素数計数関数の恒等式の積分と測度

$\lfloor N \rfloor$と自然数の逆数和$H(N)$には、アーベルの総和公式を用いて$^*1$
\begin{align} H(N)&=1+\sum_{1< n\le\lfloor N \rfloor }1\cdot\frac{1}{n} \\ &= \frac{\lfloor N \rfloor}{N}+\int_1^N\frac{\lfloor t \rfloor}{t^2}dt \end{align}
の関係がある。ここで、
\begin{equation} \int_1^N \frac{1}{t^2} dt=1-\frac{1}{N} \end{equation}
より、
\begin{align} H(N)-1= \frac{\lfloor N \rfloor-1}{N}+\int_1^N\frac{\lfloor t \rfloor-1}{t^2}dt \end{align}
と書き直せる。prid、prid-exで2つの恒等式
\begin{align} \lfloor N \rfloor-1&=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr), \\ H(N)-1&=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m}q_{\ell} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr), \end{align}
を導入した。ここで、$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$である。
これを上式に代入して、
\begin{align} \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\eta_{\ell m}}{m}q_{\ell} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr) &=\frac{1}{N}\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)+\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \eta_{\ell m} \int_1^N \frac{\pi \bigl( \sqrt[\ell]{t/m} \bigr)}{t^2}dt \\ &=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\eta_{\ell m}\Biggl(\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{N}+\int_{2^\ell m}^{N}\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{t/m}\bigr)}{t^2}dt \Biggr) \end{align}
を得る。$\pi(x)$は$x \ge2$で値を持つことから、積分区間を制限した。
どの$\ell,m$についても成り立つため$^*2$、
\begin{equation} \frac{q_\ell\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{m}=\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{N}+\int_{2^\ell m}^N\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{t^2}dt \end{equation}
となる。$(\ell,m)=(1,1)$の場合が目的の式である。

