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積分をたくさん解く

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積分をたくさん解く

どうも、らららです。
AIが出力した積分 さんの積分を解いていきます。
中の人のリツイートも解いていきます。
証明できたやつだけ証明書きます。

青の「元ツイート」を押せば元ツイートにとべます。

解く

0π4sin2xcosxdx=43(1234)

証明証明方法:2倍角の公式と置換積分を用いて証明する
I=0π4sin2xcosxdx=20π4sinxcosx dx=2121x dx=43[x32]121=43(1234)
あとがき最初見たときはベータ関数でいけるかなと思いましたが普通に高校範囲でできました。

0arctanxx(x2+1)dx=π2log2

証明証明方法:パラメータを追加して証明する
I=0arctanxx(x2+1)dx
f(t)=0arctantxx(x2+1)dx
f(t)=ddt0arctantxx(x2+1)=0tarctantxx(x2+1)dx=t0dx(x2+1)(x2+t2)=tt210(1x2+11x2+t2)dx=tt21(π2π21t)=π21t+1
f(0)=0
I=f(1)=f(1)f(0)=01f(t)dt=π201dtt+1=π2log2
あとがきこのf(t)を設定してf(t)求めてf(a)が求める積分になるaと普通に値がでるf(b)を探してそれの差であるf(a)f(b)を積分の超基本のbaf(t)dtにしてf(t)がでるから別の積分になってそこから積分をだすやり方、好き

0arctanxx(x+1)2dx=β(2)+π4(log21)

証明証明方法:部分分数分解を用いて証明する。
I=0arctanxx(x+1)2dx=01arctanxx(x+1)2dx+1arctanxx(x+1)2dx
1x(x+1)2=1x1x+11(x+1)2
01arctanxx(x+1)2dx=01arctanxxdx01arctanxx+1dx01arctanx(x+1)2dx
01arctanxxdx=n=012n+101x2ndx=n=01(2n+1)2=β(2)
arctana+arctanb=arctana+b1ab
arctan1arctanx=arctan1x1+x
arctan1x1+x=π4arctanx
01arctanxx+1dx=01π4arctanxx+1dx(x1x1+x)=π4log201arctanxx+1dx=π8log2
01arctanx(x+1)2dx=[arctanxx+1]01+01dx(x+1)(x2+1)=π8+1201dxx2+11201xx2+1dx+1201dxx+1=π8+π814log2+12log2=14log2
01arctanxx(x+1)2dx=01arctanxxdx01arctanxx+1dx01arctanx(x+1)2dx=β(2)π8log214log2=β(2)π814log2
1arctanxx(x+1)2dx=01arctan1x1x(1x2+1)2dxx2=01xarctanx(x+1)2dxπ201x(x+1)2dx
01xarctanx(x+1)2=01arctanxx+1dx01arctanx(x+1)2dx=π8log214log2
01x(x+1)2dx=[xx+1]01+01dxx+1=log212
1arctanxx(x+1)2dx=01xarctanx(x+1)2dx+π201xx+1dx=π8log2+14log2+π2log2π4=3π8log2+14log2π4
I=01arctanxx(x+1)2dx+1arctanxx(x+1)2dx=β(2)π8log214log2+3π8log2+14log2π4=β(2)+π4(log21)
あとがきナタデココ入りさんは命題2の方が簡単と言っていましたが、命題3の方が難しいと感じました。
あと、元ツイートはβ(2)Gでかいてましたが、β(2)の方が好きなのでβ(2)にしました、まぁどちらでも伝わればいいです。

01x2log2x(1x2)2dx=π2878ζ(3)

証明証明方法:級数展開を用いて証明する。
11x=n=0xn
11x2=n=0x2n
両辺をxで微分して両辺を2で割ると、
x2(1x2)2=n=0n x2n

部分積分を用いると、
01x2nlog2xdx=2(2n+1)3

n=01(2n+1)2=n=11n2n=11(2n)2=ζ(2)14ζ(2)=34ζ(2)=π28
同様にして、
n=01(2n+1)3=78ζ(3)

I=01x2log2x(1x2)2dx=01n=0n x2nlog2x=n=0n01x2nlog2xdx=2n=0n(2n+1)3=n=01(2n+1)2n=01(2n+1)3=π2878ζ(3)
あとがき積分と級数の交換とか細かいことの確認は…読者への課題とします。

01logx(x+1)2dx=log2

証明
証明方法:級数展開を用いる
n=0(1)n xn=1x+1
n=0n (1)n xn1=1(x+1)2
n=1n (1)n xn1=1(x+1)2
部分積分により、
01xnlogxdx=1(n+1)2
I=01logx(x+1)2dx=n=101xn1logxdx=n=1(1)nn=log2
あとがき
行間広いかも!!

1logxx2dx=1

証明
証明方法:置換
I=1logxx2dx=0dxex=1
あとがき
カンタン

0π2logsinxcosxdx=ϖ2(log2π2)

証明
中の人であるナタデココ入りさんが 記事 書いてたのでそちらをみていただけるといいと思います。
あとがき
やっぱりベータ関数は偉大

0sinx2x=π4

証明
証明方法:置換
I=0sinx2xdx=120sinxxdx=π4
あとがき
ディリクレ積分は常識

01ex21x2=π2e12I0(12)

証明
証明方法:置換
I=0π2esin2xdx=12e120πe12cosxdx=π2e121π01ei(i2)cosxdx=π2e12J0(12i)=π2e12I0(12)
あとがき
JI ベッセル関数のWiki を見ると分かと思います。
この解法はミヤセンさんに教えてもらいました。
ミヤセンさんありがとう!

01arctanxxdx=β(2)

証明
証明方法:級数展開
I=01arctanxxdx=n=0(1)n2n+101x2ndx=β(2)
あとがき
行間広いかも

01arcsinxlogx1x2dx=716ζ(3)8π2log2

証明
証明方法:置換
I=0π2xlogsinxdx(xsinx)=716ζ(3)8π2log2
あとがき
なぜ積分が716ζ(3)8π2log2になるのか色々やる数学徒さんの この記事 に証明があります
元ツイートはlogの中が1xですがまぁ対数の性質使うだけなのでほとんど変わりませんね

01log2xx+1dx=32ζ(3)

証明
証明方法:級数展開
部分積分により01xnlog2xdx=2(n+1)3が分かる
I=01logxx+1dx=n=0(1)n01xnlog2xdx=2n=0(1)n(n+1)s=2η(3)=32ζ(3)
あとがき
元ツイートは分子がlogxlog1xですがまぁ対数の性質使うだけなのでほとんど変わりませんね

おわりに

結論、AIはゴミ

おしまい!!

投稿日:20231212
更新日:20231213
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ららら
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適当に書きたいことを書きます。

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