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級数を解く

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$$\newcommand{di}[0]{\displaystyle} $$

級数を解く

どうも、らららです。
前の記事 $\di\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(n+x)^2}=\frac{x^2}{\sin^2\pi x}$をアベルプラナ和公式を使って示しました。

なんか一般化できたので記事にしてみました。

指数の$2$$m$にして$\di\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{(n+x)^m}$を解いていこうと思います。
ここで$m$$2$以上の自然数とします。

アベルプラナ和公式

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=-\pi\sum_{k=1}^{m}\underset{z=\alpha_k}{\mathrm{Res}}f(z)\cot\pi z$$

条件と証明は こちらのツイート を見ればわかると思います。

条件の確認は読者の課題とします。
留数計算で級数を求めていきます。

\begin{align} \underset{z=-x}{\mathrm{Res}}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^m}&=\lim_{z\to-x}\frac{\partial^{m-1}}{\partial z^{m-1}}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^m}(z+x)^m \\&=\lim_{z\to-x}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\cot\pi z \end{align}

このままでいいと思う🙃

よって、
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{(n+x)^m}=-\pi\lim_{z\to-x}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\cot\pi z $$

なんか、すごくディガンマ関数っぽいですね
ディガンマ関数での解法思いついたら記事にするかもしれません。

おしまい!!

投稿日:20231030
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ららら
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適当に書きたいことを書きます。

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