\begin{equation} \int_2^N\frac{\pi(t)}{t^2}dt \end{equation}
を計算する。次節で与えるが、prin1で求めた反転式
\begin{equation} \pi(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \mu_{\ell m} \Bigl( \Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr),　 \end{equation}
の拡張版を考える。
\begin{equation} \pi(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \mu_{\ell m} \biggl( \overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor} -1\biggr). \end{equation}
ここで、$\overline{\lfloor x \rfloor}$は
\begin{equation} \overline{\lfloor x \rfloor}\equiv \begin{cases} 1, & \text{if $0 \le x < 1$}, \\ \lfloor x \rfloor, & \text{if $1 \le x$}, \end{cases} \end{equation}
と定義される。これを代入して、
\begin{align} &\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \mu_{\ell m}\int_{2}^N \frac{1}{t^2}\biggl( \overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{t/m} \Bigr\rfloor} -1\biggr)dt \\ &=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \mu_{\ell m}\int_{2^\ell m}^N \frac{1}{t^2}\Bigl( \Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{t/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)dt \end{align}
となる。ここで、$\Bigl(\overline{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{t/m}\bigr\rfloor}-1\Bigr)$が$t \ge2^\ell m$でのみ値を持つことから、積分区間と$\ell,m$を制限した。
ここからは、ある$\ell,m$についてのみ考える。
$\sqrt[\ell]{t/m}=s$と変数変換すると、積分区間は$2\to\sqrt[\ell]{N/m}$に変わり、$dt=m\ell s^{\ell-1}ds$の関係がある。
よって、
\begin{align} &\mu_{\ell m}\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{m^2s^{2\ell}}(\lfloor s \rfloor -1)m\ell s^{\ell-1}ds \\ &=\frac{\mu_{\ell m}}{m}\ell\int_2^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{\lfloor s \rfloor -1}{s^{\ell+1}}ds \end{align}
となる。積分区間、被積分関数を分割して、
\begin{align} \frac{\mu_{\ell m}}{m}\ell\Biggl(\int_{2}^{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}\frac{\lfloor s \rfloor}{s^{\ell+1}}ds+\Bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\biggl(\int_{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s^{\ell+1}}ds \biggr)-\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s^{\ell+1}}ds\Biggr) \end{align}
と表せる。1項目は整数で区間を分割し、それらを足し上げ
\begin{align} \frac{\mu_{\ell m}}{m}\ell\Biggl(\sum_{n=2}^{\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1}n\int_{n}^{n+1}\frac{1}{s^{\ell+1}}ds+\Bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\biggl(\int_{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s^{\ell+1}}ds \biggr)-\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s^{\ell+1}}ds\Biggr) \end{align}
を得る。$\int1/{s^{\ell+1}}ds = -1/\ell s^\ell+C,\: C:\text{積分定数}$ を代入する。
\begin{align} &\frac{\mu_{\ell m}}{m}\ell\Biggl(\sum_{n=2}^{\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1}-\frac{n}{\ell}\biggl(\frac{1}{(n+1)^\ell}-\frac{1}{n^\ell}\biggr)-\frac{\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}{\ell}\Biggl(\frac{1}{\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)^\ell}-\frac{1}{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor^\ell} \Biggr)+\frac{1}{\ell}\Biggl(\frac{1}{\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)^\ell}-\frac{1}{2^\ell}\Biggr)\Biggr) \\ &=\frac{\mu_{\ell m}}{m}\Biggl(\sum_{n=2}^{\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1}n\biggl(\frac{1}{n^\ell}-\frac{1}{(n+1)^\ell}\biggr)+\Bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\Biggl(\frac{1}{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor^\ell}-\frac{1}{\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)^\ell} \Biggr)-\Biggl(\frac{1}{2^\ell}-\frac{1}{\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)^\ell}\Biggr)\Biggr). \end{align}
$\sum$の計算は望遠鏡和を用いて
\begin{align} &2\biggl(\frac{1}{2^\ell}-\frac{1}{3^\ell}\biggr)+3\biggl(\frac{1}{3^\ell}-\frac{1}{4^\ell}\biggr)+\cdots +\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor-1\Bigr)\Biggl(\frac{1}{\bigl(\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor-1\bigr)^\ell }-\frac{1}{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor^\ell }\Biggr) \\ &=\frac{2}{2^\ell}+\frac{1}{3^\ell}+\frac{1}{4^\ell}+\cdots+\frac{1}{\bigl(\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor-1\bigr)^\ell }-\frac{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor-1}{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor^\ell } \end{align}
と書ける。代入して整理すると、結局
\begin{align} &\frac{\mu_{\ell m}}{m}\Biggl(\frac{1}{2^\ell}+\cdots+\frac{1}{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor^\ell }-\frac{1}{\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)^\ell}\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)\Biggr) \\ &=\frac{\mu_{\ell m}}{m}\Bigl(H_\ell\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-1\Bigr)-\frac{\mu_{\ell m}}{N}\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr) \end{align}
となる。最後に、全ての$m,\ell$について足し上げて
\begin{align} \int_2^{N}\frac{\pi(t)}{t^2}dt &=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m}\Bigl(H_\ell\Bigl( \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-1\Bigr)-\frac{1}{N}\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\mu_{\ell m}\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr) \\ &=q(N)-\frac{\pi(N)}{N} \end{align}
を得る。最後の行では、prin1,prin2で求めた反転式
\begin{align} &\pi(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \mu_{\ell m} \Bigl( \Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr),　\\ &q(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \frac{\mu_{\ell m}}{m}\Bigl(H_{\ell} \Bigl(\sqrt[\ell]{N/m} \Bigr)-1\Bigr), \end{align}
を利用した。以上より、目的の式が導出できた。

　まず素数計数関数の恒等式を拡張する。
1以上の$x$に対し、
\begin{equation} \lfloor x \rfloor-1= \begin{cases} \pi(x), & \text{if $1 \le x < 2$}, \\ \displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{x} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor x/2^\ell \rfloor} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{x/m} \Bigr), & \text{if $2 \le x$}, \end{cases} \end{equation}
が成り立つ。この式は、2未満の$x$で$\pi(x)=0$となるため、
$\ell,m$の範囲を形式的に無限としても成り立つ。
\begin{equation} \lfloor x \rfloor-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{x/m} \Bigr). \end{equation}
　次に、1以上の任意の$a,b\;(a\le b)$に対する恒等式を考える。
\begin{align} \lfloor a \rfloor-1&=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{a/m} \Bigr), \\ \lfloor b \rfloor-1&=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{b/m} \Bigr). \end{align}
差を取って、
\begin{equation} \lfloor b \rfloor -\lfloor a \rfloor =\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\biggl(\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{b/m} \Bigr)-\pi\Bigl(\sqrt[\ell]{a/m}\Bigr)\biggr) \end{equation}
を得る。ここで、新たに導入した関数$\overline{\lfloor x \rfloor}$を用いて、0以上の任意の実数$a,b\;(a\le b)$に対する恒等式
\begin{equation} \overline{\lfloor b \rfloor} -\overline{\lfloor a \rfloor} =\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\biggl(\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{b/m} \Bigr)-\pi\Bigl(\sqrt[\ell]{a/m}\Bigr)\biggr) \end{equation}
に拡張できる。略記を使って積分表示する。
\begin{equation} \int_{a}^b d\overline{\lfloor x \rfloor}=\int_a^b \sum_{\ell=1}^\infty \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}d\pi\Bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\Bigr). \end{equation}
よって、0以上の実数$x$に対し、測度論的表示を導ける。

