BaileyによるCayley-Orr型の定理2
Baileyによって1935年に示された結果のうち, 前の記事 で書いていなかったものを書く.
$x=0$の十分小さな近傍において
\begin{align}
&\F43{a,b,\frac{c+d-1}2,\frac{c+d}2}{a+b,c,d}{4x(1-x)}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(c+d-1)_n}{(a+b)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,b)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}
\end{align}
が成り立つ.
Whippleによる
Nearly-poised${}_4F_3$の変換公式
\begin{align}
\F43{-n,b,c,d}{1-n-b,1-n-c,w}{1}&=\frac{(w-d)_n}{(w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1-n-b-c,1-n-w,d)_k(-n)_{2k}}{k!(1-n-b,1-n-c)_k(1-n+d-w)_{2k}}
\end{align}
において, $d\mapsto 1-n-d$として,
\begin{align}
&\F43{-n,b,c,1-n-d}{1-n-b,1-n-c,w}{1}\\
&=\frac{(w-1+n+d)_n}{(w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1-n-b-c,1-n-w,1-n-d)_k(-n)_{2k}}{k!(1-n-b,1-n-c)_k(2-d-w-2n)_{2k}}\\
&=\frac{(d+w-1)_{2n}}{(d+w-1,w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1-n-b-c,1-n-w,1-n-d)_k(-n)_{2k}}{k!(1-n-b,1-n-c)_k(2-d-w-2n)_{2k}}
\end{align}
が得られる. これを書き換えると,
\begin{align}
&\frac{n!(d)_n}{(b,c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!(w)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}\\
&=\frac{n!(b+c,d)_n}{(d+w-1,b,c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(d+w-1)_{2n-2k}}{k!(n-2k)!}\frac{(b,c)_{n-k}}{(b+c,w,d)_{n-k}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(d+w-1)_n}{(b+c)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(b,c)_k}{k!(w)_k}\frac{(b,c)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(d+w-1)_{2n-2k}}{k!(n-2k)!}\frac{(b,c)_{n-k}}{(b+c,w,d)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n,k}x^{n+k}\frac{(-1)^k(d+w-1)_{2n}}{k!(n-k)!}\frac{(b,c)_{n}}{(b+c,w,d)_{n}}\\
&=\sum_{0\leq n}x^{n}(1-x)^n\frac{(d+w-1)_{2n}}{n!}\frac{(b,c)_{n}}{(b+c,w,d)_{n}}\\
&=\F43{b,c,\frac{d+w-1}2,\frac{d+w}2}{b+c,d,w}{4x(1-x)}
\end{align}
となって示すべきことが得られた.
\begin{align} &(1-x)^{-a}\F43{a,c-a,b,d}{c,\frac{b+d}2,\frac{b+d+1}2}{-\frac{x^2}{4(1-x)}}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(c)_n}{(b+d)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a,d)_{n-k}}{(n-k)!(d)_{n-k}} \end{align}
Whippleによる
Nearly-poised${}_4F_3$の変換公式
\begin{align}
\F43{-n,b,c,d}{1-n-b,1-n-c,w}{1}&=\frac{(w-d)_n}{(w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1-n-b-c,1-n-w,d)_k(-n)_{2k}}{k!(1-n-b,1-n-c)_k(1-n+d-w)_{2k}}
\end{align}
において, $c\mapsto 1-n-c,w\mapsto 1-n-w$として,
\begin{align}
\F43{-n,b,1-n-c,d}{1-n-b,c,1-n-w}{1}&=\frac{(w+d)_n}{(w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(c-b,w,d)_k(-n)_{2k}}{k!(1-n-b,c)_k(d+w)_{2k}}
\end{align}
これを書き換えると,
\begin{align}
\frac{n!(c)_n}{(b,w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(b,d)_k}{k!(c)_k}\frac{(b,w)_{n-k}}{(n-k)!(c)_{n-k}}&=\frac{n!(w+d)_n}{(b,w)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(c-b,w,d)_k(b)_{n-k}}{k!(n-2k)!(c)_k(d+w)_{2k}}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c)_n}{(d+w)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(b,d)_k}{k!(c)_k}\frac{(b,w)_{n-k}}{(n-k)!(c)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(c-b,w,d)_k(b)_{n-k}}{k!(n-2k)!(c)_k(d+w)_{2k}}\\
&=\sum_{0\leq n,k}x^{n+2k}\frac{(-1)^k(c-b,w,d)_k(b)_{n+k}}{k!n!(c)_k(d+w)_{2k}}\\
&=\sum_{0\leq k}x^{2k}(1-x)^{-k-b}\frac{(-1)^k(b,c-b,w,d)_k}{k!(c)_k(d+w)_{2k}}\\
&=(1-x)^{-b}\F43{b,c-b,d,w}{c,\frac{d+w}2,\frac{d+w+1}2}{-\frac{x^2}{4(1-x)}}
\end{align}
$c+c'=a+a'+b+b'$のとき,
\begin{align}
&(1-x)^{1-c-c'}\F43{a,c-b,\frac{c+c'-1}2,\frac{c+c'}2}{a+a',a+b',c}{-\frac{4x}{(1-x)^2}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(c',c+c'-1)_n}{(a+a',a+b')_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac{(a',b')_{n-k}}{(n-k)!(c')_{n-k}}
\end{align}
Whippleの${}_4F_3$変換公式
\begin{align}
&\F43{a,b,c,-n}{d,e,f}1\\
&=\frac{(d-a,e-a)_n}{(d,e)_n}\F43{a,f-b,f-c,-n}{1-n+a-d,1-n+a-e,f}1,\qquad(a+b+c+1=d+e+f+n)
\end{align}
において, $c\mapsto c+n$とすると, $a+b+c+1=d+e+f$のとき,
\begin{align}
&\F43{a,b,c+n,-n}{d,e,f}1\\
&=\frac{(d-a,e-a)_n}{(d,e)_n}\F43{a,f-b,f-c-n,-n}{1-n+a-d,1-n+a-e,f}1
\end{align}
が成り立つ. これを書き換えると,
\begin{align}
&\frac{n!}{(c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(a,b)_k(c)_{n+k}}{k!(n-k)!(d,e,f)_k}\\
&=\frac{n!(1+c-f)_n}{(d,e)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(a,f-b)_k}{k!(f)_k}\frac{(d-a,e-a)_{n-k}}{(n-k)!(1+c-f)_{n-k}}
\end{align}
よって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c,1+c-f)_n}{(d,e)_n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,f-b)_k}{k!(f)_k}\frac{(d-a,e-a)_{n-k}}{(n-k)!(1+c-f)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(a,b)_k(c)_{n+k}}{k!(n-k)!(d,e,f)_k}\\
&=\sum_{0\leq n,k}x^{n+k}\frac{(-1)^k(a,b)_k(c)_{n+2k}}{k!n!(d,e,f)_k}\\
&=\sum_{0\leq k}x^{k}(1-x)^{-c-2k}\frac{(-1)^k(a,b)_k(c)_{2k}}{k!(d,e,f)_k}\\
&=(1-x)^{-c}\F43{a,b,\frac c2,\frac{c+1}2}{d,e,f}{-\frac{4x}{(1-x)^2}}
\end{align}
$b\mapsto c-b,c\mapsto c+c'-1, d\mapsto a+a', e\mapsto a+b',f\mapsto c$とすると, 条件は$c+c'=a+a'+b+b'$となって定理を得る.
