正規行列のスペクトル分解の一意性
$A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$を正規行列とする．このとき，相異なる複素数$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s} \in \mathbb{C}$と非零エルミート行列$A_{1},\ldots,A_{s} \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$との組$(\alpha_{1},A_{1}),\ldots,(\alpha_{s},A_{s})$であって
$$
A = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i},\ E_{n} = \sum_{i=1}^{s} A_{i},\ A_{i}A_{j} = \delta_{ij}A_{i}$$
を満たすものが，順序を除いて一意的に存在する．
一意性のみ示す．
各$i \in \{1,\ldots,s\}$に対して
$$
W_{i} \coloneqq A_{i}(V) = \{x \in V \mid A_{i}x=x\}$$
とおくと，
$$
V = W_{1} \oplus\cdots\oplus W_{s}$$
が成り立つ．
- $x \in W_{j}\smallsetminus\{0\}$を取ると，
$$ Ax = AA_{j}x = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i}A_{j}x = \alpha_{j}A_{j}x = \alpha_{j}x$$
となるので，$\alpha_{j}$は$A$の固有値である． - $\alpha\in\mathbb{C}$を$A$の固有値とし，$x \neq 0$を$\alpha$に対する固有ベクトルとする．このとき，
$$ \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i}x = Ax = \alpha x = \alpha\sum_{i=1}^{s} A_{i}x \quad\leadsto\quad \sum_{i=1}^{s} (\alpha-\alpha_{i})A_{i}x = 0$$
となるので，
$$ \forall\,i,\ (\alpha-\alpha_{i})A_{i}x = 0;\ \exists\,i,\ A_{i}x \neq 0$$
より，
$$ \alpha \in \{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\}$$
を得る．
よって，$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}$は$A$の相異なる固有値の総てであり，したがって$A$のみで決まる．さらに，
$$
p_{i}(x) \coloneqq \prod_{k \neq i} \frac{x-\alpha_{k}}{\alpha_{i}-\alpha_{k}} \in \mathbb{C}[x] \quad\leadsto\quad p_{i}(\alpha_{j}) = \delta_{ij}$$
とおくと，
$$
A^{m} = \sum_{j=1}^{s} \alpha_{j}^{m}A_{j}$$
より，
$$
p_{i}(A) = \sum_{j=1}^{s} p_{i}(\alpha_{j})A_{j} = A_{i}$$
が成り立つ．したがって，$A_{1},\ldots,A_{s}$も$A$のみで決まる．
$A$を正規行列とし，$\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s} \in \mathbb{C}$をその相異なる固有値とする．このとき，
$$
A_{i} \coloneqq \prod_{k \neq i} \frac{A-\alpha_{k}E_{n}}{\alpha_{i}-\alpha_{k}}$$
とおくと，
$$
A = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i}$$
が成り立ち，これが$A$のスペクトル分解を与えている（ことが上の証明からわかる）．とくに$s=2$のとき，
$$
A = \alpha_{1}\frac{A-\alpha_{2}E_{n}}{\alpha_{1}-\alpha_{2}} + \alpha_{2} \frac{A-\alpha_{1}E_{n}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}$$
となる．
正規行列$A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$はあるユニタリ行列$U \in \mathrm{U}(n)$で対角化できるのであった（cf. satakep.167定理7）：
$$
U^{*}AU = \begin{bmatrix}
\alpha_{1} && \\
& \ddots & \\
&& \alpha_{s}
\end{bmatrix}.$$
対角線上に固有値$\alpha_{i}$がその重複度$k_{i}$の分だけ連続して並んでいるとし，$U$の列ベクトルを左から順に$k_{i}$個づつまとめた$(n,k_{i})$行列を$U_{i}$とおくと，
\begin{align}
A &=
\begin{bmatrix}
U_{1} & \cdots & U_{s}
\end{bmatrix} (\alpha_{1}E_{k_{1}} \oplus\cdots\oplus \alpha_{s}E_{k_{s}}) \begin{bmatrix}
U_{1} & \cdots & U_{s}