　Lebesgueのp.100のTheorem 6.2.2に部分積分の説明がある。
$f,g: I\to \mathbb{R}$ を有界変動関数とし、$S$を$f$と$g$がともに不連続となる点の集合とする。
特に$S$が空集合のとき、
\begin{equation} \int_I f \;dg+\int_Ig\;df=\mu_{fg}({I}) \end{equation}
が成り立つ。
　$\overline{\lfloor x \rfloor} $と$1/x$は$(1,N]$でともに不連続となる点がないため、部分積分を行って
\begin{align} \int_{(1,N]}\frac{d\overline{\lfloor x \rfloor}}{x}&=\left[\frac{\overline{\lfloor x \rfloor}}{x}\right]_{1^+}^{N^+}-\int_{(1,N]}-\frac{\overline{\lfloor x \rfloor}}{x^2}dx \\ &=\frac{\lfloor N \rfloor}{N}-1+\int_1^N\frac{\lfloor x \rfloor}{x^2}dx \\ &=H(N)-1 \end{align}
となる。最後の式変形では、命題1の証明で登場した関係式を用いた。
同様に、右辺の$d\pi\bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\bigr)$に対し、部分積分を行った。
\begin{align} \int_{(1,N]}\frac{d\pi\bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\bigr)}{x}&=\left[\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\bigr)}{x}\right]_{1^+}^{N^+}-\int_{(1,N]}-\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\bigr)}{x^2}dx \\ &=\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{N}+\int_{2^\ell m}^N\frac{\pi\bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\bigr)}{x^2}dx \\ &=\frac{q_\ell\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{m}. \end{align}
ここで、1行目から2行目の式変形において、$x<2$では$\pi(x)=0$であることを使った。
また、2行目から3行目の式変形では、命題1の証明で登場した関係式を用いた。
$\ell,m$の動く範囲は、与えられた$N$によって制限されるため、
素数の逆数和$q(N)$と自然数の逆数和$H(N)$の恒等式を手に入れる。
　複素数$s$乗に拡張した場合も同様にして、
\begin{align} \int_{(1,N]}\frac{d\overline{\lfloor x \rfloor}}{x^s}&=\cdots=H_s(N)-1, \\ \int_{(1,N]}\frac{d\pi\bigl(\sqrt[\ell]{x/m}\bigr)}{x^s}&=\cdots=\frac{q_{\ell s}\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)}{m^s}, \end{align}
が成り立つ。この結果から、$s$乗に一般化した恒等式も導くことができる。

0以上の任意の実数$a,b\;(a\le b)$に対する恒等式
\begin{equation} \overline{\lfloor b \rfloor} -\overline{\lfloor a \rfloor} =\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\biggl(\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{b/m} \Bigr)-\pi\Bigl(\sqrt[\ell]{a/m}\Bigr)\biggr) \end{equation}
をprin1の素数計数関数の恒等式と同様に、反転させる。
恒等式を書き換えて、
\begin{equation} \pi(b)-\pi(a)=\overline{\lfloor b \rfloor} -\overline{\lfloor a \rfloor} -\sum_{\substack{\ell=1\\(\ell,m)\neq(1,1)}}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \eta_{\ell m}\biggl(\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{b/m} \Bigr)-\pi\Bigl(\sqrt[\ell]{a/m}\Bigr)\biggr) \end{equation}
となり、これを逐次代入することで、反転式
\begin{equation} \pi(b)-\pi(a)=\sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \mu_{\ell m}\biggl( \overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{b/m} \Bigr\rfloor}-\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{a/m} \Bigr\rfloor} \biggr) \end{equation}
を得る。略記を用いて、積分表示
\begin{equation} \int_a^b d\pi(x)=\int_a^b \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \mu_{\ell m}d\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{x/m} \Bigr\rfloor} \end{equation}
が出来るため、目的の式が成り立つ。

