BaileyのCayley-Orr型の定理の類似
前の記事
でBaileyによるCayley-Orr型の定理
\begin{align}
&\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{4x(1-x)}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}
\end{align}
を示した. これは$x=0$の周りで成り立つ式であり,
\begin{align}
&\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}2\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}
\end{align}
と書き換えられる. このように書き換えると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}2\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}
\end{align}
の方にも似たような公式があるのかが気になってくる. 今回はそれを与えたいと思う. まず,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}2\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}\\
&=\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}
\end{align}
の左辺は$x=1$の周りを正の向きに1周するモノドロミー作用$\gamma$によって
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}2\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}\\
\end{align}
に移る. 一方, 右辺は
前の記事
の定理1より, $\gamma$の作用によって,
\begin{align}
&\gamma\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}\\
&=\frac{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac{\Gamma(a+b-c)\Gamma(a+b-d)\Gamma(a+b-1)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(a+b-\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(a+b-\frac{c+d}2\right)}\\
&\qquad\cdot x^{1-a-b}\F43{1-a,1-b,\frac{c+d+1}2-a-b,\frac{c+d+2}2-a-b}{1+c-a-b,1+d-a-b,2-a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c-d)\Gamma(c-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\Gamma\left(\frac{c-d+1}2\right)\Gamma\left(\frac{c-d}2\right)}\\
&\qquad\cdot x^{1-c}\F43{1+a-c,1+b-c,\frac{1-c+d}2,\frac{2-c+d}2}{1+a+b-c,1-c+d,2-c}x\\
&\qquad+\frac{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac{\Gamma(d-a-b)\Gamma(d-c)\Gamma(d-1)}{\Gamma(d-a)\Gamma(d-b)\Gamma\left(\frac{d-c+1}2\right)\Gamma\left(\frac{d-c}2\right)}\\
&\qquad\cdot x^{1-d}\F43{1+a-d,1+b-d,\frac{1-d+c}2,\frac{2-d+c}2}{1+a+b-d,1+c-d,2-d}x\\
&\qquad+\left(1+2\frac{\sin\pi a\sin\pi b\sin\frac{\pi(c+d-1)}2\sin\frac{\pi(c+d)}2}{\sin\pi(a+b)\sin\pi c\sin\pi d}\right)\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}\\
&=\frac{2^{2a+2b-2}\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+d-1)}\frac{\Gamma(a+b-c)\Gamma(a+b-d)\Gamma(a+b-1)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(2a+2b-c-d)}\\
&\qquad\cdot x^{1-a-b}\F43{1-a,1-b,\frac{c+d+1}2-a-b,\frac{c+d+2}2-a-b}{1+c-a-b,1+d-a-b,2-a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{2^{2c-2}\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+d-1)}\frac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\\
&\qquad\cdot x^{1-c}\F43{1+a-c,1+b-c,\frac{1-c+d}2,\frac{2-c+d}2}{1+a+b-c,1-c+d,2-c}x\\
&\qquad+\frac{2^{2d-2}\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+d-1)}\frac{\Gamma(d-a-b)\Gamma(d-1)}{\Gamma(d-a)\Gamma(d-b)}\\
&\qquad\cdot x^{1-d}\F43{1+a-d,1+b-d,\frac{1-d+c}2,\frac{2-d+c}2}{1+a+b-d,1+c-d,2-d}x\\
&\qquad+\left(1-\frac{\sin\pi a\sin\pi b\sin\pi(c+d)}{\sin\pi(a+b)\sin\pi c\sin\pi d}\right)\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}
\end{align}
となる. つまり以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}2\right)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}\\
&=\frac{2^{2a+2b-2}\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+d-1)}\frac{\Gamma(a+b-c)\Gamma(a+b-d)\Gamma(a+b-1)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(2a+2b-c-d)}\\
&\qquad\cdot x^{1-a-b}\F43{1-a,1-b,\frac{c+d+1}2-a-b,\frac{c+d+2}2-a-b}{1+c-a-b,1+d-a-b,2-a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{2^{2c-2}\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+d-1)}\frac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c-1)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\\
&\qquad\cdot x^{1-c}\F43{1+a-c,1+b-c,\frac{1-c+d}2,\frac{2-c+d}2}{1+a+b-c,1-c+d,2-c}x\\
&\qquad+\frac{2^{2d-2}\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c+d-1)}\frac{\Gamma(d-a-b)\Gamma(d-1)}{\Gamma(d-a)\Gamma(d-b)}\\
&\qquad\cdot x^{1-d}\F43{1+a-d,1+b-d,\frac{1-d+c}2,\frac{2-d+c}2}{1+a+b-d,1+c-d,2-d}x\\
&\qquad+\left(1-\frac{\sin\pi a\sin\pi b\sin\pi(c+d)}{\sin\pi(a+b)\sin\pi c\sin\pi d}\right)\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}
\end{align}
が成り立つ.
