級数を解く

級数を解く

どうも、らららです。
前の記事 で${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+x{)}^2}=\frac{x^2}{{\sin }^2\pi x}}$をアベルプラナ和公式を使って示しました。

なんか一般化できたので記事にしてみました。

指数の$2$を$m$にして${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+x{)}^m}}$を解いていこうと思います。
ここで$m$は$2$以上の自然数とします。

条件と証明は こちらのツイート を見ればわかると思います。

条件の確認は読者の課題とします。
留数計算で級数を求めていきます。

$$\begin{array}{rl}\underset{z=-x}{\mathrm{Res}}\frac{\cot \pi z}{(z+x{)}^m}& =\underset{z\to -x}{lim}\frac{{\partial }^{m-1}}{\partial z^{m-1}}\frac{\cot \pi z}{(z+x{)}^m}(z+x{)}^m\\ & =\underset{z\to -x}{lim}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}\cot \pi z\end{array}$$

このままでいいと思う🙃

よって、
$$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+x{)}^m}=-\pi \underset{z\to -x}{lim}\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}\cot \pi z$$

なんか、すごくディガンマ関数っぽいですね
ディガンマ関数での解法思いついたら記事にするかもしれません。

おしまい！！