微分方程式で積分を解く
微分方程式で積分を解く
どうも、らららです。
微分方程式で積分を解けると知ったとき、すごいと思いました。
前の記事 で$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2x}{(x^2+1)^2}dx$をプランシュレルの定理を使って解きました。
微分方程式でも解ける方法を見つけたので記事にしておきます。
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2x}{(x^2+1)^2}dx=\frac{\pi}{4}\left(1+\frac{3}{e^2}\right)$$
後で使うので$\cos^2$をなくした積分を解きます。
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{\pi}2$$
留数定理でもできますが、普通に$\tan$置換で解きます。
\begin{align} I&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2} \\&=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\cos^2x\ dx \\&=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}(1+\cos 2x)\ dx \\&=\frac{1}{2}\left[x+2\sin2x\right]^{\frac{\pi}2}_{-\frac{\pi}2} \\&=\frac{\pi}{2} \end{align}
雑ですが許してください。
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)^2}dx=0$$
全ての実数$x$で$(x^2+1)^2\neq0$かつ(分母の次数)$ \geq$(分子の次数) なので広義積分は収束し、被積分関数が奇関数なので積分値は$0$
準備はできたので積分を解いていきます。
\begin{align} I&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2x}{(x^2+1)^2}dx \\&=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos 2x}{(x^2+1)^2}dx \\&=\frac{\pi}4+\frac{1}{2}J \end{align}
$$J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos 2x}{(x^2+1)^2}$$
$$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos tx}{(x^2+1)^2}dx$$
$$f'(t)=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin tx}{(x^2+1)^2}dx$$
$$f''(t)=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2\cos tx}{(x^2+1)^2}dx$$
\begin{align}
f(t)-f''(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos tx}{x^2+1}dx
\\&=\pi e^{-t}
\end{align}
\begin{align}
f(0)&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^2}
\\&=\frac{\pi}2
\end{align}
\begin{align}
f'(0)&=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(x^2+1)^2}dx
\\&=0
\end{align}
$$f(t)-f''(t)=\pi e^{-t}$$
$$f(0)=\frac{\pi}{2}$$
$$f'(0)=0$$
微分方程式を解くと
$$f(t)=\frac{\pi}{2}e^{-t}(t+1)$$
\begin{align} J&=f(2) \\&=\frac{3\pi}{2e^2} \end{align}
\begin{align} I&=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\frac{3\pi}{3e^2} \\&=\frac{\pi}{4}\left(1+\frac{3}{e^2}\right) \end{align}
微分方程式の解き方をみかんさんがコメントに書いてくれました、ありがとうございます！
微分方程式、勉強していきたいです。
おしまい！