級数を解く

級数を解く

どうも、らららです。
前の記事 で$\di\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(n+x)^2}=\frac{x^2}{\sin^2\pi x}$をアベルプラナ和公式を使って示しました。

なんか一般化できたので記事にしてみました。

指数の$2$を$m$にして$\di\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{(n+x)^m}$を解いていこうと思います。
ここで$m$は$2$以上の自然数とします。

条件と証明は こちらのツイート を見ればわかると思います。

条件の確認は読者の課題とします。
留数計算で級数を求めていきます。

\begin{align} \underset{z=-x}{\mathrm{Res}}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^m}&=\lim_{z\to-x}\frac{\partial^{m-1}}{\partial z^{m-1}}\frac{\cot\pi z}{(z+x)^m}(z+x)^m \\&=\lim_{z\to-x}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\cot\pi z \end{align}

このままでいいと思う🙃

よって、
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac1{(n+x)^m}=-\pi\lim_{z\to-x}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\cot\pi z $$

なんか、すごくディガンマ関数っぽいですね
ディガンマ関数での解法思いついたら記事にするかもしれません。

おしまい！！