$N$以下の$mp,p^\ell$で表される数の対数の和は、
それぞれ$\theta(N/m)+\ln m\cdot\pi(N/m), \:\ell\cdot\theta\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)$で表される。
$p^\ell$の式より$\ell\cdot\theta\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$は$N/m$以下の$p^\ell$の対数の和と等しい。
$mp$の式の類推から、$N$以下の$mp^\ell$の対数の和を得るには$\ln m$を$\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$個加えればよい。
このようにして、$N$以下の$mp^\ell$の対数の和を表す式が得られた。

証明の流れはpridと同じであるため、詳細は省く。
　はじめに第一チェビシェフ関数を拡張する。
$N$以下の$k$-概素数の対数の和を$\theta^{(k)}(N)$と定義する。
ここで、$k$-概素数は重複を含めた$k$個の素数の積である。
すると2以上の実数$N$に対し、次の恒等式が成り立つ。
\begin{equation} \ln(\lfloor N \rfloor !)=\sum_{k=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\theta^{(k)}(N). \end{equation}
　次に補題4より、$\theta^{(k)}(N)$の公式を得る。
\begin{equation} \label{eq:k-almostcountingfunction} \theta^{(k)}(N) = \Biggl( k\cdot \theta \bigl(\sqrt[k]{N}\bigr)+ \displaystyle \sum_{j=1}^{k-1} \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor }(k-j)\cdot\theta\Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr) +\ln (p_{i_1} \dotsm p_{i_j})\cdot \pi \Bigl( \sqrt[k-j]{N/p_{i_1} \dotsm p_{i_j} } \Bigr) \Biggr)/k, \end{equation}
ここで$\displaystyle \sum_{\substack{i_1, \dots , i_j=1\\i_1= \dots =i_j}}^{p_{i_1} \dotsm p_{i_j} \leq \lfloor N/2^{(k-j)} \rfloor }$は$\lfloor N/2^{(k-j)}\rfloor$以下の重複を含む全ての$p_{i_1}\cdots p_{i_j}$について総和を取ることを意味する。
　最後に、上の恒等式の$\theta^{(k)}(N)$に代入し、$m,\ell$の昇順に整理することで、目的の式が得られる。

