ T)$の表示は次のように描ける。
$S \circ (R \cap S^\circ \circ T)$

図中の$(\exists \langle \pi_A,\pi_C \rangle P_6;o_1,o_2)$が$S \circ (R \cap S^\circ \circ T)$の表示である。

今の戦略は、$\langle f_1 \circ p_1 , g_2 \circ p_2 \rangle \circ r_1$が$[(\exists \langle \pi_A,\pi_C \rangle P_6;\langle o_1,o_2 \rangle)]$に許容されることを示すことである。 つまり、何らかの射$x$で、$\langle f_1 \circ p_1 , g_2 \circ p_2 \rangle \circ r_1 = \langle o_1,o_2 \rangle \circ x$が成り立つことを示そうとしている。 そこで引き戻し$(P_6;u_1,u_2)$の普遍性を使うべく、$P_3$を頂点とした$P_5,M_2$上のspanを構成していくことにする。

ここまでに出てきた図式たちを用いて、連立方程式を解いていく。 まず、射$P_3 \to P_5$を得るための足がかりとして、射$P_3 \to P_4$を得るところから始める。 これまでの図式の数々により、次が成り立つ。
$(P_4;s_1,s_2)$の普遍性

$\theta_1 \colon P_3 \to P_4$は引き戻しの普遍性によるものである。よって、$d \circ \theta_1 \colon P_3 \to \exists \langle \pi_A,\pi_B \rangle P_4$を得る。 また射$P_3 \to M_1$に関しては、$p_1 \circ r_1$が既に存在しているのであった。 既存の図式より、次が成り立つ。

$$ \begin{aligned}     \langle n_1,n_2 \rangle \circ d \circ \theta_1     &= \langle n_1 \circ d \circ \theta_1, n_2 \circ d \circ \theta_1 \rangle\\     &= \langle h_1 \circ s_1 \circ \theta_1, g_1\circ s_2 \circ \theta_1 \rangle\\     &= \langle h_1 \circ q_2 \circ r_2, g_1 \circ p_2 \circ r_1 \rangle\\     &= \langle f_1 \circ p_1 \circ r_1, f_2 \circ p_1 \circ r_1 \rangle\\     &= \langle f_1 ,f_2 \rangle \circ p_1 \circ r_1 \end{aligned} $$

よって次の図式が成り立つ。
$(P_5;t_1,t_2)$の普遍性

$\theta_2\colon P_3 \to P_5$は引き戻しの普遍性によるものである。

$\theta_2$と、$p_2 \circ r_1 \colon P_3 \to M_2$が揃っており、これまでの一連の図式から

$$ n_2 \circ t_1 \circ \theta_2 = n_2 \circ d \circ \theta_1 = g_1 \circ s_2 \circ \theta_1 = g_1 \circ p_2 \circ r_1 $$

が成立。よって次の図式が成り立つ。
$(P_6;u_1,u_2)$の普遍性

$\theta_3 \colon P_3 \to P_6$は引き戻しの普遍性由来の射である。 以上から、

$$ \begin{aligned}     \langle f_1 \circ p_1,g_2 \circ p_2 \rangle \circ r_1     &= \langle f_1 \circ p_1 \circ r_1, g_2 \circ p_2 \circ r_1 \rangle\\     &= \langle n_1 \circ t_1 \circ \theta_2, g_2 \circ p_2 \circ r_1 \rangle\\     &= \langle n_1 \circ t_1 \circ u_1 \circ \theta_3, g_2 \circ u_2 \circ \theta_3 \rangle\\     &= \langle o_1 \circ e \circ \theta_3, o_2 \circ e \circ \theta_3 \rangle\\     &= \langle o_1,o_2 \rangle \circ e \circ \theta_3 \end{aligned} $$

であるから、次の図式が成り立つ。
$[(\exists \pi_A,\pi_C \rangle P_6;\langle o_1,o_2 \rangle)]$の許容

したがって$\langle f_1 \circ p_1 , g_2 \circ p_2 \rangle \circ r_1$は$[(\exists \langle \pi_A,\pi_C \rangle P_6;\langle o_1,o_2 \rangle)]$によって許容される。 像の最小性より、$[(P_2;\langle m_1,m_2 \rangle \circ q_1)]\subseteq [(\exists \langle \pi_A,\pi_C \rangle P_6 ; \langle o_1,o_2 \rangle)]$が成立。 そしてこれらはそれぞれ$S \circ R \cap T,S \circ (R \cap S^\circ \circ T)$と対応する部分対象であったから、$S \circ R \cap T \subseteq S \circ (R \cap S^\circ \circ T)$が示された。