\end{bmatrix}^{*} \\[3pt]
&= \begin{bmatrix}
\alpha_{1}U_{1} & \cdots & \alpha_{s}U_{s}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
U_{1}^{*} \\ \vdots \\ U_{s}^{*}
\end{bmatrix} \\[3pt]
&= \alpha_{1}U_{1}U_{1}^{*} +\cdots+ \alpha_{s}U_{s}U_{s}^{*}
\end{align}
となる．ここで
$$
A_{i} \coloneqq U_{i}U_{i}^{*} \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$$
とおくと，これらは非零エルミート行列であって，
\begin{align}
A &= \alpha_{1}A_{1} +\cdots+ \alpha_{s}A_{s};\\[3pt]
E_{n} &= UU^{*} = A_{1} +\cdots+ A_{s};\\
\end{align}
が成り立つ．また，
$$
U_{i}^{*}U_{j} = \begin{dcases}
O_{k_{i},k_{j}} & i \neq j;\\
E_{k_{i}} & i=j;
\end{dcases}$$
より，
$$
A_{i}A_{j} = U_{i}U_{i}^{*}U_{j}U_{j}^{*} = U_{i}\delta_{ij}U_{j}^{*} = \delta_{ij}A_{i}$$
も成り立つ．したがって，
$$
A = \alpha_{1}U_{1}U_{1}^{*} +\cdots+ \alpha_{s}U_{s}U_{s}^{*}$$
は$A$のスペクトル分解を与えている．
エルミート行列$A$のスペクトル分解を
$$
A = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i}$$
とする．
- $A \geq 0$のとき，
$$ \sqrt[m]{A} \coloneqq \sum_{i=1}^{s} \sqrt[m]{\alpha_{i}}A_{i}$$
とおくと，$\sqrt[m]{A} \geq 0$であり，
$$ (\sqrt[m]{A})^{m} = \sum_{i=1}^{s} (\sqrt[m]{\alpha_{i}})^{m} A_{i} = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i} = A$$
が成り立つ．さらに，エルミート行列$H\geq 0$が$H^{m}=A$を満たしているとき，そのスペクトル分解を
$$ H = \sum_{j=1}^{r} \beta_{j}H_{j},\ \beta_{j} \geq 0$$
とすると
$$ A = H^{m} = \sum_{j=1}^{r} \beta_{j}^{m}H_{j}$$
となるので，$A$のスペクトル分解の一意性より$H = \sqrt[m]{A}$を得る． - $A > 0$のとき，
$$ \log{A} \coloneqq \sum_{i=1}^{s} (\log\alpha_{i}) A_{i}$$
とおくと，これはエルミート行列であって，
\begin{align} \exp(\log{A}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\log{A})^{k}}{k!} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \sum_{i=1}^{s}(\log\alpha_{i})^{k}A_{i} \\ &= \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\log\alpha_{i})^{k}}{k!} A_{i} \\ &= \sum_{i=1}^{s} e^{\log\alpha_{i}} A_{i} = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i} = A \end{align}
が成り立つ．また，上と同様にして，$\exp{H} = A$を満たすエルミート行列は$\log{A}$に限ることがわかる．
$A$を正規行列とする：
$$
A = \sum_{i=1}^{s} \alpha_{i}A_{i}.$$
このとき，$\{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{s}\}$を含む集合$D \subset \mathbb{C}$上で定義された写像$f \colon D \to \mathbb{C}$に対して，多項式$p \in \mathbb{C}[x]$であって$p(\alpha_{i}) = f(\alpha_{i})$なるものを取ると
$$
p(A) = \sum_{i=1}^{s} p(\alpha_{i})A_{i} = \sum_{i=1}^{s} f(\alpha_{i})A_{i}$$
が成り立つので，
$$
f(A) \coloneqq \sum_{i=1}^{s} f(\alpha_{i})A_{i}$$
と（多項式への代入記法と整合的に）定めることができる．一般に，
$$
f(A) = \sum_{f(\alpha_{i}):\text{distinct}} f(\alpha_{i})\sum_{\substack{j \\ f(\alpha_{i})=f(\alpha_{j})}} A_{j}$$
が，とくに$f(\alpha_{1}),\ldots,f(\alpha_{s})$が相異なるときは
$$
f(A) = \sum_{i=1}^{s} f(\alpha_{i})A_{i}$$
が，正規行列$f(A)$のスペクトル分解を与えている．