これは 前の記事 で示した定理2の一般化である. 実際, $d=1+a+b-c$とすればそれが得られる.
Mellin-Barnes積分表示
Mellin-Barnes積分表示も考えてみる.
前の記事
で見たように, $0< x<1$において,
\begin{align}
&\gamma\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\
&=\F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})}e^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_r-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds
\end{align}
とMellin-Barnes積分表示できる. これより,
\begin{align}
&\gamma\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}\\
&=\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}\\
&\qquad+\frac{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-a-b-s)\Gamma(1-c-s)\Gamma(1-d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a-s)\Gamma(1-b-s)\Gamma\left(\frac{2-c-d}2-s\right)\Gamma\left(\frac{3-c-d}2-s\right)}x^s\,ds\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2+s\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2+s\right)\Gamma(-s)\cos\pi s}{\Gamma(a+b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)}x^s\,ds\\
&\qquad+\frac{2\pi\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-a-b-s)\Gamma(1-c-s)\Gamma(1-d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(1-a-s)\Gamma(1-b-s)\Gamma\left(\frac{2-c-d}2-s\right)\Gamma\left(\frac{3-c-d}2-s\right)}x^s\,ds\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2+s\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2+s\right)\Gamma(-s)}{\Gamma(a+b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)}x^s\,ds\\
&\qquad\cdot \left(\cos\pi s+\frac{2\sin\pi(a+s)\sin\pi(b+s)\sin\pi\left(\frac{c+d-1}2+s\right)\sin\pi\left(\frac{c+d}2+s\right)}{\sin\pi(a+b+s)\sin\pi(c+s)\sin\pi(d+s)}\right)\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2+s\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2+s\right)\Gamma(-s)}{\Gamma(a+b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)}x^s\,ds\\
&\qquad\cdot \left(\cos\pi s-\frac{\sin\pi(a+s)\sin\pi(b+s)\sin\pi\left(c+d+2s\right)}{\sin\pi(a+b+s)\sin\pi(c+s)\sin\pi(d+s)}\right)
\end{align}
となる. さらに
\begin{align}
&\gamma\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}+\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{x}\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2+s\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2+s\right)\Gamma(-s)}{\Gamma(a+b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)}x^s\,ds\\
&\qquad\cdot \left(2\cos\pi s-\frac{\sin\pi(a+s)\sin\pi(b+s)\sin\pi\left(c+d+2s\right)}{\sin\pi(a+b+s)\sin\pi(c+s)\sin\pi(d+s)}\right)
\end{align}
は$x=1$において正則になっており, 被積分関数は$\Im(s)\to \pm \infty$において指数関数的に減衰するので, この表示は$0< x<1$に限らず成り立つことが分かる. つまり, 以下を得る.
$x\in \CC-(-\infty,0)$において,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}\left(\left(\frac{1-\sqrt{1-x}}2\right)^n+\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}2\right)^n\right)\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(c)\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2\right)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma\left(\frac{c+d-1}2+s\right)\Gamma\left(\frac{c+d}2+s\right)\Gamma(-s)}{\Gamma(a+b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)}x^s\,ds\\
&\qquad\cdot \left(2\cos\pi s-\frac{\sin\pi(a+s)\sin\pi(b+s)\sin\pi\left(c+d+2s\right)}{\sin\pi(a+b+s)\sin\pi(c+s)\sin\pi(d+s)}\right)
\end{align}
が成り立つ.
定理2の右辺の三角関数の部分を整理してより簡潔に表されるかはよく分からない. 少なくとも因数分解は綺麗にできないようである.