証明の流れは命題1の厳密な証明と同じである。
\begin{equation} \int_2^N\frac{\pi(t)}{t}dt \end{equation}
を計算する。prin1で求めた反転式の拡張である
\begin{equation} \pi(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \mu_{\ell m} \biggl( \overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor} -1\biggr) \end{equation}
を代入して、
\begin{align} &\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \mu_{\ell m}\int_{2}^N \frac{1}{t}\biggl( \overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{t/m} \Bigr\rfloor} -1\biggr)dt \\ &=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \mu_{\ell m}\int_{2^\ell m}^N \frac{1}{t}\Bigl( \Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{t/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)dt \end{align}
となる。ここで、$\Bigl(\overline{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{t/m}\bigr\rfloor}-1\Bigr)$が$t \ge2^\ell m$でのみ値を持つことから、積分区間と$\ell,m$を制限した。
ここからは、ある$\ell,m$についてのみ考える。
$\sqrt[\ell]{t/m}=s$と変数変換すると、積分区間は$2\to\sqrt[\ell]{N/m}$に変わり、$dt=m\ell s^{\ell-1}ds$の関係がある。
よって、
\begin{align} &\mu_{\ell m}\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{ms^{\ell}}(\lfloor s \rfloor -1)m\ell s^{\ell-1}ds \\ &=\mu_{\ell m}\ell\int_2^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{\lfloor s \rfloor -1}{s}ds \end{align}
となる。積分区間、被積分関数を分割して、
\begin{align} \mu_{\ell m}\ell\Biggl(\int_{2}^{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}\frac{\lfloor s \rfloor}{s}ds+\Bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\biggl(\int_{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s}ds \biggr)-\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s}ds\Biggr) \end{align}
と表せる。1項目は整数で区間を分割し、それらを足し上げ
\begin{align} \mu_{\ell m}\ell\Biggl(\sum_{n=2}^{\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1}n\int_{n}^{n+1}\frac{1}{s}ds+\Bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\biggl(\int_{\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s}ds \biggr)-\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N/m}}\frac{1}{s}ds\Biggr) \end{align}
を得る。$\int1/s\; ds = \ln s+C,\: C:\text{積分定数}$ を代入する。
\begin{align} \mu_{\ell m}\ell\Biggl(\sum_{n=2}^{\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1}n\bigl(\ln (n+1)-\ln n\bigr) +\Bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor \biggl(\ln\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\Bigr) \biggr)-\biggl(\ln\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-\ln2\biggr)\Biggr). \\ \end{align}
$\sum$の計算は望遠鏡和を用いて
\begin{align} &2(\ln3-\ln2)+3(\ln4-\ln3)+\cdots +\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor-1\Bigr)\biggl(\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor\Bigr)-\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor-1\Bigr)\biggr) \\ &=-2\ln2-\ln3-\ln4-\cdots-\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor -1\Bigr)+\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor-1\Bigr)\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor\Bigr) \end{align}
と書ける。代入して整理すると、結局
\begin{align} &\mu_{\ell m}\ell\Biggl(-\biggl(\ln2+\ln3+\cdots+\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor\Bigr) \biggr)+\ln\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)\Biggr) \\ &=-\mu_{\ell m}\ell\ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor !\Bigr)+\mu_{\ell m}\ln N \Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)-\mu_{\ell m}\ln m\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr) \end{align}
となる。最後に、全ての$m,\ell$について足し上げて
\begin{align} \int_2^{N}\frac{\pi(t)}{t}dt &=-\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\mu_{\ell m}\ell\ln(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor !)+\ln N \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\mu_{\ell m}\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)-\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\mu_{\ell m}\ln m\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr) \\ &=\pi(N)\ln N-\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\mu_{\ell m}\Biggl(\ell\cdot \ln\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor !\Bigr)+\ln m\cdot\Bigl(\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr)\Biggr) \end{align}
を得る。これとアーベルの総和公式の結果
\begin{equation} \theta(N)=\pi(N)\ln N-\int_2^N \frac{\pi(t)}{t}dt \end{equation}
を用いて、目的の式が導出できた。

　素数計数関数の恒等式の反転式の測度論的表示に、
$\ln x$を掛けてから$(1,N]$の範囲を積分する。
左辺はアーベルの総和公式より
\begin{equation} \int_1^N \ln x \;d\pi(x)=\pi(N)\ln N-\int_1^N \frac{\pi(x)}{x}dx=\theta(N) \end{equation}
となる。
　一方で、右辺のある$\ell,m$に対しては
\begin{align} \mu_{\ell m}\int_1^N\ln x\;d \overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{x/m}\Bigr\rfloor} \end{align}
となる。$\sqrt[\ell]{x/m}=s$と変数変換することで、
\begin{align} &\int_{\sqrt[\ell]{1/m}}^\sqrt[\ell]{N/m}\ln(ms^\ell)\;d\overline{\lfloor s \rfloor} \\ &=\ell\int_{\sqrt[\ell]{1/m}}^\sqrt[\ell]{N/m}\ln s \;d\overline{\lfloor s \rfloor} +\ln m\int_{\sqrt[\ell]{1/m}}^\sqrt[\ell]{N/m}\;d\overline{\lfloor s \rfloor}\\ &= \ell \cdot \Biggl(\ln\biggl(\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor}!\biggr)-\ln\biggl(\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{1/m} \Bigr\rfloor}!\biggr)\Biggr)+\ln m\cdot \biggl(\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor}-\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{1/m}\Bigr\rfloor}\biggr)\\ &=\ell \cdot \ln\biggl(\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor}!\biggr)+\ln m\cdot \biggl(\overline{\Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\Bigr\rfloor}-1\biggr) \end{align}
を得る。途中の式変形でアーベルの総和公式を使用した。
与えられた$N$によって$\ell,m$の範囲が$1\le \ell \le \lfloor \log_2(N)\rfloor$,$1\le m\le \lfloor N/2^\ell \rfloor$に制限される。
それによって、$\overline{\lfloor \cdot \rfloor}\to\lfloor \cdot \rfloor$となり第一チェビシェフ関数の反転式の恒等式が得られる。